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1、导数题型总结一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下步骤进行解决:第一步：令厂(x)0或者厂(x)v 0求出函数的单调区间；第二步：根据第一步求出函数的极大值，极小值和最大值； 至于不等式恒成立，则要分离变量或者变更主元。例1：设函数y = /(x)在区间D上的导数为广(x), fx)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上, 例 2：设函数/(x) = -x3 +2ax2 -3a2x+b(0a l,be R)g(x)v0恒成立，则称函数y = f(x)在区间D上为“凸函数，已知实数m是常数 = 7WX363x22(1) 若y = f(x)在区间0,习上为“凸函
2、数”，求m的取值围；(2) 若对满足|/|2的任何一个实数加，函数/(X)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值.解： 由函数/(%) = -得 fx) = -3%:. g(x) = x2-mx -3(1) vy = /(x)在区间0,3上为“凸函数”，则. .g(x) = x2-mx-30在区间0,3上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于&昨匕)0g(0)v0 J_3v0g(3)v09-3/H-3 m 2解法二：分离变量法:*.* 当 x = 0 时，.g(x) = F加一3 = 30 恒成立，当 0 vx3 时，g(x) = x2 -mx-3 0恒成立V33等价于加=
3、X-一的最大值(0兀3)恒成立,XX3而hx) = x(0x 2x(2) 当”卜2时/在区间(a,b)上都为凸函数”则等价于当岡V2时g(x) = x2-mx-3 0在m 0F(2) 0-2x-x2 + 3 0=-1 xQ:.b-ci = 2(I) 求函数r(x)的单调区间和极值；(II) 若对任意的xwa + l,a + 2,不等式f(x)a恒成立，求a的取值围.解：(I) -.0 0,得 f(x)的单调递增区间 fx) = -x2 + 4ar - 3cr = -(x- 3a) (x-a)为 仙3刃令fx) 0,得于(兀)的单调递减区间为(一8, 8)和(38, +8)3.:当 时，f (x
4、) a5 +b 当 xa 时，/*(x)叔大值=.4(II)由丨广(x)|W$,得：对任意的 xea + l,a + 2,-a x2-4ax+3a2 a 恒成立则等价于g(x)这个二次函数X) g(x) = x2-4ax+3a2的对称轴x = 2a0aa + d = 2a (放缩法)即定义域在对称轴的右边,g(x)这个二次函数的最值问題：单调增函数的最值问題。a + 2g(x) = x2 -4处 + 3,在a + l,a + 2上是增函数.g(x)nax = g(a + 2) = -2a + l.g(x)nun = g(a + l) = -4a + 4于是，对任意兀Ga + l,a + 2,不
5、等式恒成立，等价于4 解得g(a + 2) = -4a + 4 -a4又 0 vavl, :,-a 0)(I )求a,b的值；(I【)当xg-1,4时，求/(x)的值域；(III)当xg1,4时，不等式/(x)g(x)恒成立，数t的取值围。解：(I)f (x) = 3x2 + 2ax：了=-3b = l + aa = -3 b = 2(II) 由(I )知，f(x)在-1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递减又 /(-I) = -4,/(0) = 0,/(2) = -4 J=16A /(%)的值域是-4,16(III) 令h(x) = f(x)-g(x) = -x2 + (t
6、+ i)x-3 xg1,4思路1：要使/(x)g(x)恒成立，只需/?(x)2x-6分离变量思路2：二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的围解法1：转牝为fXx)0fx) 0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间(即子集思想人首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或城区间的子集；例4：已知awR,函数/(兀)=右兀3+与2+2+(4。+ 1)兀.(I )如果函数g(x) = fx)是偶函数，求/(兀)的极大值和极小值；(II )如果函数/(X)是(一 8, +8)上的单调函数，求Q的取值围.解：广(兀)=丄 x2 + (a + l
7、)x 4- (4a +1).4(I)广是偶函数，a = -l. 此时/(x) = -Lj3-3x,广詁妒一3,令fx) = 0,解得：x = 23.列表如下:X（8, 2馆）(一2羽、2羽)2羽（2 馅,+8）/tv）+00+递増极大值递减极小值递增可知：/(x)的极大值为/(-2a/3) = 4JJ,/(x)的极小值为/(2V3) = 4(II)函数是(一8, +8)上的单调函数，/. fx)=丄F + (a + l)x+(4a + l)n0,在给定区间R上恒成立判别式法则4 = ( + 1)2 4 寸(4。+ 1) = 0 2a0,解得：0WaW2.综上，a的取值围是6f|00).(I)
8、求f(x)的单调区间；(II) 若/(兀)在0, 1上单调递增，求自的取值围。子集恩想解：(I) fx) = x2 +(2-a)x + l-a = (x +l)(x+1-).1、当a = (M,/ x ) = (x +1)2 0恒成立，当且仅当兀=一1时取号，/在(Y),g)单调递增。2、当4耐,由广(尤)=0,得召=-l,x2 =d_l,KX x2,单调增区间：(YQ,1),(。一1,+8)单调增区间：(-l,a-l)(II)当/(x)在0,1上单调递增，则0,1是上述增区间的子集：1、0 = 0时，/(x)在(-O0,+O0)单调递增符合題意2、0,lc(6f-l,+oo),.a 0在区间
9、(2,+oo)上恒成立(分高变量法即k + l2,.鸟+ 12,故kl：.k的取值围为RV1设心)=念)一8(兀)耳一筈9才+如右,hx) = x2 -(k + l)x + k = (x- k)(x 一 1) 令hx) = 0得x-k 或x = l 由(1)知0, /?(x)在R上递增，显然不合题意当Evi时，/i(x), /r(x)随兀的变化情况如下表:XY,灯k(匕i)1(1,+8)hX-x)+00+处)/极大值Q k2 1 T + T_ 3X极小值k-12/k -1由于vO,欲使/(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程/?(%) = 0有三个不同的实根，故kQ,解得 k0,即(R 1)伙一 2R 2)0综上，所求R的取值围为kl-yf3