《向量和向量范数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量和向量范数.docx（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.4向量和矩阵范数3.4.1内积与向量范数为了研究方程组Ax=b解的误差和迭代法收敛性，需对向量 K亡卫及矩阵止 R晦的”大小”引进一 种度量，就要定义范数，它是向量 长度”概念的直接推广，通常用I 表示n维实向量空间，J 表示n维 复向量空间.定义4.1丘设（或C ”）补,心），厂叽亠），实数苗 或2）二宀=主氓严=的共馳）复数，称为向量x与y的数量积也称内积.Ha D （卅严非负实数，称为向量x的欧氏范数或2-范数.定理4.1设心J -二广|设（或匚-1）则内积有以下性质：（1）（仏工）。，当且仅当x=0时等号成立；，r工_ J 或-（3）（2 0闪或 Gj） Om）,yeC；（1”昜（
2、兀刃十（兀对庄丁上弋C*；（5）|（5勺忖個（3.4.1）称为Cauch-Schwarz不等式.（6）订m，称为三角不等式.定义4.2向量-的某个实值函数 N（x），记作-,若满足下列条件:（1）II x|0当且仅当x=0时等号成立（正定性）;（2）| 二 -I |R（齐次性）；匸V 1-1 ：-1（三角不等式）；则称-L-亠I -是1.上的一个向量范数.有以下几种常用的向量范数（称为范数）对于，由内积性质可知它满足定义4.2的三个条件，故它是一种向量范数.此外还（称为i-范数）容易验证丨y #及丨n； I均满足定义4.2的三个条件.更一般的还可定义但只有p=1,2, 时的三种范数是常用的向量
3、范数例如给定X -（12餌 ，则可求岀 Plli=Mlla=Vi4,|x|L=3定理4.2 设M| / | 是. 上任一种向量范数，则 N（x）是向量x的分量罚，鬥,的连续函定理4.3设“与1仏是 上任意两种向量范数，则存在常数，使(3.4.2)不等式称为向量范数等价性.以上两定理证明可见2, 3.讲解：在向量丄-亠-得内积（x,y）的性质中，定理 4.1的（5）为Cauch-Schwarz不等式（3.4.1）是经常使用的，下面给出证明，显然当 x = 0或y = 0时（3.4.1）成立，现设- 7，考察0 M仗+為,狀十= fcx）十22仗”y）十/（”刃若取:于是I仗或10昭）3刃十帥I两边开方则得（3.4.1）利用（3.4.1）直接可证三角不等式，从而可证明向量2 一范数，满足定义中的三个条件。是三种最常用的范数。实际上可以给出很多不同的向量范数，只要证明它们满足定义 4.2中的三个条件，定理4.3表明任意的两种向量范数II IL及它们都是等价的，对于II IIpIIILJI IL的等价性在习题10中给出，可自己证明