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1、DOC-山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编9：圆锥曲线 Word版含答案_图文山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线 Word版含答案_图文 山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线 一、选择题 x2y2 1 (山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理(A()已知双曲线2,2 1,a 0,b 0,的一条渐ab 近线的斜率为2,且右焦点与抛物线y2 43x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 ( ) A(2 【答案】B B(3 C(2 D(23 【解析】 抛物线的焦点为, 即c
2、 双曲线的渐近线方程为y bbx ,由 即b ,aa B( 所以b2 2a2 c2,a2,所以c2 3a2,即e2 3,e 即离心率为3,选 x2y2 2 (山东省济南市2013届高三上学期 期末考试理科数学) 已知椭圆方程, 1,双曲线43 x2y2 , 1(a 0,b 0)的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ( ) a2b2 A 【答案】C BC(2 D(3 【 解析】椭圆的焦点为(1,0),顶点为(2,0),即双曲线中a 1,c 2,所以双曲线的离心率为e c2 2,选 C( a1 23 (山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学)已知抛物线y 4x的焦点
3、为F,准线为l,点P为 ( ) 抛物线上一点,且在第一象限,PA l,垂足为A,PF 4,则直线AF的倾斜角等于 A(7 12B(2 3C(3 4D(5 6 【答案】B 抛物线的焦点坐标为F(1,0), 准线方程为x ,1.由题意PF PA 4,则xP,( ,1) 4,即xP 3,所以yP2 4 3,即yP ,不妨取P(,1,则设直线AF的倾斜角等于 ,则tan 2 所以 3,选 B( 4 (山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题)方程xxyy, ,1的曲线即为函数169 y f(x)的图像,对于函数y f(x),有如下结论:?f(x)在R上单调递减;?函数 F(x) 4f(x
4、),3x不存在零点;?函数y f(x)的值域是R;?若函数g(x)和f(x)的图像关于原点对称,则函数y g(x)的图像就是方程 A(? 【答案】D yyxx, 1确定的曲线.其中所有正确的命题序号是169( ) C(? D(? B(? x2y2x2y2 【解析】当x 0,y 0,方程为, ,1,此时方程不成立.当x 0,y 0,方程为, 1, 169169 x2y2 此时y ,.当x 0,y 0,方程为,.当x 0,y 0,方程 ,1, 即y ,169 x2y2为,. 做出函数的图象如图, ,1, 即y 169 由图象可知,函数在R上单调递减.所以?成立.?由F(x) 4f(x),3x 0得
5、f(x) ,3x.因为双4 x2y2x2y23曲线, ,1和, ,1的渐近线为y x,所以F(x) 4f(x),3x没有零点,所以1691694 ?正确.由图象可函数的值域为R,所以?正确.若函数g(x)和f(x)的图像关于原点对称,则函数 ,xx,yyxxyy, ,1,即, 1,所以?错误,所以选 D( y g(x)的图像就是方程169169 5 (山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学)抛物线y2 ,12x的准线与双曲线 ( ) x2y2 , 1的两渐近线围成的三角形的面积为 93 A 【答案】D B (C(2 D (x2y2, 1的两渐近线为y 【解析】抛物线y ,12x
6、的准线为x 3,双曲线x和y x,932 令x 3, 分别解得y1 面积为 y2 , ( ,高为3,所以三角形的 D( 1 3 ,选 2 x2y2 6 (山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知双曲线2,2 1(a 0,b 0)的 ab 两条渐近线均与C:x,y,6x,5 0相切,则该双曲线离心率等于 2 2 ( ) A B C( 3 2 D 【答案】A 【解析】圆的标准方程为(x,3),y 4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r 2,双曲线的渐近线为 22 y bb x,不妨取y x,即bx,ay 0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距 离aa d 2,即9b2
