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1、高中数学常用公式及结论大全(新课标) 必修1 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为:元素|元素的特征，例如 x|x,5,且x,N2、常用数集及其表示方法 (1)自然数集N(又称非负整数集):0、1、2、3、 *(2)正整数集N或N :1、2、3、 +(3)整数集Z:-2、-1、0、1、 (4)有理数集Q:包含分数、整数、有限小数等 (5)实数集R:全体实数的集合 (6)空集:不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系:属于?，不属于 ,例如:a是集合A的元素，就说a
2、属于A，记作a?A 4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等 (1)子集的概念 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记A,BB,A作或. A,B 或 B A 若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q， (图1) P,Q记作 (2)真子集的概念 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的B A ,真子集(如图2). 或. ABBA,(图2) (3)集合相等:若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B. A,B,B,A,A,B A,BB,CA,C5、重要结论(1)传递性:若，则
3、 (2)空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. nnn2226、含有个元素的集合,它的子集个数共有 个;真子集有1个;非空子集有1个(即nn2不计空集);非空的真子集有2个. 7、集合的运算:交集、并集、补集 AB ,(1)一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集( 记作A?B(读作:A交B:)，即A?B=,x|x?A，且x?B,( 1 (2)一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集(记作A?B(读作:A并B:)，即A?B=,x|x?A，或x?B,( B A,(3)若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，
4、 叫做A在U中的补集，记作 ,CACA,x|x,U,且x,AUU, CAA U 注:讨论集合的情况时，不要发遗忘了A,的情况。 、映射观点下的函数概念 8如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f:A?B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x?A，y?B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C(CB)叫做函数y=f(x),的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x). 2，1x,x,09、分段函数:在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如, y,2x,0,x,3,、求函数的定义域的原则:(解决任何函数问题，必须要考虑其定义域) 101?分
5、式的分母不为零; 如:y,则x,1,0x,1?偶次方根的被开方数大于或等于零; 如:y,5,x,则5,x,0?对数的底数大于,且不等于,; 如:y,log(x,2),则a,0且a,1a?对数的真数大于,; 如:y,log(x,2),则x,2,0ax?指数为,的底不能为零;,则 m,1,0如:y,(m,1)11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑) f(,x),f(x)(1)奇函数满足， 奇函数的图象关于原点对称; f(,x),f(x)(2)偶函数满足， 偶函数的图象关于y轴对称; f(0),0 注:?具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ?若奇函数在原点有定义,则 ?根据奇偶性可将函数分为四
6、类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑) f(x)当时，都有，则在该区间上是增函数，图象从左到右上升; x,xf(x),f(x)1212f(x)当时，都有，则在该区间上是减函数，图象从左到右下降。 x,xf(x),f(x)1212f(x)f(x)函数在某区间上是增函数或减函数，那么说在该区间具有单调性，该区间叫做单调(增/减)区间 2(0)a,axbxc，,013、一元二次方程 2,b,b,4ac2x,b,4ac (1)求根公式: (2)判别式: 1,22a,0,0,0(3)时方程有两个不等实根;时方程有一个实根;时方程无实根。
7、bcx，x,x,x,(4)根与系数的关系韦达定理:， 1212aa2(0)a,(0)a,14、二次函数:一般式; 两根式 y,ax，bx，cy,a(x,x)(x,x)122 y 2bbacb4,x (1)顶点坐标为;(2)对称轴方程为:x=; ,(,),2a24aa0 24acb,b(3)当时，图象是开口向上的抛物线，在x=处取得最小值 a,0,4a2a24acb,b 当时，图象是开口向下的抛物线，在x=处取得最大值 a,0,4a2a,(4)二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系: x时，有两个交点;时，有一个交点(即顶点);时，无交点。 ,0,0,015、函数的零点 2f(x),0使的实数
