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1、方法强化练一一平面向量(建议用时：90分钟)一、选择题1. (2014 福建质检)已知向量 a= (m2,4), b= (1,1)，贝厂m= 2” 是“ a/ b” 的().A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意，当m= 2时，a= (4,4), b= (1,1)，所以a = 4b,即卩a/,即 由m= 2可以推出a /;当a /时，m2 = 4，得，m= ，所以不能推得 m =一 2，即卩“ m= 2”是“ a/”的充分不必要条件.答案 A2. (2013德阳一诊)已知向量a= (2,3),b= K1),若 a+ 2b 与 a-b平行，则k
2、的值是().2A. 6B.一 3C.3D.14解析由题意得a+ 2b= (2 + 2k,5)，且a b= (2 k,2)，又因为a+ 2b和a b2平行，则 2(2 + 2k) 5(2 k) = 0,解得 k=答案 C3. (2013 浙江五校联考)已知 |a匸 |b|=|a 2b|= 1,则 |a+ 2b|=().A. 9B. 3C. 1D. 2解析由 |a| = |b|= |a 2b|= 1,得 a2 4a b+ 4b2= 1,2 2 24a b= 4,.|a+ 2b| = a + 4a b+ 4b = 5 + 4 = 9,|a + 2b| = 3.答案 B4. (2014郑州一模)已知平
3、面向量 a= (-2, m), b= (1 ,3)，且(a b)丄b,则实数m的值为A. 2 3C. 4 3().B. 2 3D. 6 3解析 因为(a b)!b,所以(a b) = a b b2 = 0, 即一2 +寸3m4 0,解得m= 2 -J 3.答案 B7tA.q5. (2014长春一模)已知|a| 1,|b| 6,a (b a) 2,则向量a与b的夹角为().7tnD.62解析 a (b a) a b a 2,所以 a b 3,所以cos |aj|b|762.所以 =丽厂2：2二2， = 4.答案n13. (2014杭州质检)在 RtAABC 中，/ C= 90 / A= 30 B
4、C= 1, D 为斜边AB的中点，则AB CD =.解析 ABCD = AB (AD-AC) = AB AD AB AC = 2X 1-2X3cos 30 = 1.答案 114. (2014湖南长郡中学、衡阳八中联考)已知G1, G2分别为 A1B1C1与厶A2B2C2 的重心，且 AA2= & , BB2= e?, CC2 = e3,则GG2=(用 e1, e2, e3表示). 解析 由 A1A2 = A1G1+ G1G2+ G2A2= e1，B1B2= B1G1 + G1G2+ G2B2= e2 ，CC2= C1G1+ G1G2+ G2C2= e3 ，且 G1, G2分别为A1B1C1 与
5、A2B2C2 的重心，所以 A1G1 + B1G1 + C1G1 = 0, G2A2 + G2B2 + G2C2 = 0,将相加得 GG2= 3(汀 e2 + e3).1答案 3(e1 + e2 + e3)三、解答题15. 在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知向量 a= (2,1), A(1,0), B(cos 9,t). (1) 若 a/ AB, 且 |AB|= 5|OA|,求向量 OB 的坐标；(2) 若 a / AB,求 y= cos cos 9+12 的最小值.解 ：AB= (cos 9 1, t),又 a / AB,： 2t cos + 1 = 0. cos 9 1 = 2t.又：
6、AB匸,5|OA|,A (cos 9- 1)2 +12 = 5由得，5*= 5,. t2= 1. t =.当 t= 1 时，cos 9= 3(舍去)，当 t = 1 时，cos 9= 1, B( 1, 1),二 OB= ( 1, 1).丄cos 9- 1由可知t=2，2二 y= cos 9- cos 9+(cos 9 1 f4=5cos2 9fcos 9+ 4= 5 cos2 9-6cos 9+1424 4545=4 cos 93 2 15 5,当 cos 9=ymin =x 10, n，sin 2x12,5 16设向量 a= ( ,3sin x, sin x), b= (cos x, sin
7、 x),(1) 若|a|=|b|，求 x 的值；(2) 设函数f(x) = a b,求f(x)的最大值.解(1)由 |a|2= f 3sin x)2+ (sin x)2= 4sin2x,|b|2 = (cos x)2+ (sin x)2= 1,及|a|= |b|,得 4sin2x= 1. 又x 0, n从而sin x=扌，所以x= n(2)f(x) = a b= 3sin x cos x + sin2 x_311f si n 2x qcos 2x+ 2 =当x= n 0, n时，sin（2x n取最大值1.3所以f（x）的最大值为3.17. （2013银川调研）已知点G是厶ABO的重心，M是A
8、B边的中点.- （1）求 GA+ GB+ GO;-若 PQ过厶ABO 的重心 G, 且OA= a, OB= b OP= ma, OQ= nb,求证:1_n_3.解 GA+ GB_2GM，又 2GM _ GO, -GA+ GB+ GO_ GO + GO_ 0.(2)证明显然 OM _ 2( a+ b).因为G是厶ABO的重心，所以OG_|oM_ 1(a+ b). 由P, G, Q三点共线，得PG/ GQ,所以，有且只有一个实数 入使PG_ X3Q. 1 1 1而PG_ OG OP_|(a+ b) ma_ | m a + |b,1 1|-m_- 人又因为a, b不共线，所以1_1 1消去 入 整理
9、得3mn_m+ n,故一+-_3.m n18. 已知 f(x)_a b,其中 a_(2cos x, 3sin 2x), b_ (cos x,1)(x R)(1)求f(x)的周期和单调递减区间；S AB AC2x _ 1 +(2)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c, f(A)_ 1, a_ . _ 3,求边长b和c的值(bc).解 (1)由题意知，f(x) _ 2cos2x 3sin 2x _ 1 + cos 2x . 3sin (n2cos 2x+ 3 ,二f(x)的最小正周期T_ n y= cos x在2kn 2kn+n k Z)上单调递减,令 2kn2x + 詐2kn+ nk Z),n , n得 k n gW x k n+ (k Z). f(x)的单调递减区间|kn冗一6,kn+ 3，k Z.1,(2) t f(A) = 1 + 2cos?A+ 才nn 7 nn A n又3V 2A+3c,. b = 3, c= 2.