7、4(a2,b2),所以5b2 4a2,b2 429 a c2,a2,即a2 c2,所 以55 9,选A( e2 ,e 5x2y2 7 (山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理)以双曲线, 1的右焦点为圆心且与双曲线的 63 渐近线线相切的圆的方程是 A (x,2 ( ) B (x2 , 2 ,y2 ,2 ,y2 3 C(, x,3,y2 【答案】D D(,x,3,y2 3 【解析】双曲线的右焦点为(3,0), 双曲线的渐近线为y x, 不妨取渐近线y x, 即,2y 0,所以圆心到直线的距离等于圆的半径, 即r 圆的标准方程为(x,3),y 3,选 2 2 ,所以D( 2 8 (201
8、3年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)已知F是抛物线y x的焦点,A,B为抛物线上的两点, ( ) 且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点M到y轴的距离为 A( 5 4 B( 7 4 C( 3 2 D( 3 4 1 .因为|AF|+|BF|=3,所以设A到准线的距离为4 3 AC,B到准线的距离为AD,则AC,AD 3,则线段AB的中点M到准线的距离为,所以线段 2 315 AB的中点M到y轴的距离为, ,选A( 244 【答案】A抛物线的焦点为F(,0),准线方程为x , 14 x2y2 9 (山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学)已知双曲线2,2 1的实轴长为2,焦距为4
9、, ab 则该双曲线的渐近线方程是 A(y 3x B(y ( ) x C(y D(y 2x 【答案】C由题意知2a 2,2c 4,所以a 1,c 2, 所以b 又双曲线的渐近线方程 是y b x,即y ,选 a C( y2 10(山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学)双曲线C1:2,2 1(m 0,b 0)与椭圆 bm x2 y211 C2:2,2 1(a b 0)有相同的焦点,双曲线C1的离心率是e1,椭圆C2的离心率是e2,则2,2 be1e2a A( ( ) x2 1 2 B( 1 2 2 2 C 2 2 2 2 D(2 2 2 2 2 2 2 2 【答案】D双曲线的c m,b
10、,椭圆的c a,b,所以c a,b m,b,即m a,2b, 11a2,2b2a22a2,2b22(a2,b2)所以2,2 ,2 2,选 e1e2c2cc2c2 D( x2y2 11(山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学)双曲线C:2,2 1(a,0,b,0)与抛物线 ab y2 2px(p,0)相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,则双曲线C的离心率为 A B(1 C( D(2( ) pp ,0),且c ,所以p 2c.根据对称性可知公共弦AB x轴,且AB22 pppp 的方程为x ,当x 时,yA p,所以A(,p).所以F1(,0), 即 2222 【答案】B抛
11、物线的焦点为F( AF1 ,AF p,所以 , p 2a,即,1) 2c 2a,所以 c ,1,选 aB( x2y2 12(山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题)过双曲线2,2 1(b a 0)的左ab 焦点F(,c,0)(c 0)作圆x,y a的切线,切点为E, 延长FE交抛物线y 4cx于点P,O为坐标原点,若OE A(22221(OF,OP),则双曲线的离心率为2( ) 3,3 2B(1,3 2C(5 2D(1,5 2 1(OF,OP),2【答案】D 【 解析】抛物线的焦点坐标为F2(c,0),准线方程为x ,c.圆的半径为a,因为OE 所以E是FP的中点,又E是切
12、点,所以OE FP,连结PF2,则PF2 FP,且PF2 2a,所以PE b,PF 2b,则PF2 2a,过P做准线的垂线PM,则PM PF2 2a,所 以MF ,在直角三角形FPF2中,PF PF2 FF2 MF, 22222222222即2c 2b 2a,所以c(b,a) ab,即c(c,2a) a(c,a),整理得c4,3a2c2,a4 0,即e4,3e2,1 0,解 得e2 ,所 以e2 , 即 以e 2,所 e ,选 D( 13(山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题)若点P是以A,0、B ,0,为焦点,实 ( ) 轴长为22的双曲线与圆x+y =10的一个交点,则|PA
