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1、绝对值及其应用隋福太关键词：绝对值，绝对值的几何意义及其应用知识点精讲1. 绝对值的几何定义：在数轴上表示这个数的点到原点 的距离就是这个数的绝对值.a的绝对值表示为a.所以3 3，| 66|005588 通过上例易得例.已知x 3 x 5 12，求x的取值范围练习1.已知x 3 x 5 12，求X的取值范围2. 绝对值的代数定义：正数的绝对值就是它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值就是它的相反数3. 绝对值的性质：非负性例.x 1与|y 2互为相反数，试求(a b)20024. 根据相反数的定义知，一对相反数分居原点两侧，并且到原点的距离相等.结合绝对值的定义知|a | a .由于(a b
2、) (b a) 0，故a b与b a是一对相反数，同样会有a b b a .例.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数，则这个数是练习1.数轴上表示互为相反数的两点之间的距离为6，这两个数是5. 在数轴上，a，b两点之间的距离为a b或|b a.当知道 两点的位置关系时，通常就去掉绝对值；当不知道两点之间位 置关系时，就带上绝对值符号.由此易得6中点公式：以 Pl（Pl）和P2（P2）为端点的线段的中点为Pl P211ACB已知数轴上如图自左向右为 A、B、C三点，它们所对的 数分别为a、b、c，且都不为零，点C为AB的中点，如果a ba 2c b 2c a b 2c 0，
3、试确定原点 O的大致位置6. 点P（p）到AgXi 1,2,3 n）的距离和为P ai p a2p an .n 1（1 ）当n为奇数时，P取第 亍个点时（即正中间的那个数），该距离和最小（2 ）当n为偶数时，p取第2到第卫”个点（包括这两个点）时，距离和最小例.求x 1X 3 x 5的最小值是多少？练习1. X 1X2X3x 4x 5X 1997的最小值2.已知y xaX19Xa 96，如果19a 96， a x 96 求y的最小值7三角不等式：laba ba b经典例题选讲例1.已知（X 1X2)( y2 y 1)(z 3z1) 36,求X 2 y3z的最大值和最小值解：x 1 |x 2 3
4、，当1 x 2时等号成立；|y 2 |y 1 3, 当1 y 2时等号成立；|z 3 |z 1 4，当1 z 3时等号成立. 由条件得 x 1 |x 2 3 , |y 2 |y 1 3 , |z 3 |z 1 4，则当 x 2, y 2， z 3时，x 2y 3z的值最大，最大值为 15.当 x 1, y 1， z1时，x 2y 3z的值最小，最小值为-6.例2.设人，X2X3X4X5X6是6个不同的正整数，取值于123,4,5,6，记S 人X2X2X3X3X4X4X5X5为， 求S的最小值解：根据绝对值的意义得，原题等价于：从数轴上点1出发，每次走一个整数点， 走完点2，点3，点4点5，点6
5、， 最后回到点1，问最少走了多少距离？取X11X22X33X44X55x66SX-!X2X2X3X3X4X4X5X5X6X6X11+1+1+1+1+1+5=10例3.将1 , 2 ,3，200,这200个数任意分成两组，每组100个数，将一组按由小到大的顺序排列（记为a1 a2a。），另一组按由大到小的顺序排列（记为b1 b2b1oo），试求 a d a2 b2 a3 b?际 的值先证明：对于代数式的任何一项ai bi| （i=1,2, -100 ）中的ai,bi，较大的数一定大于 100 ,较小的数一定不大于100.(1 )若 ai 100且 bi 100 ,贝U 由 a1 a?a10010
6、0 及100 ab2b100，知 a1,a2,ak, bk ,bk 1 ,b100 共101个数都不大于100.这是不可能的(2)若ai100 且 bi100,贝U由a100a99ak 100 及b1b2 b100100,知b1, b2 , , bk , ak , ak 1, , a100共101个数都大于100.这也是不可能的于是代数式中100个绝对值ai b|,a2 b2,a3 b?, ,叽。中较小的数为 1 ,2，100，较大的数为101,102，200. 故原式=(101+102+ -+200 )-(1+2+ -+100 ) =10000.例 4. 20x 1010x 1530x 20
