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1、03【数学】2011届高考数学考前复习：反函数第五节 反函数 一、复习目标:理解反函数的意义，会求一些函数的反函数;掌握互为反函数的函数图象间,1y,f(x)的关系，会利用与的性质解决一些问题。 y,f(x)二、重难点:反函数的求法，反函数与原函数的关系。 三、教学方法:讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 (一)、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。 、了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一新课标要求及考纲要求:1,1y,f(x)些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与y,f(x)的性质解决一些问题。2、不仅从认识上，而且从处理函数问
2、题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数。3、其次在于确定函数三要素、求反函数等内容的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。 高考命题考查情况简析:确定函数三要素、求反函数等内容的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。因此求一些简单,1y,f(x)函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与的性质y,f(x)解决一些问题，是高考命题的重点。预测2010年高考，会以选择题或填空题的形式考查，难度不
3、会大，以求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用,1y,f(x)与的性质解决一些问题仍为命题重点来考查。 y,f(x)(二)、知识梳理整合，方法定位。(学生完成复资P20填空题，教师准对问题讲评) ，x,y1、反函数的概念:设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出，若对，x,y于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么叫以y为自变量的,1，x,fy，x,y函数，这个函数叫函数y=f(x)的反函数，记作，通常情况下，一般用,1，y,fxx表示自变量，所以记作。 注:在理解反函数的概念时应注意下列问题。(1)只有从定义域到值域上一一映射所确定
4、的函数才有反函数;(2)反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域; 2、求反函数的步骤:(1)解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的;(2)把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x;(3)求出并说明反函数的定义域(即函数y=f(x)的值域)。 -1-13、关于反函数的性质:(1)y=f(x)和y=f(x)的图象关于直线y=x对称;(2)y=f(x)和y=f(x)-1具有相同的单调性;(3)y=f(x)和x=f(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同;-1-1-1(4)已知y=f(x)，求f(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f(a);(5)ff(x)=x;-1(
5、6)若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上;(7)证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同。 第 1 页 共 4 页 (三)、热点考点题型探析 考点一:求简单函数的反函数 例1(求下列函数的反函数: 2xx,1(01)322yxxx,，331;(2);(3)( (1)fxxxx()(1),，,fx(),2xx(10),11222解析:(1)由得，?yxxx,，,(1)yxx,，,()(1)24112xyy，,，,(0)， 24112yxx,，,(0)?所求函数的反函数为( 24(2)当
6、时，得，当时，得， xyy,，,1(10)xyy,(01)01,x,10xxx，,1(10)y,?所求函数的反函数为( ,xx(01)3233yx,，(1)2yxxx,，331(3)由得，?， xyyR,，,12(),13?所求反函数为( fxxxR()12(),，,反思归纳求函数的反函数方法与步骤。求反函数的一般方法:(1)由解出yfx,(),1,1,1xfy,()xfy,()yfx,()xy,，(2)将中的互换位置，得，(3)求的值yfx,(),1yfx,()域得的定义域。 考点二:利用反函数的性质解决问题 fxmxn(),，mn,例2、(1)、若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值(