13、|+ |PB|的值为 2 2 A(22 C(43 B(42 D(62 【答案】D 由题意知2a c , 所以a b2 c2,a2 10,2 8,所以双曲线方程为 x2y2 , 1.不妨设点P在第一象限,则由题意 知28 (PA,PB)2 PA,PB,2PAPB 2 2 2 2 PA,PB 2a ,所以 222 PA,PB (2c) 40 ,解得 2PA 32 ,所D( 以 (PA,PB)2 PA,PB,2PAPB 72, 选 x2y2 14(山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学(理)试题)设F1,F2分别是双曲线2,2 1(a 0,b 0) ab 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,
14、使(OP,OF2) F2P 0,O为坐标原点, 且 |PF1| |PF2|,则该双曲线的离心率为 A,1 【答案】A ( ) B C , D 2 2 由(OP,OF2) F2P 0得(OP,OF2) (OP,OF2) 0,即OP,OF2 0,所以 OP OF2 c,所以?PF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,可得PF1 PF2,所以 PF12,PF22 4c 2,又|PF1| |PF 2|,解得PF1 ,PF2 c ,又PF1,PF2 ,c 2a,所 以c ,1, ,1,选A( a15(山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学)已知三个数2，m,8构成一个等比数列,则
15、圆锥曲( ) x2y2 , 1的离心率为 线m2 A B C D 【答案】C 因为三个数2，m,8构成一个等比数列,所以m2 2 8 16,即m 4.若m 4,则圆x2y2 , 1,此时为椭圆,其中a2 4,b2 2,c2 4,2 2, 所以a 2,c ,离心锥曲线方程为42 y2x2c, 1,此时为双曲线,其中率 为e .若m ,4,则圆锥曲线方程为24aa2 2,b2 4,c2 4,2 6, 所以a c , 离心率为e 16(山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学)已知抛物线c 所以选 C( ay2 2px(p 0)的焦点F与双曲 x2y2 , 1的右焦点重合,抛物线的准 线与x
16、轴的交点为K,点A 45 则A点的横坐标为 A ( B(3 C (D(4 ( ) 【答案】B 抛物线的焦点为( 2ppp,0),准线为x ,.双曲线的右焦点为(3,0),所以 3,即p 6,222即y 6x.过F做准线的垂线,垂足为 则y x,3代入y 6x,解得x 3.选 B( 2A(x,y), x2y2 17(【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 )过双曲线2,2 1(a0,b0)的左焦ab 点F(-c,0)作圆x,y a的切线,切点为E,延长FE交抛物线y 4cx于点 P,O为原点,若2222 1OE (OF,OP),则双曲线的离心率为 2 A ( ) B C D 【
17、答案】A 【解析】因为OE 1(OF,OP),所以E是F,P的中点.设右焦点为F1,则F1也是抛物线的焦点.连2 接PF1,则PF1 2a,且PF PF1, 2b,设P(x,y),则x,c 2a,则x 2a,c,过点F作x轴的垂线,点P到该垂线的距离为2a,由勾股定理得y2,4a2 4b2,即4c(2a,c),4a2 4(c2,a2), 解得e ,选A( 18(山东省滨州市2013届高三第一次(3月)模拟考试数学(理)试题)圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2, 若曲线C上存在点P满足PF1?F1F2?PF2=4?3?2,则曲线C的离心率为 ( ) 23或 321C(或2 2A( 【答案】D因
18、为2或2 313D(或 22B(PF1?F1F2?PF2=4?3?2,所以设PF1 4x,F1F2 3x,PF2 2x,x 0.若曲线为椭圆,则有PF1,PF2 4x,2x 6x 2a,F1F2 3x 2c,所以椭圆的离心率为2c3x1 .若曲线为双曲线,则有PF1,PF2 4x,2x 2x 2a,F1F2 3x 2c,所以椭圆.所以选 2a2x2 的2a6x22c3x3离心率为D(x2y2 19(山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学(理)双曲线2,2 1(a 0,b 0)的左、右焦ab 点分别为F1,F2,渐近线分别为l1,l2,点P在第一象限内且在l1上,若l2?PF1,l2/
