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1、高中数学导数知识点归纳总结及例题导 数 考试内容: 导数的背影(导数的概念(多项式函数的导数(利用导数研究函数的单调性和极 )了解导数概念的某些实际背景(2)理 值(函数的最大值和最小值(考试要求:(1解导数的几何意义(3)掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n?N+)的导数公式，会求 多项式函数的导数(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导 数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值(5) 会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值( ?14. 导 数 知识要点 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 导 常见函数的导数 数 导数的运算 导数的运算
2、法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 1. 导数(导函数的简称)的定义:设 x0 是函数 y f (x) 定义域的一点，如果自变量 x 在 x0 处有增量 x ，则函数值 y 也引起相应的增量 y f (x0 , x) , f (x0 ) ;比值 y f (x , x) , f (x ) 0 0 称为函数 y f (x) 在点 x 到 x , x 之间的平均变化率;如果极 x x 0 0 y f (x0 , x) , f (x0 ) 限 lim lim 存在，则称函数 y f (x) 在点 x0 处可导，并把这个 x 0 x x 0 x 1极限叫做 y f (x) 在 x 处
3、的导数，记作 f (x ) 或 y | ，即 f (x ) = 0 0 x x0 0 y f (x , x) , f (x ) lim lim 0 0 . x 0 x x 0 x 注:? x 是增量，我们也称为“改变量”，因为 x 可正，可负，但不为零. ?以知函数 y f (x) 定义域为 A ， y f (x) 的定义域为 B ，则 A 与 B 关系为 A B . 2. 函数 y f (x) 在点 x0 处连续与点 x0 处可导的关系: ?函数 y f (x) 在点 x0 处连续是 y f (x) 在点 x0 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果 y f (x) 在点 x0 处可导，那
4、么 y f (x) 点 x0 处连续. 事实上，令 x x0 , x ，则 x x0 相当于 x 0 . 于是 lim f (x) lim f (x0 , x) lim f (x , x0 ) , f (x0 ) , f (x0 ) x x0 x 0 x 0 f (x0 , x) , f (x0 ) f (x0 , x) , f (x0 ) lim x , f (x0 ) lim lim , lim f (x0 ) f (x0 ) 0 , f (x0 ) f (x0 ). x 0 x x 0 x x 0 x 0 ?如果 y f (x) 点 x0 处连续，那么 y f (x) 在点 x0 处可导
5、，是不成立的. y | x | 例: f (x) | x | 在点 x 0 处连续，但在点 x 0 处不可导，因为 ，当 x ,0 0 0 x x y y y 时， 1;当 x ,0时， ,1 ，故 lim 不存在. x x x 0 x 注:?可导的奇函数函数其导函数为偶函数.?可导的偶函数函数其导函数为奇 函数. 3. 导数的几何意义: 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x) 处的切线 的斜率，也就是说，曲线 y f (x) 在点P (x0 , f (x) 处的切线的斜率是 f (x0 ) ，切线方 程为 y , y0 f
6、(x)(x , x0 ). 4. 求导数的四则运算法则: (u v) u v y f1 (x) , f 2 (x) , ., f n (x) y f1 (x) , f 2 (x) , ., f n (x) (uv) vu , v u (cv) c v , cv cv ( c 为常数) 2 u vu , v u (v 0) v v 2 注:? u, v 必须是可导函数. ?若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导，则它们 的和、差、积、商不一定不可导. 2 2 例如:设 f (x) 2 sin x , ， g(x) cos x , ，则 f (x), g(x) 在 x 0
7、处均不可导，但它们和 x x f (x) , g(x) sin x , cos x 在 x 0 处均可导. 5. 复合函数的求导法则: f x ( (x) f (u) (x) 或 y x y u u x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性: ?函数单调性的判定方法:设函数 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) ,0，则 y f (x) 为增函数;如果 f (x) ,0，则 y f (x) 为减函数. ?常数的判定方法; f (x) 在区间 I 内恒有 f (x) =0，则 y f (x) 为常数. 如果函数 y 3 注:? f (x) 0 是f(x)
8、递增的充分条件，但不是必要条件，如 y 2x 在 (, , ) 上并 不是都有 f (x) 0 ，有一个点例外即x=0时f(x) = 0，同样 f (x) 0 是f(x)递减的充分非必要条件. ?一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那 么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 7. 极值的判别方法:(极值是在 x0 附近所有的点，都有 f (x) , f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极大值，极小值同理) 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时， ?如果在 x0 附近的左侧 f (x) ,0，右侧 f (x) ,0，那
