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1、中考数学一元二次方程的应用及复杂证明题一元二次方程的应用(一) 1(数字问题 2(几何图形问题 列方程解应用题是初中代数的重点内容，学习掌握数学知识的目的在于应用，用以解决工作生活中遇到的实际问题(近几年，中考试卷中的应用问题必不可少，考查题型多见工程问题、行程问题、平均增长率(降低率)问题、面积问题等贴近现实生活的实际问题，同学们一定要认真学习，打好基础，提高逻辑思维，分析问题的能力和用数学的意识( 二(重点内容分析与讲解 1(列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审，设，列，解，验，答”(我们复习如下: (1)审:是指读懂题
2、目，审清题意，特别是问题的实际背景明确哪些是已知的，哪些是未知的，以及它们之间的数量关系( (2)设:是指设元，也就是设未知数，设元又分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，如果直接设元，方程比较难列或列出的方程比较复杂，这时可以考虑间接设元，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要( (3)列:就是列方程，这是最重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系(再根据这个关系列出含有未知数的等式(即方程( (4)解:就是求出所列方程的解( (5)验:检验分为两层含义( ?检验方程的根是否有意义(在列一元二次方程时不会遇到( ?检验求得的解是否符
3、合应用题的实际意义( (6)答:就是完整书写答话( 以上六个步骤缺一不可，其中，审题是基础，列方程是关键( 2(列方程解应用题应该注意的一些问题 (1)要注意各类应用题中常用的等量关系，例如面积问题中有关的面积公式，还要注意挖掘题目中的隐含的等量关系( (2)注意语言和代数表达式的互化(题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务( (3)注意从语言叙述中写出等量关系( (4)注意单位问题，一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写成路程单位(二是在列方程时，要注意方程两边的单位必一致( 注意:“设”和“答”都需要写清数量的单位( 典型例题讲解 1(数字问
4、题应用题解法( 例1(两个连续奇数的积是899，求这两个数( 分析:本题考查用一元二次方程求解的数字问题，正确理解连续奇数的意义是解题关键( 解:设较小的一个奇数为x，则另一个为x+2( 根据题意得: x(x+2)=899 2 x+2x-899=0 (x-29)(x+31)=0 x=29 x=-31 12由x=29得 x+2=31 由x=-31得x+2=-29 答:这两个奇数是29、31或者-31、-29( 注意:因为在负数范围内也存在奇数，所以本题解出的值不能随意舍去( 例2(一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为7
5、36，求原来的两位数( 解:设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为5-x( 根据题意得 10x+(5-x)?10(5-x)+x=736 2 x-5x+6=0 (x-2)(x-3)=0 x=2 x=3 12当x=2时，5-x=3，符合题意，原两位数是23 当x=3时，5-x=2，符合题意，原两位数是32 答:原来的两位数是23或32( 例3(三个连续整数，最大数的立方与最小数的立方之差比中间数的40倍大16，求这三个数( 解:设这三个数是x-1，x，x+1 根据题意，列方程 33 (x+1)-(x-1)=40x+16 22 (x+1)-(x-1)(x+1)+(x+1)(x-1)+(x-1)=4
6、0x+16 2 2(3x+1)=40x+16 2 3x-20x-7=0 (x-7)(3x+1)=0 1 ？x,7,x,(不合题意,舍去)123当x=7时，x-1=6 x+1=8 答:这三个数是6、7、8( 例4(有两个自然数，其差是94，某学生作此两数之积时，将其积的十位上少算了4，他又用这两个数中较大者除所得的错误积数得商52余107，求此二数( 分析:根据商及余数的意义，可以知道，被除数=除数商+余数( 解:设两数中较大者是x，则较小者为x-94 根据题意，列方程: x(x-94)-40=52x+107 2 x-146x-147=0 (x-147)(x+1)=0 ?x=147 x=-1(不