19、PF2, 则双曲线的离心率是 A 【答案】B ( ) B(2 C D 【解析】双曲线的左焦点F1(,c,0),右焦点F2(c,0),渐近线l1:y bbx,l2:y ,x,因为点P在第aa一象限内且在l1上,所以设P(x0,y0),x0 0,因为l2?PF1,l2/PF2,所以PF1 PF2,即 1bbF1F2 c,即x02,y02 c2,又y0 x0,代入得x02,(x0)2 c2,解得x0 a,y0 b,即2aa bbb, (,) ,1bl2aa,ca,l2的斜率为,因为?PF1,所以,即P(a,b).所以kPF1 a,cOP b2 a(a,c) a2,ac c2,a2,所以c2,ac,2
20、a2 0,所以e2,e,2 0,解得e 2,所以双曲 线的离心率e 2,所以选 二、填空题 B( 2 20(山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题)设F是抛物线C1:y 4x的焦点,点A是 x2y2 抛物线与双曲线C2:2,2 1(a,0,b,0)的一条渐近线的一个公共点,且AF x轴,则双曲线的离 ab 心率为 【答案】 【解析】抛物线的焦点为F(1,0).双曲线的渐近线为y bb x,不妨取y x,因为AF x,所以aa bb xA 1,所以yA 2,不妨取A(1,2),又因为点A(1,2)也在y x上,所以2,即b 2a,所以 aa b2 4a2 c2,a2,即c2 5a
21、2,所以e2 5, 即e . x2y2 21(山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)若双曲线2,2 1,a b 0, ab 的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y 2bx的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为_. 2 b ,(,c) 5b23 【答案】抛物线的焦点坐标为(,0),由题意知 ,c 2b,所以 3 32c,2 c2 4b2 4(c2,a2),即4a2 3c2, 所以2a , 所以e c. ax2y2 22(山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)设双曲线, 1的离心率为2, mn 且一个焦点与抛物线x 8y的焦点相同,
22、则此双曲线的方程为_. 2 x2 【答案】y, 1 3 2 y2x2 , 1,抛物线的焦点坐标为(0,2),所以双曲线的焦点在y轴上且c 2,所以双曲线的方程为 n,m 即a n 0,b ,m 0,所 以a 2 2 , 又e c 2,解得n 1,所以a2 x2 b c,a 4,1 3,即,m 3,m ,3,所以双曲线的方程为y, 1. 3 2 2 2 x2y2 23(山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学)已知双曲线2,2 1(a 0,b 0)的一条渐近ab 线与直线x,2y,1 0垂直,则 双曲线的离心率等于_. 双曲线的渐近线为y b1bx.直线x,2y,1 0的斜率为y ,.因
23、为y x与直a2a 线x,2y,1 0垂直,所以b1 (,) ,1,即b 2a.所以c2 a2,b2 5a2, 即e2 5,e . a2 24(山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学)已知抛物线y2 4x的焦点F恰好是双曲线 x2y2 , 1,a 0,b 0,的右顶点,且渐近线方程 为y ,则双曲线方程为a2b2 _. y2 【答案】x, 1 32 抛物线的焦点坐标为(1,0),即a 1. 双曲线的渐近线方程为y bx , 即b ,所以双曲a y2 线的方程为x, 1 3.2 25(山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)已知点P是抛物线y2 4x上的动点, 点P在
24、y轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当|a| 4时,|PA|,|PM|的最小值是_. 【答案】1 2【解析】当x 4时,y 4 4 16,所以y 4,即y 4,因为|a| 4,所以点A在抛物线的外侧, 延长PM交直线x ,1,由抛物线的定义可知PN PM,1 PF,当,三点A,P,F共线时,|PA|,|PF|最小,此时为|PA|,|PF| AF,又 焦点坐标为F(1,0), 即PM,1, PA,所以PM, PA1. 26(山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理)已知F是抛物线y x2的焦点,M、N是该抛物线上的两点,MF,NF 3,则线段MN的中点到x轴的距离为_. 【答案】
25、5 4 1 41.,过M,N分别作准线的垂线,则4【解析】抛物线的焦点为(0,),准线为y , MM MF,NN NFPP ,所以MM,NN MF,NF 3,所以中位线MM,NN31315 ,所以中点到x轴的距离为PP , , . 224244 27(山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学)若圆C以抛物线y2 4x的焦点为圆心,截此抛物 线的准线所得弦长为6,则该圆 的标准方程是_; 【答案】(x,1)2,y2 13 【 解析】抛物线的焦点为(1，0),准线方程为x ,1,则圆心到准线的距离为2, 则圆的半径为 所以圆的标准方程为(x,1)2,y2 13. x2y2 28(山东省潍坊
