导数相关概念练习.doc

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1、导数练习(二)、知识点导数的概念1 导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=xo处给自变量x以增量 x,函数y銅空htho些!址相应有增量 y=f(xo+&) f(xo)，若极限存在，则此儿f极限称为f(x)在点x=xo处的导数，记为f x0)，或；导数的几何意义:函数戈 E 在点F处的导数的几何意义就是曲线F在点处的切线的斜率，也就是说，曲线M 3 在点处的切线的斜率是J2lJ，切线方程为一些基本初等函数的导数表（2）（）严；与此有关的（4）（/了 W0（肚）。严 H 1）；Qn = (jc Q)(5)Qc号另=(6)(sin jk)1 = cusx.(8)(COSJK)1 =MX ；导数的

2、运算法则(1) (叨-；ly村*駅町扛町十巩9.5为嵐切二 Z+ /W” W ；?C/KIO)/Wy _3童3x 町丽-若罗于（叹址旳 也则门工）-“1、经典范例及练习（一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点）（求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点g及斜率，其求法为：设厲耳）是曲线卩/上的一点，则以p的切点的切线方程为：F F*若曲线? /V）在点 0的切线平行于了轴（即导 数不存在）时，由切线定义知，切线方程为養=斗.）类型一：已知切点，求曲线的切线方程例1曲线戶厂11在点山U处的切线方程为（）A. F理-了 “认.了 仆dT 血类型二：已知斜率

3、，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.例2与直线加了 E 的平行的抛物线1的切线方程是（）A 生一”+3 = 0-肚_尸一3=0 氐一尸专1=0d类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法. 例3求过曲线# 一厂上的点一U的切线方程.故所求切线方程为尸卩习（ 贮U ,y-或HE)r-_y-2-0 或 5r+4y-l -0评注：可以发现直线2仃丨并不以 I）为切点，实际上是经过了点山9且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法.类型四：已知过曲线外一点，求切

4、线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解.=例4求过点C叨且与曲线相切的直线方程.解：设% X为切点，则切线的斜率为f风=吉仗2）y- 7書斗）切线方程为，即又已知切线过点1号9，把它代入上述方程，得解得评注：点厲实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充 分反映出待定切点法的高效性.例5已知函数旷工，过点朋M）作曲线戸了的切线，求此切线方程.解：曲线方程为旷严点创即附不在曲线上.设切点为“川则点鞍的坐标满足h V叫因J,故切线的方程为戶斤 糾悴7点刨列在切线上，则有皿z mm购7化简得片，解得.所以，切点为転H ,切线方程为叽-尸M .评注：此类题的解题思路

5、是，先判断点 A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一 或类型三；若点 A不在曲线上，应先设出切点并求出切点。（二）判断分段函数的在段点处的导数1，判断在庄一】处是否可导?分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导.解：担用山Ak也内At鉅皿ArAr从）在兀1处不可导.说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即.，当山 皿；包括* 0 -0，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、 右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.三、课外练习He1、设函数/在入一 2处可导，且八上） ,求斤川 已知 /W = xCr+JXx

6、+2) (x200ff)，求刃2 求下列函数的导数crI11盘lnxV = - x + 3.已知曲线(1)求曲线在点处的切线方程;求曲线过点 V)的切线方程。4、曲线尸討在点称是1和匚厦的公切线若 方程.】和有且仅有一条公切线，求的值，并写出此公切线的A.5、已知抛物线5 ：屮一 “和G ： F一5，如果直线同时是和的切线,5、已知函数门“心止皿为偶函数，它的图象过点，且在“1 处的切线方程为3卩7，求函数丿的解析式.7、设 八是函数的导函数，将*M)和里3的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()8、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数0且g(3)=0.则不等式f(x)

7、g(x) V 0的解集是()A . (-3,0) U (3,+ g) B . (-3,0) U (0, 3) C. (-3) U (3,+) D . (- -3) U (0, 3)9、已知向量出 yut1 5若函数兀町“在区间 f上是增函数，求 的取值范围.10、已知函数#00 0?亠时尸(1) 如口百日，求/w的单调区间；(2) 若f。)在(曲(2旳单调增加，在(/“)单调减少，证明6 ./(x)=ln7(lx)11、已知函数(1)求函数的单调区间;(1 + -)* e(2)若不等式对任意的ncN*都成立(其中e是自然对数的底数)，求厘的最大值.12、.已知函数I E Ji 1 的图象过点P

