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1、1. 前 言2. 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。3. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：4. 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；5. 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证
2、法、归纳法、演绎法等；6. 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；7. 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。8. 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。9. 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现
3、，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。10. 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。11. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）
4、思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。12. 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。第一章 高中数学解题基本方法13. 配方法14. 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂
5、项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。15. 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。16. 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：17. ab(ab)2ab(ab)2ab；18. aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；19. abcabbcca(ab)(bc)(ca)20. abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbc
6、ca)21. 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：22. 1sin212sincos（sincos）；23. x(x)2(x)2 ； 等等。24. 、再现性题组：1. 在正项等比数列a中，asa+2asa+aa=25，则 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。25. A. k1 B. k1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1，则sincos的值为_。26. A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog (2x5x3)的单调递增区间是_。27. A. （, B. ,+) C. (, D. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x
7、+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a_。28. 【简解】 1小题：利用等比数列性质aaa，将已知等式左边后配方（aa）易求。答案是：5。 29. 2小题：配方成圆的标准方程形式(xa)(yb)r，解r0即可，选B。 30. 3小题：已知等式经配方成(sincos)2sincos1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。31. 4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。32. 5小题：答案3。33. 、示范性题组：例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。3
8、4. A. 2 B. C. 5 D. 635. 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。36. 【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：。37. 长方体所求对角线长为：538. 所以选B。39. 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2. 设方程xkx2=0的两实根为p、q，若()+()7成立，求实数
9、k的取值范围。40. 【解】方程xkx2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,41. ()+()7， 解得k或k 。42. 又 p、q为方程xkx2=0的两实根， k80即k2或k243. 综合起来，k的取值范围是：k 或者 k。44. 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例3.
10、 设非零复数a、b满足aabb=0，求()() 。45. 【分析】 对已知式可以联想：变形为()()10，则 （为1的立方虚根）；或配方为(ab)ab 。则代入所求式即得。46. 【解】由aabb=0变形得：()()10 ，47. 设，则10，可知为1的立方虚根，所以：，1。48. 又由aabb=0变形得：(ab)ab ，49. 所以 ()()()()()()2 。50. 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。51. 【另解】由aabb0变形得：()()10 ，解出后，化成三角形式
11、，代入所求表达式的变形式()()后，完成后面的运算。此方法用于只是未联想到时进行解题。52. 假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由aabb0解出：ab，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。53. 、巩固性题组：54. 函数y(xa)(xb) （a、b为常数）的最小值为_。55. A. 8 B. C. D.最小值不存在56. 、是方程x2axa60的两实根，则(-1) +(-1)的最小值是_。57. A. B. 8 C. 18 D.不存在58. 已知x、yR，且满足x3y10，则函数t28有_。59. A.最大值2 B.最大值 C.最小值
12、2 B.最小值60. 椭圆x2ax3ya60的一个焦点在直线xy40上，则a_。61. A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或662. 化简：2的结果是_。63. A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 设F和F为双曲线y1的两个焦点，点P在双曲线上且满足FPF90，则FPF的面积是_。7. 若x1，则f(x)x2x的最小值为_。8. 已知，cos(-)，sin(+)，求sin2的值。(92年高考题)9. 设二次函数f(x)AxBxC，给定m、n（m0；65. 是否存在一个实数t，使当t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR
13、，xlogtlogs，ylogtlogsm(logtlogs),66. 将y表示为x的函数yf(x)，并求出f(x)的定义域；67. 若关于x的方程f(x)0有且仅有一个实根，求m的取值范围。68. 二、换元法69. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。70. 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联