9、么 f (x0 ) 是极大值; 3 ?如果在 x0 附近的左侧 f (x) ,0，右侧 f (x) ,0，那么 f (x0 ) 是极小值. ? 也就是说 x0 是极值点的充分条件是 x0 点两侧导数异号，而不是 f (x) =0 . 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点?. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比 极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注?: 若点 x0 是可导函数 f (x) 的极值点，则 f (x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点 x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为 零. 例如:函数 y f (x
10、) x 3 ， x 0 使 f (x) =0，但 x 0 不是极值点. ?例如:函数 y f (x) | x |，在点 x 0 处不可导，但点 x 0 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函 数值进行比较.注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数: 1 I. C 0 ( C 为常数) (sin x) cos x (arcsin x) 1, x 2 n n,1 1 (x ) nx ( n R ) (cos x) , sin x (arccos x) , 1, x 2 1 1 1 II. (ln x) (log x) log
11、e (arctan x) x a x a x 2 ,1 1 (e x ) e x (a x ) a x ln a (arc cot x) , x 2 ,1 III. 求导的常见方法: 1 (x , a1 )(x , a2 ).(x , an ) ?常用结论: (ln | x |) .?形如 y (x , a1 )(x , a2 ).(x , an ) 或 y x (x , b1 )(x , b2 ).(x , bn ) 两边同取自然对数，可转化求代数和形式. 4?无理函数或形如 y x x 这类函数，如 y x x 取自然对数之后可变形为 ln y x ln x ， y 1 对两边求导可得 l
12、n x , x y y ln x , y y x x ln x , x x . y x 导数中的切线问题 例题1:已知切点，求曲线的切线方程 曲线 y x3 , 3x2 ,1 在点 (1， ,1) 处的切线方程为( ) 例题2:已知斜率，求曲线的切线方程 与直线 2x , y , 4 0 的平行的抛物线 y x2 的切线方程是( ) 注意:此题所给的曲线是抛物线，故也可利用 法加以解决，即设切线方程 为 y 2x , b ，代入 y x2 ，得 x2 , 2x , b 0 ，又因为 0 ，得 b ,1 ，故选,( 例题3:已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先
13、设切点，再求切点，即用待 定切点法( 求过曲线 y x3 , 2x 上的点 (1， ,1) 的切线方程( 例题4:已知过曲线外一点，求切线方程 5 1 求过点 (2，0) 且与曲线 y 相切的直线方程( x 练习题: 已知函数 y x3 , 3x ，过点 A(0，16) 作曲线 y f (x) 的切线，求此切线方程( 看看几个高考题 x 1.(2009全国卷?)曲线 y 在点,1,1,处的切线方程为 2x ,1 2.(2010江西卷)设函数 f (x) g(x) , x2 ，曲线 y g(x) 在点 (1, g(1) 处的切线方程 为 y 2x ,1，则曲线 y f (x) 在点 (1, f
14、(1) 处切线的斜率为 3.(2009宁夏海南卷)曲线 y xex , 2x ,1在点(0,1)处的切线方程为 。 4.(2009浙江)(本题满分15分)已知函数 f (x) x3 , (1, a)x2 , a(a , 2)x , b (a,b R) ( (I)若函数 f (x) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ,3 ，求 a,b 的值; 5.(2009北京)(本小题共14分) 设函数 f (x) x3 , 3ax , b(a 0) . (?)若曲线 y f (x) 在点 (2, f (x) 处与直线 y 8 相切，求 a,b 的值; .1 函数的单调性和导数 6 1(利用导数的符号来判
15、断函数单调性: 一般地，设函数 y f (x) 在某个区间可导， 如果在这个区间内 f (x) 0 ，则 y f (x) 为这个区间内的 ; 如果在这个区间内 f (x) 0 ，则 y f (x) 为这个区间内的 。 2(利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式f (x),0，得函数的单调递增区间; 解不等式f (x),0，得函数的单调递减区间( 【例题讲解】 x3 ,1在 (, ,0) 上是增函数。 a) 求证: y b) 确定函数f(x)=2x3,6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函 数. 【课堂练习】 1
16、(确定下列函数的单调区间 (1)y=x3,9x2+24x (2)y=3x,x3 7,(已知函数 f (x) x ln x ，则( ) A(在 (0, ) 上递增 B(在 (0, ) 上递减 1 1 C(在 0, 上递增 D(在 0, 上递减 e e ,(函数 f (x) x3 , 3x2 , 5的单调递增区间是_( 函数图象及其导函数图象 3 1. 函数 y f (x) 在定义域 (, ,3) 内可导，其图 2 象如图，记 y f (x) 的导函数为 y f / (x) ， 则不等式 f / (x) 0的解集为_ 3 2. 函数 f (x) 的定义域为开区间 (, ,3) ，导函 2 y f