7、合题意，舍去) 12当x=147时，x-94=53 答:此两数是147和53( 注意:十位数上少算4，实际上错误积比真实际少算40( 例5(一个两位数，其值等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求此两位数( 解:设十位数字是x，则个位数字是x+2 10x+x+2=3x(x+2) 2 11x+2=3x+6x 2 3x-5x-2=0 (x-2)(3x+1)=0 1 ？x,2x,(不合题意,舍去)123当x=2时，x+2=4 答:这个两位数是24( 2(几何图形问题的应用题解法 例1(把100厘米长的铅丝折成一个长方形模型.(1)要使这个长方形的面积是525平方厘米，它的长和宽应该各是多少
8、厘米,(2)面积是625平方厘米呢,(3)面积是700平方厘米呢, 解: 100,设长方形的宽是x厘米,那么它的长是,x厘米,它的面积是x50,x平方，, 2,厘米.(1)当长方形的面积是525平方厘米时，根据题意，列得方程: x(50-x)=525, 2 x-50x+525=0, (x-15)(x-35)=0, ?x=15, x=35 12100当x,15时,x,50,x,35,2 100当x,35时,x,50,x,15.2(2)当长方形的面积是625平方厘米时，根据题意，列得方程: x(50-x)=625, 2 x-50x+625=0, 2 (x-25)=0, ?x=x=25. 12100
9、 当x,25时,x,50,x,25.2(3)当长方形的面积是700平方厘米时，根据题意，列出方程: x(50-x)=700, 2 x-50x+700=0, 2 ，？,50,4，1，700,300,0.?这个方程没有实数解. 答:(1)这个长方形模型的长是35厘米，宽是15厘米; (2)这个长方形模型的长和宽都是25厘米，这时做成一个正方形. (3)要用100厘米长的铅丝做成一个面积是700平方厘米的长方形，是不可能的. 注:在问题(1)中，按照方程的解，可以得出长方形的长是35厘米，宽是15厘米，或者长是15厘米，宽是35厘米，但是这表明是同一大小的长方形，因此只要回答一种结果，不必重复. 例
10、2(一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和24条水渠，如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600m，那么水渠应挖多宽, 分析:本题考查应用方程知识解决实际问题(这类问题的特点是，挖渠所占用土地面积只与挖渠的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起(最好靠一边)如下图所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为(162-2x)m，宽为(64-4x)m( 解:设水渠应挖xm宽，依题意得: (162-2x)(64-4x)=9600 2 化简得 x-97x+96=0 x=1 x=96(舍去) 12答:水渠应
11、挖1m宽( 例3(有一块长方形的铅皮，长40厘米，宽30厘米.现在把它的四角各剪去一个小方块，然后把四边折起来做成一只没有盖的盒子，使这个盒子的底面积是原来铅皮面积的一半，求这盒子的高. 解:设盒子的高是x厘米，因为小方块每边长x厘米，所以盒子的长和宽分别是(40-2x)厘米和(30-2x)厘米. 根据题意，列得方程: 1，40,2x30,2x,40，30，.221200,140x，4x,600,24x,140x，600,0, 2x,35x，150,0,，x,30x,5,0,？x,30,x,5.12x=30和x=5虽然都是正数，但是只有x=5是适合题目条件的，因为如果盒子的高是301厘米，那么
12、铅皮的两边各要剪去60厘米，而原来铅皮的长和宽分别只有40厘米和30厘米，显然这是不合题意的. 答:盒子的高是5厘米. 2例4(有一面积为150米的长方形鸡场，鸡场一边靠墙(墙长18米)，另三边用竹篱笆围成.如果竹篱笆的长为35米.求鸡场的长与宽各为多少米. 解:设垂直于墙面的边为x米，则另一边为(35-2x)米. 根据题意，列出方程: x35,2x,150.， 22x,35x，150,0,，2x,15x,10,0,15？x,x,10. 12215，当x,时,35,2x,20,18.不合题意,舍去2当x,10时,35,2x,15.答:鸡场长为15米，宽为10米. 例5(将一块铁皮剪成中部为一个