8、叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。 xx,1f(x),x,100，y,f，xy,f，xfx,0注:函数有零点 函数的图象与轴有交点 方程有实根 ,x16、函数零点的判定: f(a),f(b),0y,f，x 如果函数在区间,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有。那a,b，y,fxa,b么，函数在区间内有零点，即存在。 ，c,a,b,使得fc,0,17、分数指数幂 (，且) n,1amnN,0,m33m,111n3nmnn22na,(1).如;(2) . 如;(3); a,ax,x()aa,xmnm3axnaaa,0,nnnn(4)当为奇数时，; 当为偶数时，. aa,nnaa,|,aa,0,
9、a,0,r,s,Q18、有理指数幂的运算性质() rsr，srsrsrrra,a,a1)(; (2); (3) (a),a(ab),abx19、指数函数(a,0且a,1)，其中是自变量，叫做底数，定义域是R y,axaa,10,a,1 y y 图 1 象 x 1 0 x (1)定义域:R 0 性 (2)值域:(0，+?) 质 (3)过定点(0，1)，即x=0时，y=1 (4)在 R上是增函数 (4)在R上是减函数 3 ba,0,a,1a,N20、若，则叫做以为底的对数。记作:(，) NN,0logN,b a其中，叫做对数的底数，叫做对数的真数。 Nab注:指数式与对数式的互化公式: (0,1,
10、0)aaN,logNbaN,a21、对数的性质 (1)零和负数没有对数，即中; N,0logNalog1,0(2)1的对数等于0，即 底数的对数等于1，即loga,1aa ;lgN22、常用对数:以10为底的对数叫做常用对数，记为:logN,lgN10 自然对数:以e(e=2.71828)为底的对数叫做自然对数，记为: lnNlogN,lnNelogNaa,N23、对数恒等式: 24、对数的运算性质(a,0，a?1，M,0，N,0) M(1); (2) ; log()loglogMNMN,，logloglog,MNaaaaaaNn(3) (注意公式的逆用) loglog()MnMnR,aalo
11、gNm25、对数的换底公式 logN, (,且,且,). a,0a,1m,0m,1 N,0alogam1nnlogb,推论?或; ?. loglogbb,maaalogamb(0,，,)26、对数函数(a,0，且a,1):其中，是自变量，叫做底数，定义域是 y,logxxaaa,1 0,a,1 y 图像 x 1 0 x 1 0 定义域:(0, ?) 值域:R 性质 过定点(1，0) 增函数 减函数 0x1时，y0 0x0 取值范围 x1时，y0 x1时，y 0时，有. 小于取中间 22xaxaxa,或.大于取两边 xa,2(2)、解一元二次不等式 的步骤: ax，bx，c,0,(a,0)2,b
12、,4ac,0,0,0?求判别式 ?求一元二次方程的解: 两相异实根 一个实根 没有实根 2?画二次函数y,ax，bx，c的图象 13 ?结合图象写出解集 ,b2ax，bx，c,0,解集 xx,x或x,x R xx,212a,2,ax，bx，c,0,解集 xx,x,x 1222ax，bx，c,0(a,0)ax，bx，c,0注:解集为R 对恒成立 x,R,0,(3)高次不等式:数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下) (4)分式不等式:先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。 x,1(x,1)，xx,1如解分式不等式 :先移项 通分 ,1，1,0;,0;xxx(2x,1)x,0
13、再除变乘，解出。 Ax，By，C,0直线 87、线性规划: (1)一条直线将平面分为三部分(如图): Ax，By，C,0 Ax，By，C,0Ax，By，C,0(2)不等式表示直线 Ax，By，C,0 某一侧的平面区域，验证方法:取原点(0，0)代入不 等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如 直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点(1，0)。 (3)线性规划求最值问题:一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数，最z大的为最大值。 选修1-1 88、充要条件 pq,pqqp (1)若，则是充分条件，是必要条件. pq,qp,pq(2)若，且，则是充要条件. 注:如果
14、甲是乙的充分条件则乙是甲的必要条件,反之亦然. 89、逻辑联结词。“p或q”记作:p?q; “p且q”记作:p?q; 非p记作:?p 90、四种命题: 原命题:若p，则q 逆命题:若q，则p 否命题:若?p，则?q 逆否命题:若?q，则?p 注意:(1)原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系; a,0b,0 (2)?p是指命题P的否定，注意区别“否命题”。例如命题P:“若，则”，a,0b,0a,0b,0那么P的“否命题”是:“若，则”，而?p是:“若，则”。 14 2,91、全称命题:含有“任意”、“所有”等全称量词(记为)的命题，如P: ,x,R,(x,1),02特称命
15、题:含有“存在”、“有些”等存在量词(记为)的命题，如q: ，x,R,x,1注:全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 22如上述命题p和q的否定:?p:， ?q: ，m,R,(m,1),0,x,R,x,192、椭圆 ?定义:若F，F是两定点，P为动点，且PF，PF,2a(为常数)则P点的轨迹是椭圆。 a12122222xyyx(a,b,0)(a,b,0)，,1，,1?标准方程:焦点在x轴: ; 焦点在y轴: ; 2222ababc222e, 长轴长=，短轴长=2b 焦距:2c 恒等式:a-b=c 离心率: 2aa93、双曲线 PF,PF,2a?定义:若F，F是两定点，(为常数)