7、 最小值该题相当于在数轴上，10点处有20个工人，15点处有10个工人，20点处有30个工人，在数轴上求一点使他们 到该点的路程和最小？解.先对10点处20个工人和20点处20个工人，当这一 点只要取在10到20点之间任一点这40个工人走的路程和 最小，最小距离和为20 10=200.因而在15点处有10个工 人，20点处有10个工人，只需这20个工人所走的路程和 最小即可，易得取15到20之间(包括这两点)任取一点即 可，取20,易得最小距离和为10 5=50.练习 1.当 x 满足什么条件时，1.5x 0.52.5x 0.53.5x 0.54.5x 0.5 + 5.5x 0.56.5x 0
8、.5 的值 取得最小值.A.丄11x1o 11B. x 997c 11n 11C. xD.一 x 751311例5.a 24， b 8，且 ab b a求a和b解.a 2 4表示到2的距离等于 4的点为a=2-4=-2 和 a=2+4=6 两个点.由 abb a知 b a，当 a=-2 时，b=8； 当 a=2 时，b=8.例 6. (m n)2 m m,且 2m n 20，求 mn解.(m n)2 m m知 m 0可得(m n)20，得 m+n=0,由2m n 20得 2m-n-2=0,易求得 m 2， n -，则 mn -.339例7.解绝对值方程|x32x 5 6x 2 x 612解.x
9、 3 2表示x到3的距离为2，故x=1或x=5 x 5 6表示到-5的距离为6的点，故x=1或x=-11 x 2 |x 6 12表示到2和6的距离和为12，易知到2 和到6的点的距离和的最小值为 4，故x 一定不在2和6之 间，即在2的左边或在 6的右边，12-4=8 ，8 2 4所以x=10 或-2.例 8.解方程 |2x 4 3x 2|3x 2 4x 9例9.已知a，b，C，d是有理数，a b 9， c d 16，且 a b c d 25求 bad c 的值解：因为 25 a b c d la b |c d 9 16 25，所以只有a b 9， c d 16则原式=9-16=-7例10.若
10、X 0,化简|x 3 |x解因为X 0，所以X 3 0，原式-2xX3 x x练习6.n |Pn p7.若a 0, b 0 , x a x b a b，则x的取值范围为8.求满足a b ab 1的非负整数对a,b的值9.已知：三个数a,b,c的积为负数，和为正数，且ax3 bx2 cx 1 的值ablC|abc|ab|ac|bc|abcabcabacbc10. a与 b互为相反数，且a- b那么a-ab ba2 ab 1A、B、C,如果 a b b ca c ,那么点B的位置为11. 设a 0，且x ，试化简x 1 x 2a12. 化简 |x 1 2 x 113.a0,且 x -/a-,试化简
11、a14.化简2 x 3x2x |5xx 1 x 215. 化简 |x 5 2x 316. |x 12|x 1b、c在数轴上的对应的点分别为20 .不相等的有理数a、0，求ab的值21.已知（a b）2 b 5 b 5,|2a b 122. 设k为自然数，且ka+b=O,则善1+里2等于|b|b23. 已知a、b、C均为整数，且满足|a b10 |a c10 1,则a b b c a c =24 .已知0 a 9，那么|a 2 3 a的最大值为25.如果a、b、c是非零有理数，且 a+b+c=0 ，那么咅2寿rbc的所有可能的值为|a| b c|abc|如果a、b、c、d是互不相等的有理数，且a c b c d b 1，那么|a d 等于（）（山东省第二届“灵通杯”七年级数学竞赛题）（A）1.（ B）2.（ C） 3.（ D）4.感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考