26、市2013届高三第二次模拟考试理科数学)如图,椭圆2,2 1(a b 0)的左、右焦点ab 为F1,F2,上顶点为A,离心率为1,点P为第一象限内椭圆上的一点,若S PF1A:S PF1F2 2:1,则直线2 PF1的斜率为_. 1c1 因为椭圆的离心率为,所以e ,即a 2c.设直线PF1的斜率为k,(k 0),则2a2 直线PF1的方程为y k(x,c),因为S PF1A:S PF1F2 2:1,即S PF1A 2S PF1F2, 即 所以kc,b 4kc,解得b ,3kc,(舍去)或b 5kc,又2a2 b2,c2,即a2 25k2c2,c2,所以4c2 25k2c2,c2,解得k2 三
27、、解答题 29(山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学)已知定点A(3, 所以k 25p,0)(p为常数,pO),B为z轴负半2 轴七的一个动点,动点M使得AM AB,且线段BM的中点在y轴上 (I)求动点脚的轨迹C的方程; (?)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点 T(4,0),当p=2时,求EF的最大值. 【答案】 30(山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学)已知圆的方程为x2,y2 4,过点M(2,4)作圆 x2y2 的两条切线,切点分别为A1、A2,直线A1A2恰好经过椭圆2,2 1(a b 0)的右顶点和上顶点. ab (?)
28、求椭圆的方程; x2y2 (?)设AB是椭圆2,2 1(a b 0)垂直于x轴的一条弦,AB所在直线的方程为ab a2 x m(|m| a且m 0),P是椭圆上异于A、B的任意一点,直线AP、BP分别交定直线l:x m于两点Q、R,求证OQ OR 4. 【答案】 解:(?) 观察知,x 2是圆的一条切线,切点为A1(2,0), 设O为圆心,根据圆的切线性质,MO A1A2, 所以kA1A2 ,1kMO ,1, 2 1(x,2) 2所以直线A1A2的方程为y , 线A1A2与y轴相交于(0,1),依题意a 2,b 1, x2 所求椭圆的方程为,y2 1 4 x2 (?) 椭圆方程为,y2 1,设
29、P(x0,y0),A(m,n),B(m,n), 4 22则有x0,4y0,4 0,m2,4n2,4 0 在直线AP的方程y,n n,y04(x,m)中,令x ,整理得 m,x0m (m2,4)y0,(4,mx0)nyQ . ? m(m,x0) (m2,4)y0,(4,mx0)n同理,yR . ? m(m,x0) 2? ?,并将y0 1,1221x0,n 1,m2代入得 44 2(m2,4)2y0,(4,mx0)2n2 yQ yR m2(m,x0)2 121(m2,4)2 (1,x0),(4,mx0)2 (m2,1)(m2,4)(m,x)2(m2,4)0=. m2(m,x0)2m2(m,x0)2
30、m2 m2,1212 4 4 16而OQ OR ,yQ ,yR 2,yQ yR= =1+22mm m m m ?|m| 2且m 0,?0 m2 4, ?OQ OR 4 31(山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理(A) 已知两定点E12 3 m2, ,F,动点P满足, PE PF 0,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M 满足PM (I)求曲线C的方程; 1MQ,点M的轨迹为C. , (II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且AB 2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值. 【答案】 x2y2 32(2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)已知椭圆C:2,2 1(a b 0)的离心
31、率与等轴双ab 曲线的离心率互为倒数关系, 直线l:x,y 0与以原点为圆心,以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆C的方程; (?)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2, 且k1+k2=4,证明:直线AB过定点(, 【答案】 1,-l). 2 x2y2 33(山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学)已知椭圆C:2,2 1(a b 0)的焦距为ab ,其右焦点为F,过点B(0,b)作直线交椭圆于另一点A. (?)若AB BF ,6,求 ABF外接圆的方程; x2y21(?)若过点M(2,0)的直线与椭圆N:2,2