13、正方形，两边突出部分是两个小正方形(相同).如果2其全面积是72cm，全周长是40cm，求大小正方形边长是多少厘米, 40,4x解:设大正方形边长是xcm. 则小正方形边长为 cm.4依据题意，列出方程: 40,4x22x，2(),72.422x，2(10,x),72,23x,40x，128,0,(3x,16)(x,8),0, 16？x,x,81231640,4x14当x,时,10,x,34340,4x当x,8时,10,x,2.41614答:大正方形边长为时,小正方形边长为cm 33大正方形边长为8cm,小正方形边长为2cm.注:本题在表示小正方形边长时，可以这样理解:将小正方形的一边放在虚线
14、位置，将大正方形补全.这样，两个小正方形的四条边长之和是(40-4x)cm. 四(练习题 A组 1(两个数的差是2，积是15，求这两个数( 2(三个连续偶数，使第三个数的平方等于前两个数的平方和(求这三个数( 3(有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为8，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数乘以原来的两位数就是1855，问原来的两位数是多少, 4(两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm，大正方形的面积比2小正方形的面积的2倍少32cm，求大小两个正方形的边长, B组 1(把一个长方形铁皮的四角剪去四块边长5cm的正方形组成一个无盖的长方体，长方3体的体积是3000c
15、m，铁皮长和宽的比为4:3，求这块铁皮的长和宽是多少厘米, 22(利用27m长的墙为一边，再用70m长的篱笆围成一个面积为528m的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各是多少, 解答: A组 1(解设一个数为x，则另一个数为x-2 由题意:x(x-2)=15 2 x-2x-15=0 (x-5)(x+3)=0 x=5 x=-3 12当x=5时 x-2=3 当x=-3时 x-2=-5 答:这两个数是3和5，或-3和-5( 2(解:设三个连续偶数为2x-2，2x，2x+2 222 由题意 (2x-2)+(2x)=(2x+2) 222 (2x+2)-(2x-2)=4x 2 42x2=4x 2 x=4x x=0
16、 x=4 12当x=0时，三数为-2、0、2 当x=4时，三数为6、8、10 答:三个数为-2，0，2或6，8，10( 3(解:设个位数字为x，则十位数字为8-x 10(8-x)+x10x+8-x=1855 (80-9x)(9x+8)=1855 2 81x-648x+1215=0 2 x-8x+15=0 (x-3)(x-5)=0 x=3 x=5 12答:所求两位数为35或53( 4(解: x设大正方形边长为xcm,则小正方形边长为(，4)cm.2x22x,2(，4),322 2x2x,2(，4x，16),3242x2x,，8x22x-16x=0 x(x-16)=0 x=0(舍) x=16 12
17、x16 ？，4,，4,1222答:大正方形边长是16cm，小正方形边长为12cm( B组 1(解:设铁皮长为4xcm，则铁皮宽为3xcm (4x-10)(3x-10)5=3000 2 12x-70x+100-600=0 2 12x-70x-500=0 26 25 6x-35x-250=0 1 -10 (6x+25)(x-10)=0 25 x,(舍)x,10126?4x=40 3x=30 答:铁皮长为40cm，宽为30cm( 2(解: 70,x 设鸡场长为xcm,则宽为m.270,x x,528221 -48 70x-x=1056 21 -22 x-70x+1056=0 (x-48)(x-22)
18、=0 x=48 x=22 12?墙长27m，?x=48舍去 70,x ？x,22,242答:鸡场的长为24米，宽为22米( 一(主要内容: 1(例题解析 2(综合练习 二(重点内容分析与讲解 本次课我们将分析一些较复杂的证明题，从中总结归纳解题规律. 例题一. 已知:?ABC中，AD是中线，过C任作CF，CF交AD于E，交AB于F AE2AF求证:, EDFB证法1.作DG/CF交AB于G 1？D是BC中点？G为BF中点即BG,GF,BF2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边，AEAF ？,三角形一边平行线性质，定理EDFGAEAFAE2AF即,即,1EDEDBFBF2证法2.作