8、 （0,2）,且在点 M（ VI 切 处的切线方程为 氣汀.（I）求函数F fOO的解析式；（n）求函数F的13、设 恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。小结1当2时，小）是增函数；当八A。时，小）是减函数用导数法研 究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想.因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的.2利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过 讨论导数的符号，求出函数的单调区间.同时还要注意的是

9、， 在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点.3.八引。或（：仅是卫（引在某区间上为增函数或减函数的充分条件在某区间内可导函数单调递增（减立.或）的充要条件是丿（4 0 （上“） ）在该区间上恒成4 本专题易错点主要有:函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；求函数的单调区间实际上是不等式八14 （厂（4沁）对应的解集；但如果问题是已知函数在区间I勺上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式厂（“ 7 （或少）7 ）恒成立问题.导数练习（二）、知识点导数的概念1.导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=xo处给自变量x以增量 x,函数

10、y龜Ax2鼻应)-FtV相应有增量 y=f(xo+&) f(xo)，若极限存在，则此V极限称为f(x)在点x=Xo处的导数，记为f x0)，或；导数的几何意义:函数T(町在点F处的导数的几何意义就是曲线 F在点ms 处的切线的斜率，也就是说，曲线少了(在点另处的切线的斜率是八九)，切线方程为 y-Jo -/CtXr-i()K一些基本初等函数的导数表(1)）;与此有关的如(*jF.（4）（/了 _W0（胆）。严 H 1）；flu好二_件町rQg 方=(6)(tn j = cusx ；;导数的运算法则：(1)UV)际 1T 八TW?5虹=干他（切加” （X）；?_ ZWffOJ -尹5童 申易丰Q

11、）若F H小乩则、经典范例及练习（一）求曲线的切线方程四种常见的类型及解法：（重点）（求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点g FJ及斜率，其求法为：设 叽齐）是曲线卩/上的一点，则以卜的切点的切线方程为：若曲线 m 在点 g 八心的切线平行于f轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为養=斗.）类型一：已知切点，求曲线的切线方程例i曲线戸在点一U处的切线方程为（）A. F处讯E. 了饥J j 了仇门D. F W解：由恥则在点山J处斜率*厂飞 ,故所求的切线方程为-如-1），即F 九4，因而选E.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，

12、再用点斜式方程加以解决.例2与直线斗的平行的抛物线 1的切线方程是（）B 2r-y-3-0C：吐子I】UD 肚J I u解：设叫 Fj为切点，则切点的斜率为F f *2 .由此得到切点山.故切线方程为八恥 即肚F |“，故选d.评注：此题所给的曲线是抛物线， 故也可利用法加以解决，即设切线方程为r h ,代入，得F b b 0,又因为A = 0 ,得占=T,故选D.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法. 例3求过曲线yc 71上的点（J】）的切线方程.解：设想厲齐）为切点，则切线的斜率为 “7 九 切线方程为*耳的 g令

13、又知切线过点卩，, 把它代入上述方程，得解得,或上.故所求切线方程为r-_y-2-0 或 5r+4y-l -D,或评注：可以发现直线、匕十斗F 1 并不以为切点，实际上是经过了点山一 J且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法.类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解.1F =例4求过点）且与曲线. 相切的直线方程.解：设厲F片丿为切点，则切线的斜率为F-X 是2) 尸占一音(r-勾，切线方程为，即 又已知切线过点 E)，把它代入上述方程，得解得评注：点厲叭实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的

14、确切位置，充分反映出待定切点法的高效性.例5已知函数旷-处，过点琪即作曲线2 的切线，求此切线方程.解：曲线方程为F “九，点團L】切不在曲线上.设切点为”厲川则点紐的坐标满足片.丨-叫因厂厲厂冲M故切线的方程为戶n納“悴G点刨旳在切线上，则有1(“ 知如朋7.化简得“，解得人.所以，切点为2宀，切线方程为壯一尸山.评注：此类题的解题思路是，先判断点 A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点 A不在曲线上，应先设出切点并求出切点。(二)判断分段函数的在段点处的导数半，+聘51 2，判断在处是否可导?分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导.解：起皿Ar