32、相交于两点G、H,设P为N上一点,且满足ab3 OG,OH tOP(O为坐标原点), 当PG,求实数t的取值范围 . 【答案】解:(?)由题意知:c e c又a2, b2 c2, ax2y2 解得 :a b 椭圆C的方程为:, 1 63 可得: B,F,设A (x0,y0),则AB (,x0, y0),BF , AB BF , 6,0, y0) ,6,即y0 x0 x02y02x 0, 1 x0 0 由 6, 或 3 y x y0 y 0 00 即A (0, 或A ?当A的坐标为(0, , ABF外接圆是以O为圆心为半径的圆,即x ,y 3 22 ?当A 的坐标为时,kAF 1,kBF ,1,
33、所以 ABF为直角三角形,其外接圆是以线段 , 225,(y 3 22 AB为直径的圆, 圆心坐标为 ABF外接圆的方程为(x,综上可知: ABF外接圆方程是x,y 3, 或(x, (?)由题意可知直线GH的斜率存在. 225,(y 3 设GH:y k(x,2),G(x1,y1),H(x2,y2),P(x,y) y k(x,2) 2222由x2得:(1,2k)x,8kx,8k,2 0 2 ,y 1 2 由 64k,4(2k,1)(8k,2) 0得:k2 4221(,) 2 8k28k2,2 x1,x2 ,x1x2 221,2k1, 2k PG, 64k48k2,220 (1,k),4 (1,2
34、k2)21,2k292 k2 111,结合(,)得: k2 442 OG,OH tOP, (x1,x2,y1,y2) t(x,y) x1,x28k2y1,y21,4k 从而x , y k(x,x),4k 12tt(1,2k2)ttt(1,2k2) 8k2,4k22222,2 2点P在椭圆上, ,整理得:16k t(1,2k) 22t(1,2k)t(1,2k) 即t2 8,8, ,2 t t 2 21,2k x2y2 34(山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学)已知椭圆2,2 1(a b 0)过点,0,1,其长ab 轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别
35、交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足PM 1MQ,PN 2NQ (1)求椭圆的标准方程; (2)若 1, 2 ,3,试证明:直线l过定点并求此定点. x2y2 【答案】解:(1)设椭圆方程为2,2 1(a b 0),焦距为2c, ab 222由题意知 b=1,且,又a2 b2,c2 (2a),(2b) (22c) 得a2 3 x2 所以椭圆的方程为,y2 1 3 (2) 由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为x t(y,m), 由PM 1MQ知(x1,y1,m) 1(x0,x1,y1) ?y1,m ,y1 1,由题意 1 0,?
36、 1 m,1 y1 同理由PN 2NQ知 2 m,1 y2 ? 1, 2 ,3,?y1y2,m(y1,y2) 0 (*) x2,3y2 322222联立 得(t,3)y,2mty,tm,3 0 x t(y,m) ?需 4mt,4(t,3)(tm,3) 0 (*) 24222 2mt2t2m2,3且有y1,y2 2 (*) ,y1y2 2t,3t,3 (*)代入(*)得t2m2,3,m 2mt2 0,?(mt) 1, 由题意mt 0,?mt ,1(满足(*), 得l方程为x ty,1,过定点(1,0),即P为定点 2 x2y2 35(山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理)已知椭圆C:2
37、,2 1,a b 0,的离心率为ab F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与C相交于A、B两点, F1AB的周长为(I)求椭圆C的方程; (II)若椭圆C上存在点P,使得四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的方程. 【答案】 x2 236(山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知椭圆C方程为2,y 1,过右焦a 点斜率为1的直线到原点的距离为2. 2 (1)求椭圆方程. (2)已知A,B方程为椭圆的左右两个顶点,T为椭圆在第一象限内的一点,l为点B且垂直x轴的直线,点S为直线AT与直线l的交点,点M为以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点,求证:O,M