19、DG/AB交CF于G ?D为BC中点，?G为CF中点 ?DG是?BCF中位线 1？DG,BF三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半，2AEAF， ？,三角形一边平行线性质EDDGAEAFAE2AF即,即,1EDEDBFBF2说明:证明中的理由“三角形一边平行线的性质”已经拓广了内容:“平行于三角形一边和其它两边或延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例” 证法3. 延长ED至G使DG=DE.连结BG 则?EDC?GDB. ?1=?2 ?BG/ED即BG/EF AEAF，？,三角形一边平行线性质定理2EDFB AE2AF即,EDFB此题还可举出一些证法，这些证法的实
20、质是一样的就是添出平行线，利用“平行截比例”来证出比例式. 例题二. 已知: ABCD中，P是对角线AC上一点，EF，GH都过点P且EF/AB，GH/AD. M是EF上一点，DM交GH于N，交AC于O，AM交GH于Q. 求证:AM/CN 策略:先“平行截比例”，再“比例出平行” PQPMPNPQPN证法1.？GH/AD？,即,AEMEEDAEED PQAE？,PNEDAEAP？EF/CD？,EDPC PQAP？,？AQ/CN即AM/CNPNPCMOPO证法2.？EF/CD即PM/CD？,？MO,OC,PO,ODODOCOPON？GH/AD即PN/AD？,？OA,ON,OP,OD OAOD？MO
21、,OC,OA,ONMOOA？,？AM/CNONOC本题的特点是，图形较复杂，平行关系较多如何利用“平行截比例”呢,要抓住求证的内容的比为线索分析相关线段.第一种证法是利用了“中间比”进行代换;第二种证法是利用了“中间积”进行代换，第二种证法应从两个等积式中去比较寻找“中间积”这就要求我们熟悉比例式与等积式的互化. 例题三. 已知:?ABC中，AD是中线，P是AD上一点，CP、BP的延长线分别交AB、AC于E、F 求证:EF/BC 分析:没有平行条件无法证出比例，而无比例则无法证得平行.那应该如何入手呢, 从已知入手:可运用加倍中线来获取平行线的出现或直接添加相关的平行线. 证明1:延长PD到G
22、使DG=PD连结BG，CG则四边形BGCP是平行四边形. ?BG/EC， CG/BF AEAP由EP/BG？, EBPGAFAP由PF/CG？,FCPGAEAF ？,EBFC？EF/BC证明2: 作DQ/AC交BF于Q 作DR/AE交CE于R 则Q，R分别为BF，CE中点 11，？DQ,CF,DR,BE三角形中位线定理22DQPD，？DQ/AC？,三角形一边平行线性质 AFAPDRPD，？DR/AB？,三角形一边平行线性质AEAP11CFBEDQDRCFBE22？,即,即, AFAEAFAEAFAE，？EF/BC三角形一边平行线判定定理例题五. 已知:在?ABC的两边AB和AC上，截取BE=C
23、D(如图)DE与CB的延长线交于F. 求证:AC?DF=AB?EF 分析: ACEF先把等积式化为比例式,组成这个比例式的每一个比都可以 ABDF启发我们作出平行线得到比例式.证明: ACDC作DG/AB交BC于G则, ABDG？CD,EB.ACEBEBEF？,.但？EB/DG？, ABDGDGDFACEF？,？AC,DF,AB,EFABDF说明:这种辅助线的特征是“一线两比例”，就是添一条直线可得出两个不同三角形中的比例式. 此题还可如下添辅助线: 作EH/DC交BC于H. 也可得到证明. 请同学自己证明. 例题六: 已知:梯形ABCD中，AB/CD AB5,E是AD中点 CD2EB交AC于
24、M.若AC,12cm求:MA，MC的长. 策略:将梯形问题转化为三角形问题. 解: 11作EF/CD交AC于F,则EF,CD,AB25EF1EFMF1？,？EF/CD/AB？, AB5ABAM5AF6AC12？,(合比性质),又AF,FC？,(等式性质)AM5AM5而AC = 12cm. ?AM = 5 (cm) MC = AC AM = 7 (cm) 答:AM = 5cm，MC = 7cm. 2(综合练习 A组 (一)填空题: ? 已知:图中，AE :EC = 2 :1 BD :CD = 3 :1 则 AH :HD = _ ? 已知:正方形ABCD中，E，F分DC为三等分， MN/AB分别交
25、AE，BF于P、Q N M 1 若PQ,AB2则:DM :MA = _ (二)证明题: ? 已知:图中，I点在AD上，并且 ABAIAC,BDIDCD AB，BC，ACAD求证:,BCID? 已知:M是 ABCD中BC边上任意一点， DM与AB延长线交于点N BCAB 求证:,1BMBN? 已知:图中，BD = CD，GE/AD AFAG 求证:, ABAC? 已知:图中，BE/CF，DE/AF 求证:AB/CD ? 已知:梯形ABCD中，AB/CD AB,CD，AD，BC的延长 线交于点P，过P作EF?CD 分别交AC，BD的延长线于E，F 求证:PE = PF 若AB = a，CD = b