14、系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。71. 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。72. 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。73. 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y的值域时，易发现
15、x0,1，设xsin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr（r0）时，则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。74. 均值换元，如遇到xyS形式时，设xt，yt等等。75. 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,。76. 、再现性题组：1. ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2. 设f(x1)log(4x) （a1），则f(x)的值域是_。3
16、. 已知数列a中，a1，aaaa，则数列通项a_。4. 设实数x、y满足x2xy10，则xy的取值范围是_。5. 方程3的解是_。6. 不等式log(21) log(22)2的解集是_。77. 【简解】1小题：设sinx+cosxt,，则yt，对称轴t1，当t，y；78. 2小题：设x1t (t1)，则f(t)log-(t-1)4，所以值域为(,log4；79. 3小题：已知变形为1,设b，则b1,b1(n1)(-1)n，所以a；80. 4小题：设xyk，则x2kx10, 4k40,所以k1或k1；81. 5小题：设3y，则3y2y10,解得y，所以x1；82. 6小题：设log(21)y，则
17、y(y1)2，解得2y0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。114. 【解】 设sinxcosxt，则t-,，由(sinxcosx)12sinxcosx得：sinxcosx115. f(x)g(t)(t2a) （a0），t-,116. t-时，取最小值：2a2a117. 当2a时，t，取最大值：2a2a ；118. 当00恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）123. 【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。124. 【解】 设logt，则loglog3log3log3t，log2log2t，1
18、25. 代入后原不等式简化为（3t）x2tx2t0，它对一切实数x恒成立，所以：126. ，解得 t0即log0127. 01，解得0a0恒成立，求k的范围。136. 【分析】由已知条件1，可以发现它与ab1有相似之处，于是实施三角换元。137. 【解】由1，设cos，sin，138. 即： 代入不等式xyk0得：139. 3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 140. 所以k0143. k 平面区域144. 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式axbyc0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题
19、不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由0可求得k3,所以k0)，则f(4)的值为_。147. A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4148. 函数y(x1)2的单调增区间是_。149. A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-1150. 设等差数列a的公差d，且S145，则aaaa的值为_。151. A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5152. 已知x4y4x，则xy的范围是_。153. 已知a0，b
20、0，ab1，则的范围是_。154. 不等式ax的解集是(4,b)，则a_，b_。155. 函数y2x的值域是_。156. 在等比数列a中，aaa2，aaa12，求aaa。157. y D C A B O x158. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx2mcosx4m10,y0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。 160. 三、待定系数法161. 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g
21、(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。162. 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。163. 使用待定系数法，它解题的基本步骤是：164. 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；165. 第二步，根据恒等的条件，列出
22、一组含待定系数的方程；166. 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。167. 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：168. 利用对应系数相等列方程；169. 由恒等的概念用数值代入法列方程；170. 利用定义本身的属性列方程；171. 利用几何条件列方程。172. 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。173. 、再现性题组：174. 设f(x)m
23、，f(x)的反函数f(x)nx5，那么m、n的值依次为_。175. A. , 2 B. ， 2 C. , 2 D. ，2176. 二次不等式axbx20的解集是(,)，则ab的值是_。177. A. 10 B. 10 C. 14 D. 14178. 在(1x)（1x）的展开式中，x的系数是_。179. A. 297 B.252 C. 297 D. 207180. 函数yabcos3x (b0，7x0，x0。223. 设V(15aax)(7bbx)x (a0,b0） 224. 要使用均值不等式，则225. 解得：a， b ， x3 。 226. 从而V()(x)x()27576。227. 所以当
24、x3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。228. 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V(15aax)(7x)bx 或 (15x)(7aax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。229. 、巩固性题组：230. 函数ylogx的x2,+)上恒有|y|1，则a的取值范围是_。231. A. 2a且a1 B. 0a或1a2 C. 1a2或0a232. 方程xpxq0与xqxp0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_。233. A. 1 B. 1 C. pq D. 无法确定 234. 如果函数ysin2xacos2x的图像关于直线x对称，那么a_。235. A. B. C. 1 D. 1236. 满足C1C2CnC500的最大正整数是_。237. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7238. 无穷等比数列a的前n项和为Sa , 则所有项的和等于_。239. A. B. 1 C.