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1、一元一次方程的解法(提升)知识讲解【学习目标】1 .熟悉解一元一次方程的一般步骤,理解每步变形的依据;2 .掌握一元一次方程的解法,体会解法中蕴涵的化归思想;3 .进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.【要点梳理】要点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍去括号移项合并同类项系数化成1要点诠释:先去小括号,再去中括号,最后去大括 号把含有未知数的项都移到方程的一边, 其他项都移到方程的另一边(记住移项 要变号)把方程化成ax=b(aw0)的形式在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x b .a考前须知(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是
2、一个整体的,去分母后应加 上括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号(1)移项要变号(2)不要丢项字母及其指数不变不要把分子、分母写颠倒(1)解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,而且也不一定要根据自上而下的顺序,有些步骤可以合并简化.(2)去括号一般按由内向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母,注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆.要点二、解特殊的一元一次方程1 .含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化
3、去绝对值的依据是绝对值的意义.要点诠释：此类问题一般先把方程化为|ax b c的形式,再分类讨论：(1)当c 0时,无解；(2)当c 0时,原方程化为：ax b 0； (3)当c 0时,原方程 可化为：ax b c或ax bc.2 .含字母的一元一次方程此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax= b,再分三种情况分类讨论：b .(1)当aw0时,x ；(2)当a=0, b=0时,x为任意有理数；(3)当a=0, bw0时, a方程无解.【典型例题】类型一、解较简单的一元一次方程1 .解方程：2 x(1) -x 5 3;(2) 15.4x 320.6x.3 2【答案与解析】4 x-解：(1)
4、x 5-3.5 2口 1移项,合并得x 8.6系数化为1,得x = 48.(2)15.4x+32 = -0. 6x.移项,得 15.4x+0.6x=-32.合并,得16x = -32.系数化为1,得x=-2.【总结升华】 方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边,把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边.(2)合并：即通过合并将方程化为ax=b(aw0)的形式. b(3)系数化为1:即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解x -.a举一反三：【变式】以下方程的解法对不对如果不对,错在哪里应当怎样改正3x+2 = 7x+5
5、解：移项得3x+7x = 2+5,合并得10x=7.,系数化为1得x .10【答案】以上的解法是错误的,其错误的原因是在移项时没有变号,也就是说将方程中右边的7x移到方程左边应变为-7x,方程左边的2移到方程右边应变为-2.正确解法：解：移项得3x-7x=5-2,合并得-4x=3,系数化为1得x 国.4类型二、去括号解一元一次方程1 122 .解万程：一x- (x1)-(x1).223【答案与解析】1 1122解法1：先去小括号得：-x1x1-x2.2 2233一,-11122再去中括万将：xx x.24433,一 .、一511移项,合并得： 一x 121211系数化为1,得：x .5解法2:
6、两边均乘以2,去中括号得:去小括号,并移项合并得:5 -x61解法3：原方程可化为：2x一 1 ,、 1去中括号,得x 122移项、合并,得 x 1121)4(x1|1x /(X 1)11. 口一,解得：612(x 1)1)|(x34 o(x1) 311x 5|(x 1)-31).11解得x 5【总结升华】解含有括号的一元一次方程时,一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号,但有时根据方程的结构特点,灵活恰当地去括号,以使计算简便.例如此题的方法3:方程左、右两边都含x-1,因此将方程左边括号内的一项 x变为x-1后,把x-1视为一个整 体运算.1 11 1. c 3.解方程：x 1 1 1 1
7、 0.2 2 2 2【答案与解析】 解法1：层层去括号去小括号211 0.一 1 11去中括号一一x 2 841 0.,一 r 11 1去大括万x 168 40.移项、合并同类项,得1一 x16158,系数化为1,得 x=30.解法2:层层去分母 口 1移项,得一2,111两边都乘2,得一一一x 12 2 211 2.-111/移项,得x 112 2 23.,11两边都乘2,得一 一 x 12 21 11移项,得x 17 ,两边都乘2,得X 1 14 .2 221移项,得,x 15,系数化为1,得x=30.【总结升华】 此题既可以按去括号的思路做,也可以按去分母的思路做.举一反三：、,、1 1
8、 1 1【变式】解方程1 1 1 1X 1641.2 3 4 5【答案】.、,一,111解：万程两边同乘 2,得X 164 2 .3 4 511 1 1移项、合并同类项,得 1 11x 162.3 4 51 1两边同乘以3,得一一x 166 .4 5一 人,r 11, C移项、合并同类项,得x 10 .4 51两边同乘以4,得x 1 0 .5一 1 移项,得一x 1 ,系数化为1,得x=5.5类型三、解含分母的一元一次方程4.解方程:4x 1.5 5x 0.80.50.21.2 x【思路点拨】 先将方程中的小数化成整数,再去分母,这样可防止小数运算带来的失误. 【答案与解析】-40X 15解法
9、1:将分母化为整数得： 5约分,得：8x-3-25x+4= 12-10x .、 人 r11移项,合并得：x 11 .750x 8 12 10x218x- 3-25x+4 = 12-10x解法2:方程两边同乘以1,去分母得： 移项,合并得：x .71;但有时直接去分母更【总结升华】 解此题一般是先将分母变为整数,再去分母,如解法 简便一些,如解法 2.举一反三：0.4y 0.9 0.3 0.2y 彳变式解万程1.0.50.3【答案】解：原方程可化为 4y9 32y 1 . 53去分母,得 3(4y+9)- 5(3+2y) = 15.去括号,得 12y+27-15-10y=15.移项、合并同类项,
10、得 2y=3.一一 . 一 3系数化为1,得y 3 .2类型四、解含绝对值的方程 5,解万程：3|2x|- 2= 0 .【思路点拨】 将绝对值里面的式子看作整体,先求出整体的值,再求 x的值.【答案与解析】“ ,2解：原万程可化为：2x .32 1当x0时,得2x ,解得：x -, 33,一,八2 一1当x0,即x2时,原方程可化为 x-2=1,解得x=3;当x-20,即x2时,原方程变形为-(x- 2)= 1,解得x=1.所以原方程的解为 x= 3或x=1.类型五、解含字母系数的方程歌,6.解关于x的万程：mx 1 nx【答案与解析】解：原方程可化为：(m n)x 11当m n 0,即m n时,万程有唯一解为：x ;m n当m n 0 ,即m n时,方程无解.【总结升华】解含字母系数的方程时,先化为最简形式ax b ,再根据x系数a是否为零进行分类讨论.举一反三：【变式】假设关于x的方程(k-4)x=6有正整数解,求自然数 k的值.【答案】解：.原方程有解,k 4 0原方程的解为：x 6为正整数,k 4应为6的正约数,即k 4可为：1, 2, 3, 6k 4k 为：5, 6, 7, 10答：自然数k的值为：5, 6, 7, 10.