7、 (2,1)fxmxn(),，解:?既在的图象上，又在它反函数图象上， (2,1),mn，,2f(1)2,m,3,?，?，?( ,f(2)1,n,721mn，,1,2x,1yfx,，(1)yx,f(x),(2)、设函数，又函数g(x)与的图象关于对称，求g(2)1，x的值( 1,yx12,x1,x,1,1x,解法一:由得，?， fx(1)y,fx(),，,y，2x31，xx，2，,x,x?g(x)y,g(2)2,与互为反函数，由，得( 2,x，3x，3,1yfx,，(1)xfy,()1gxfx()()1,gf(2)(2)12,解法二:由得，?，?( ,1AByfx,()(3)、已知函数yfx,
8、()(定义域为、值域为)有反函数，则方程fx()0,1yfx,()fxxxA()(),有解xa,，且的充要条件是满足,11fxxxBfa()()(0),且( 反思归纳:熟练理解和掌握互为反函数具有的性质是解决问题的关键。 考点三:利用反函数的图象性质解决问题 11,axyx,例3、函数的图象关于对称，求a的值( yxxR,(,)1，axa第 2 页 共 4 页 1,y1,x11,ax,1得xy,(1)，?fxx()(1),， 解:由yxxR,(,)ay(1)，ax(1)，1，axa11,xax,1fxfx()(),由题知:，,，?( a,1axax(1)1，反思归纳:熟练理解和掌握互为反函数的
9、图像具有的性质是解决问题的关键。 (四)、强化巩固训练 12f(4,x)1、设函数f(x)是函数的反函数，则的单调递增区间为(c) g(x),x2,，,，,A0,，, B.(,0 C 0,2 D,2,0 x2、已知函数y=a+b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a= 3 ,b= 1 。 x41,3,1f，3、已知fx,，则= -2 。 ,x51，3,-1-14、若f(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f(x)的值域是。 (,1)5、求下列函数的反函数 2，1y,x，2x,1x,1,2参考答案: y,x，2,1(2,x,7)，1,xx，2y,log0,x,1y,1
10、,2(x,0)参考答案: 2,1xfy,()(五)、小结反思:1、求反函数;求反函数的一般方法:(1)由解出，yfx,(),1,1,1xfy,()yfx,()yfx,()xy,(2)将中的互换位置，得，(3)求的值域得yfx,()的定义域。2、利用反函数的性质解题;熟练理解和掌握互为反函数具有的性质和互为反函数的图像具有的性质是决问题的关键。 x，2,，fx，1fx，1(六)、作业布置:1、f(x+1)=2x，求。(=)。 22ax，12、若函数的图像关于直线y=x对称，确定a,b的关系。(参考答案:b=2a) f，x,2x,bxa21,RfxaR()(),3、已知，是上的奇函数(1)求的值，
11、(2)求的反函数，afx()x21，1，x,1(3)对任意的k,，,(0,)解不等式。 fx()log,2k解:(1)由题知f(0)0,，得，此时a,1xxxx,21212112,fxfx()()0，,，,，,， xxxx,21212112，即fx()为奇函数( x1，y212,xy,2(11),y1(2)?，得， xx，21211,y1，x,1?( fxx()log(11),21,x第 3 页 共 4 页 11，xx,xk,1,1，x,1，?，?， (3)?fx()log,1,xk,2,11xk,11x,?当时，原不等式的解集，?当时，原不等式的解集|11xkx,02,kk,20 抛物线与x
12、轴有0个交点（无交点）；。 |11xx,2xx，,1(01)5,1课外练习:1、，则 。 ,f()fx(),x42(10),x(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.yx,log2、，函数的反函数和的反函数的图象关于 ( ) aa,0,1yx,loga1a周 次日 期教 学 内 容yyx,轴对称 轴对称 轴对称 原点对称 ()Ax()B()C()D2.点与圆的位置关系及其数量特征：1,1xfx(),3、函数，则的图象只可能是 ( ) fx,，()()127.三角形的外接圆、三角形的外心。yyy y 点在圆外 dr.,1 xxx x ,2 1OOO ,1 O ,1,
13、2 ()A()B()C()D145.286.3加与减（三）2 P81-831yx,4、与的图象关于直线对称，且点在指数函数的图象上，则fx()(,)bayxb,，3。 fx(),1.圆的定义：-15、函数y=f(x)的反函数为y=f(x)，求函数y=f(2x-1)+1的反函数。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。1,-1y,f6、函数y=f(x)的反函数为y=f(x)，求函数的反函数。 ,x,一年级下册数学教学工作计划x,11,y,x,R,且x,7、实数a，且，设函数，证明这个函数的图象关a,0a,1,ax,1a,于直线y=x成轴对称图形。 五、教学反思: 第 4 页 共 4 页