17、(x) 3 数 f (x) 在 (, ,3) 内的图象如图所示，则函数 2 f (x) 的单调增区间是_ y 3. 如图为函数 f (x) ax3 , bx2 , cx , d 的图象， f (x) 为函 数 f (x) 的导函数，则不等式 x f (x) 0的解集为_ - 3 o 3 x _ 84. 若函数 f (x) x2 , bx , c 的图象的顶点在第四象限，则其导函数 f (x) 的图象 是( ) 5. 函数 y f (x) 的图象过原点且它的导函数 f (x) 的图象是如图所 示的一条直线，则 y f (x) 图象的顶点在( ) y f (x) A(第一象限 B(第二象限 C(第
18、三象限 D(第四象限 6. y (2007年广东佛山)设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数, y f (x) 的 y y y y O 1 2 x 图象如右图所示，则 y f (x) 的图象最有可能的是( 2 )O 1 2 x O 1 2 x O 1 x O 1 2 x A B C D 7. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为( ) 98. (安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科)函数 y f (x) 的图像如 下右图所示，则 y f (x) 的图像可能是 ( ) 9. (2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调
19、研考试文 y 科)已知函数 f( x) 的导函数 f ( x) ax2 , bx , c 的图象如 o 右 ， 的 象可能是 图 则 f( x) 图 ( ) x 联考文科)如右图所示是 10. (2010年浙江省宁波市高三“十校”侧 侧 侧 侧 侧 侧 某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高 度 h 随时间t 变化的可能图象是( ) 侧 侧 侧 h h h h O t O t O t O t (A) (B) (C) (D) 11. (2008广州二模文、理)已知二次函数 f ,x,的图象如图1所示 , 则其导函数 f ,x,的图象大致形状是( ) 1012. (2009湖南卷文)
20、若函数 y f (x) 的导函数在区间a,b上是增函数，则函数 y f (x) 在区间a,b上的图象可能是 ( ) y y y A ( B( C( yD( 13. (福建卷11)如果函数 y f (x) 的图象如右图，那么导函 数 的 象可能是 o y f (x) 图 o ( ) o o a b x a b x a b x a b x 14. (2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f (x),y=g(x)的图象可能是 ( ) 15. (2008珠海一模文、理)设 f (x) 是函数 f (x) 的导函数，将 y f (x) 和 y f (x)
21、的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) 11 A( B( C( D( 16. (湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数 y y f (x) 的导函数 y f (x) 的图像如下，则( ) 函数 f (x) 有1个极大值点，1个极小值点 函数 f (x) 有2个极大值点，2个极小值点 函数 有3个极大 点，1个极小 点 f (x) 值 值 x1 x2 x3O x x 函数 f (x) 有1个极大值点，3个极小值点 4 o O 17. (2008珠海质检理)函数 f (x) 的定义域为 (a,b) ，其 导函数 f (x)在(a,b) 内的图象如图所示，则函数 f (x) 在区
22、间 (a,b) 内极小值点的个数是( ) (A).1 (B).2 (C).3 (D).4 1 18. 【湛江市?文】函数 f (x) ln x , x 2 的图象大致是 2 y y y y O x O x x O O x A ( B ( C ( D ( 19. 【珠海?文】如图是二次函数 f (x) x 2 , bx , a 的部分 图象，则函数 g(x) ln x , f (x) 的零点所在的区间 是 ( ) 1 1 1 A. ( , ) B. ( ,1) 4 2 2 C. (1,2) D. (2,3) 1220. 定义在R上的函数 f (x) 满足 f (4) 1( f (x) 为 f (
23、x) 的 y 2. 图像性质：导函数，已知函数 y f (x) 的图象如右图所示.若两正 b , 2 O x 数 a,b 满足 f (2a , b) 1，则 的取值范围是 ( 若a0，则当x时，y随x的增大而减小。a , 2 (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）) 1 1 1 1 A( ( , ) B( (, , ) ,3, , C( ( , 3) D( (, , ,3) 3 2 2 2 定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;3 2 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。2
24、1. 已知函数 f (x) ax , bx , cx 在点 x0 处取得极大值 本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!5 ，其导函数 y f (x) 的图象经过点 (1,0) ， (2,0) ， 2. 图像性质：如图所示.求: 135.215.27加与减（三）4 P75-80(?) x0 的值; 3、学习并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。(?) a,b,c 的值. （2）顶点式：13