16、，则动点P的轨迹是双曲线。 a1212?图形:如图 ?标准方程: 22xy(a,0,b,0),1焦点在x轴: 22ab22yx(a,0,b,0),1焦点在y轴: 22ab实轴长=2a，虚轴长=2b， 焦距:2c c222e,恒等式:a+b=c 离心率: aba渐近线方程:当焦点在x轴时，渐近线方程为;当焦点在y轴时，渐近线方程为 y,xy,xab22a,b等轴双曲线:当时，双曲线称为等轴双曲线，可设为。 x,y,94、抛物线 l ?定义:到定点F距离与到定直线的距离相等的点M的轨迹是抛物线(如左下图MF=MH)。 ?图形: H M p F F (,0)2 准线 15 2222方程 y,2px,
17、(p,0)ypxp,2,(0)xpyp,2,(0)xpyp,2,(0)pppp焦点: F F F F (,0)(,0),(0,)(0,),2222pppp准线方程: x,y,x,y,2222p注意:几何特征:焦点到顶点的距离=;焦点到准线的距离=; p2/f(x)95(导数的几何意义:表示曲线在处的切线的斜率; f(x)kx,x00/ 导数的物理意义:表示运动物体在时刻处的瞬时速度。 f(x)x0096、几种常见函数的导数 nn,1,(1) (C为常数). (2) . C,0(x),nx(n,Q),(sinx),cosx(cosx),sinx(3) . (4) . 111xxxx,(lnx),
18、 (5) ;. (6) ;. (7) (a),alna(e),e(),2xxx97、导数的运算法则 uuvuv,()(0),v(1). (2). (3). ()uvuv,()uvuvuv,，2vv98(函数的单调性与其导函数的正负的关系: f(x),0y,f(x)在某个区间(a , b)内，如果，那么函数在这个区间内单调递增; f(x),0y,f(x)如果，那么函数在这个区间内单调递减。 y,f(x)f(x),0 注:若函数在这个区间内单调递增，则 y,f(x)f(x),0 若函数在这个区间内单调递减，则 99、判别是极大(小)值的方法 f(x)0极大值 ,f(x)(1)求导; ,f(x)(2
19、)令=0，解方程，求出所有实根 x0极小值 f(x)(3)列表，判断每一个根左右两侧的正负情况: x0,f(x),0f(x),0如果在附近的左侧，右侧，则是极大值; xf(x)00,f(x),0f(x),0 如果在x附近的左侧，右侧，则f(x)是极小值. 00100、求函数在闭区间a , b上的最值的步骤: f(x) (1)求函数的所有极值; f(a),f(b) (2)求闭区间端点函数值; 16 f(a),f(b) (3)将各极值与比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。 /注意:(1)无论是极值还是最值，都是函数值，即，千万不能写成导数值。 f(x)f(x)00(2)若在某区间内只有一个极
20、值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。 选修1-2 zabi,，101、复数，其中叫做实部，叫做虚部 baabicdiacbd，,，,abcdR,(1)复数的相等 .() (2)当a=0,b?0时,z=bi为纯虚数; (3)当b=0时,z=a为实数; ,z,a,bi(4)复数z的共轭复数是 22|z(5)复数的模=. zabi,，ab，2 2 (6)i=-1, (-i)=-1. (,)abzabi,，(7) 复数对应复平面上的点， 102、复数的四则运算法则 ()()()()abicdiacbdi，,， (1)加:; ()()()()abicdiacbdi，,，,，,(2)减:;
21、()()()()abicdiacbdbcadi，,，(3)乘:;类似多项式相乘 a，bi(a，bi)(c,di),(4)除:(分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”) c，di(c，di)(c,di)103、常用不等式: 22abR,abab，,2(1)重要不等式:若，则(当且仅当a,b时取“=”号)( ,a,0,b,0(2)基本不等式:若，则 (当且仅当a,b时取“=”号)( a，b,2ab基本不等式的适用原则可口诀表示为:一正、二定、三相等 当ab为定值时，a，b有最小值，简称“积定和最小” 当a，bab为定值时，有最大值，简称“和定积最大” 104、推理: (1)合情推理:包含
22、归纳推理(从特殊到一般)和类比推理(从特殊到特殊) (2)演绎推理:从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括:大前提(已知的一般原理)、小前提(所研究的特殊情况)、结论(根据一般原理，对特殊情况得出的判断) 105、证明: (1)直接证明:包括综合法(又叫由因导果法)和分析法(又叫执果索因法) (2)间接证明:又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立。 坐标系与参数方程 |OM|,106、极坐标系:其中 (x,y)? 点M, 极径y 17 ,)极角 极点O x 极轴 x(,) (1)如图，点M的极坐标为 (2)极坐标与直角坐标的
23、互化公式: y222x,cos,y,sin,?; ?， ,tan,x，y,xx,f(t),107、参数方程形如(*) ,(t为参数),y,g(t),参数方程是借助参数，间接给出之间的关系,而普通方程是直接给出与的关系，x,yytxx，y,1,0 如x,r,cos,222(1)圆的参数方程是 x，y,r,(,为参数),y,rsin,22,x,acos,xy，,1(2)椭圆的参数方程 ,(,为参数,a,b,0),22aby,bsin,(3)参数方程与普通方程的互化:消去参数方程的参数，得到普通方程。 22sin,，cos,1 消去参数的方法有:?公式法:用公式等 x,f(t)t,h(x)y,g(t) ?代入法:方程(*)中，由解出，代入 ?加减消元