38、,S三点共线 . 【答案】解:(1)设右焦点为(c,0),则过右焦点斜率为1的直线方程为:y=x-c 则原点到直线的距离d c 2 2 2 c 1,a 2 x2 方程为,y2 1 2 (2)设直线AT方程为:y k(x, 2)(k 0)设点T坐标为(x1,y1) x22 ,y 1得:(1,2k2)x2,42k2,4k2,2 0 2 y k(x,2) 4k2,2 x1x2 1,2k2 又 A点坐标为(,2，0) x1 2,22k222k ,y1 21,2k1,2k2 ,42k222k又 B点的坐标为(2， 0)， (,1,2k21,2k2 由圆的性质得:BT SM， 所以,要证明O,M,S只要证
39、明BT SO，即可 又 S点的横坐标为2 S点的坐标为(222k) SO (,2，,22k) 8k2,8k2 SO.BT 0 21,2k 即BT SO，又 BT SM O,M,S三点共线 37(山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知抛物线y2 4x的焦点为F2, 点F1与F2关于坐标原点对称,直线m垂直于x轴(垂足为T),与抛物线交于不同的两点P,Q且F1P F2Q ,5. (I)求点T的横坐标x0; (II)若以F1,F2为焦点的椭圆C 过点 . ?求椭圆C的标准方程; ?过点F2作直线l与椭圆C交于A,B两点,设F2A F2B,若,2,1 ,求TA,TB的取值
40、范围. 【答案】解:(?)由题意得F2(1,0),F1(,1,0),设P(x0,y0),Q(x0,y0), 则F1 (x0,1,y0),F2 (x0,1,y0). 由F1 F2 ,5,得x0,1,y0 ,5即x0,y0 ,4,? 又P(x0,y0)在抛物线上,则y0 4x0,? 联立?、?易得x0 2 (?)(?)设椭圆的半焦距为c,由题意得c 1, 22222 x2y2 设椭圆C的标准方程为2,2 1(a b 0), ab1 1 1 ? 则2,ab2 a2 b2,1 ? 将?代入?,解得b2 1或b2 , 所以a2 b2,1 2 1(舍去) 2 x2 故椭圆C的标准方程为,y2 1 2 (?
41、)方法一: 容易验证直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x ky,1 x2 将直线l的方程代入,y2 1中得:(k2,2)y2,2ky,1 0 2 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1 0且y2 0,则由根与系数的关系, 可得:y1,y2 ,2k ? k2,2 y1y2 ,1 ? 2k,2 因为F2A F2B,所以y1 ,且 0. y2 将?式平方除以?式,得: y1y24k214k2 ,2 ,2 ,2 ,2y2y1k,2 k,2 14k25111由,2,1 , + ,2 , ,2 0 , ,2 02k,22 2所以 0 k2 2 7 因为TA (x1,2,y1),TB (x2,2,y2
42、),所以TA,TB (x1,x2,4,y1,y2), 4(k2,1)2k又y1,y2 ,2,所以x1,x2,4 k(y1,y2),2 ,2, k,2k,2 16(k2,1)24k2 ,故|TA,TB| (x1,x2,4),(y1,y2) (k2,2)2(k2,2)2222 16(k2,2)2,28(k2,2),8288 16, 22222(k,2)k,2(k,2) 12711712,所以 所以,即0 k t , k2,2716k2,22162 717所以|TA,TB|2 f(t) 8t2,28t,16 8(t,)2,. 42令t 而t 71169,所以f(t) 4,. 16232 所以|TA,
43、TB| 方法二: 【D】1()当直线l的斜率不存在时,即 ,1时,A(1,22),B(1,), 22又T(2,0), 所以TA,TB (,(,1, 【D】2()当直线l的斜率存在时,即,2,1,时,设直线l的方程为y k(x,1) y kx,k 2222由x2得(1,2k)x,4kx,2k,2 0 2 ,y 1 2 设A,x1,y1,B,x2,y2,显然y1 0,y2 0,则由根与系数的关系, 4k22k2,2可得:x1,x2 ,x1 x2 221,2k1,2k y1,y2 k(x1,x2),2k 2,2k ? 1,2k2,k2 ? y1 y2 k(x1x2,(x1,x2),1) 1,2k2 因为F2 F2,所以y1 ,且 0. y2 将?式平方除以?式得: ,1 ,2 ,4 21,2k 由 ,2,1,得 ,1 5 1 ,2 即,2 ,0 2 2 1 故,1,472,解得 0k 221,2k2 因为TA (x1,2,y1),TB (x2,2,y2), 所以TA,TB (x1,x2,4,y1,y2), ,4(1,k2)又x1,x2,4 , 1,2k2 16(1,k2)24k2 ,(x1