26、，求EF = , (三)计算题: 已知: ABCD中，E，F分别在BC，AD上 BEAF2 ， 且,ECFD3AE，CF分别交BD于M，N， BD = 56cm 求:BM，MN，ND的长 B组 ?在ABC中，E、F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分BM为三段长分别为x.y.z。 求:x:y:z=? ?如图，设O是ABC形内任一点，AO，BO，CO分别交对边于N，P，M AMBNCP 求证:,1MBNCPA答案: A组 一(? 解:作MD/EC交BE于M DM3,设EC,1EC43则DM,4AE2 又已知,？AE,2 EC1AHAE28？,3HDDM34即:AH:HD,8:
27、3?简解:见原图: ?MN?CD，AD?BC ?DM = CN，AM = BN 易证?ADE?BCF，?AMP?BNQ ?MP = NQ 11？PQ,AB.？MP,AB.241AB1MP34 又DE,AB？,13DE4AB3AMMP3而,？DM:MA,1:3ADDE4二(?证明: ABAIAC？,BDIDCD AB，BDAI，IDAC，CD？,(合比性质)BDIDCDAB，BDADAC，CD即,BDIDCDAB，BD，AC，CDAD？,(等比性质) BD，CDIDAB，BC，ACAD即,BCID?证明: BCBM，MCMC？,1，BMBMBM(见原图)又？CD/BNMCCDMCAB？,而AB,
28、CD？,BMBNBMBNBCABABAB？,1，,1BMBNBNBN? 证明: ?CE?AD. AFEDAFED(见原图)？,而BD,CD？,ABBDABCD EDAGAFAG又,？,CDACABAC? PAPF证明:？AF/ED？,PA,PD,PE,PFPEPDPBPE(见原图)同理:BE/CF？,PB,PC,PE,PF PFPC？PA,PD,PB,PCPAPC？,？AB/CDPBPD? 解: ?EF?CD，CD?AB，?EF?AB PEPA？,.CDADPAPBPBPF又, ADBCBCCDPEPF？,？PE,PFCDCD 设PE = PF = x 则EF = 2x bACbACbAC？C
29、D/PE,xAEx,bAE,ACx,bECACa由PE/AB,ECxba？, x,bxbx,ax,ababx,a,b2ab？EF,a,b(三) 解: BEBM2BM2？BE/AD,ADMD5BD7FDDN3DN3(见原图)同理FD/BC, BCBN5BD8BM16DN21？,BD56BD56而BD = 56cm. ?BM = 16 (cm)，DN = 21 (cm) MN = 19 (cm) 答:BM = 16cm，MN = 19cm，DN = 21cm. B组 2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。?解:作MR/CF交AF于R 115.75.1
30、3加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67?M为AC中点 MR1 ？,且AR,RFFC26 确定圆的条件:而BE=EF=FC （4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）MR1MRMQMQ1？,又,？, ? BF4BFBQBQ4作ET/BM交AF于T 4、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。RQMR1？E为BF中点？QT,TF而,QFBF4 AQ63PQ31？,？,而ET,BQAT84ET42PQ3？
31、, ?，由?,?: MQ:PQ:BQ=2:3:8 BQ8设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交.即:BP:PQ:QM=5:3:2 即 x:y:z=5:3:2 (三)实践活动?证明: SAM,ACM？,(高相等的两个三角形面积比等于底的比)MBS,BCM104.305.6加与减（二）2 P57-60SAM,AOM 同理,MBS,BOM（2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)SSAM,ACM,AOM？,MBSS,BCM,BOM定义：在RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即;SSS,AMAM,ACM,AOM,AOC ? 由等比性质:,即,BMSSBMS,BCM,BOM,BOCSSBNCP,AOB,BOC同理: ?， ? ,NCSPAS,AOC,AOBAMBNCP?: ,1BMNCPA说明:这个结论叫做塞互定理。