15、Ar在工=1处不可导.珀/岭十陶-/1“说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即.，当山 ；包括4 心；加TQ-，判定分段函数在“分界处”的导数是否存在时，要验证其左、 右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.练习/200ff)，求刃.解： 由已知条件和导数的定义，可得：当 Ar = & 时，*h亠*k-竝 疋骨檜-e-助_砲/(2十防-mHt/a)-/(A切I 2h2h=+卿心计H穗j凹晋型4护1(2)解法解法二：令呵心現申心加场，则丽“丽从而由导数乘法的计算公式得 八目 心1 用所以尸(町=J0且g(3)=0.则不等式f(x)g(x) V 0的解集是

16、 ()A (-3,0) U (3,+) B (-3,0) U (0, 3) C. (-3) U (3,+) D (- -3) U (0, 3)解析当xV0时，八必B 心a)0，即山讹当x V 0时，f(x)g(x)为增函数，又 g(x)是偶函数且 g(3)=0 , g(-3)=0 , f(-3)g(-3)=0故当 X 0 时，f(x)g(x)为减函数，且 f(3)g(3)=0故当。 JC r I u J ft T=仗-旳= -x-3Xx+3）eI当k岁或Dy工J时，厂（QaO；当-3Jf “）a可（0 旳七“小将右边展开，与左边比较系数得,故萨u M伽护 M也.又C-2X -2）0,即妙-现a

17、 I用卜4c0.由此可得aS(fD=O，当 x0 时，g()g(9 = 0所以，当_1x0时，八小心/在上为增函数.当“Q时，厂小，/在叩上为减函数.故函数/的单调递增区间为C l 0J,单调递减区间为(叮叫.+Cn + Ln(l+-)1由 总 知,不妨令Q1材 hiQ +可j? j(14 jO1h2G + jO*丿-.即0 1 0?0 1 0 八 0所以&卞）7八于是叫5在（01J 上为减函数故函数吨“在上的最小值为所以白的最大值为S2 .归纳小结：本题考查了利用导数求复杂函数的单调区间和利用单调区间求最值问题， 查了转化和整合思想，对计算和恒等变形、归纳推理能力有较高的要求.11、.已知函

18、数 爪）一*1处1 的图象过点P（0,2）,且在点M（切的切线方程为 氣汀f . （I）求函数F jg的解析式；（H）求函数F 儿） 单调区间.解: （ I）由不的图象经过P （0, 2），知d=2 , 所以AO -1亦I /*（力= 3xI4c_由在（小处的切线方程是触和丁 , 知-c-/（-D+7=4 即y（-i）=ir（-i）二 6-=解得故所求的解析式是 兀 _ F 讨（n） 厂（）17 芒 緘 -oj 1 “ 1-0解得 7厘宀一11当* 1a1 I V厂（上”匕当i耳-11屈o故fg X对2二（吋内是增函数，在0 o1内是减函数，在 nn）内是增函数.12、设/（町茂八“ i恰有三

19、个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：TA町如厂W对I （ g）恒成立，此时从）只有一个单调区间，矛盾厂1 .0.1（ ml呵，/也只有一个单调区间，矛盾rw=飞门，此时/）恰有三个单调区间（呷aQ且单调减区间为L t ）（ I -0宀如和门冋，单调增区间为小结1当2时，小）是增函数；当八小时，小）是减函数用导数法研 究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想.因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的.2利用导数求函数的单调区间，一

20、般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过 讨论导数的符号，求出函数的单调区间.同时还要注意的是， 在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点.3. 八或力仅是八（在某区间上为增函数或减函数的充分条件在某区间内可导函数单调递增（减立.或）的充要条件是丿（4 0 （上“） ）在该区间上恒成4 本专题易错点主要有:函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；求函数的单调区间实际上是不等式八14 （厂（4沁）对应的解集；但如果问题是已知函数在区间I勺上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式厂（“ 7 （或少）7 ）恒成立问题.1由于讥已的图象的对称轴为，开口向上的抛物线，故使 2菊 2v在区间Z)上恒成立，只须.而当心时，厂在卜上满足 d,即小)在一7上是增函数.故的取值范围是.9、已知函数AO-U1小够r,