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1、第五章二次曲线的一般理论主要问题：（1）几何性质（2）化简（3）分类5.1二次曲线与直线的相关位置（x2 2xy y2 10x 6y 25 0与y2 4&x）一、预备知识 2-21、在平面上由 F（x, y） aux2a或xy a22y2a13X 2a23y a33 0（1）所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、关于虚点F(x,y) 0y kx by2 1y 22.2 22i,222 , 2 , 2、2i,22i)i)平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数（x,y）表示平面上一个点,如果x, y中至少有一个是虚数，我们仍认为（x, y）表示平面上一个点。（一对共腕虚点的中点是实点）3、
2、记号F(x,y)2aux22a12xy a22y2ax 2a23y a33F1(x,y)auxa13F2 (x,y)a12xa22 ya23*2Uy2 yF3(x,y)a13xa23 ya33(x, y)2 a11x22a12xy a22y容易验证:F(x, y)xF(x, y)yF2(x, y)F3(x, y)I1k1ana12a13a12&1ana13a12a22a23&2a22a13a33a13a23 二次曲线（）的矩阵a33（x,y）的矩阵a11a12a12a22,I3 Aa22a23a23a33例：写出下列二次曲线的矩阵 A及Fi,F2,F322x y222（1） J 1（ 2） y
3、 2x（3）2x xy y 6x 7y 4 0 a b二、相关位置x x Xt二次曲线F（x,y） 0与过点 且具有方向X:Y的直线 0 联立， y yo Yt（X,Y）t2 2Fi（x,y）X F2（x,yo）Yt F（x,y）01、（X,Y） 0,Fi（x,y）X F2（x,yo）Y2（X,Y）F（x,y）100方程有两个不等实根ti,t2有两个不同的实交点200方程有两个相等实根力上有两个相互重合的实交点300方程有两个共腕虚根交于两个共腕的虚点2、（X,Y） 01F1（x0，y0）X F2（x,y）Y 0,有唯一实根有唯一实交点2F1（x,y）X F2（x,y）Y 0 而 F（x,y。
4、）0没有交点3F1（x0,y）X F2（x0,y）Y 0且 F（x0,y。）0 直线全部在二次曲线上eg1、试确定k的值 使直线x y 5 0与二次曲线x2 3x y k 0交于两个不同实点，x 1 与二次曲线x2 3y2 4xy y 0交于一点 y k t注：平面直线方程： 土他 -yy2X Yy kx bx x0 Xty y Yt5.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 一、渐近方向1、定义：满足（X,Y） 0的方向X :Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向2 一2(X,Y) aiiX2al2XY a22Y0(i)渐近方向X : Y总有确定的点2、按渐近方向分类若aii0,(i)改
5、写成 aii()22a或a22 0ai2 、an若a22Yai2a22若aiia220,则一定有ai21:0或 01此时ai2ai202 ai2故I2二次曲线的渐近方向是对共腕的虚方向二次曲线有一个渐近的实方向 二次曲线有两个渐近的实方向显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个按渐近方向可分为三种类型(DI2 0椭圆形曲线x2y2i(2) I2 0 抛物线曲线 y x2(3) I2 0双曲型曲线x2y2i二、二次曲线的中心与渐近线定义：如果点c是二次曲线通过它的所有弦的中点， 称点c是二次曲线的中心c(x0,y)是二次曲线的中心Fi(x0,y0)0F2(x,y。)0推论：(0,
6、0)是二次曲线的中心曲线方程不含x与y的一次项证：将直线方程代入，得：(X,Y)t22Fi(x,y)X F2(x,y)Yt F(x,y) 0由于M 0(x0, y)是两交点的中心ti t20Fi(x0,yO)X F2(x0,y)Y 0(D(2)由于X : Y为任意非渐近方向aux。a12x0若i2F1 (x0, y0)0F2(x,y)0a12y0 a13a22y0 a33ana12a12a22方程有唯一解有唯一中心I20即如a12a12a22(2). a12(1)曳1a12a12a13a22a23盟也无解 无中心a22 a23有无分解 直线a1xa2 y a130上所有点都是二次曲线中心一一中
7、心直线二次曲线中心曲线：I 2无心曲线非中心曲线I20线心曲线0a11a12 a11 a12a12a22a12a22a!3a23巴a23定义: 渐近线通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的判断二次曲线x24xy4y22x2y0是中心曲线，无心曲线还是线心曲线9x26xy6x2y(3xy)(3x y2)线心曲线2xy2x2y线心曲线y20Th1、二次曲线的渐近线与其二次曲线或者没有交点，或者整条直线在二次 曲线上。1,y2、二次曲线的特征方程a12a12a22I1 I20th1、一个方向X :Y成为二次曲线主方向的条件是aiiX比丫a12Xa22YX成立，其中 是特征方程的
8、根Y证明：10若二次曲线为中心二次曲线（I20)与X:Y共腕的直径为XFi（x,y） YF2（x,y） 0,设其方向为X :Y则X :Y(a12X a22Y)：(a11X a12Y)XX YY 0X :Y Y : Xa12X a22Ya11Xa12YY廿其中 0X20若非中心二次曲线(I20)任何直径方向总是唯一的渐近方向X1 : 丫a12 : a11a22 : (a12)而垂直于它的方向显然为X2 : Y2a11 : a12a12 : a222eg1、求 F(x, y) x xyy2 * 1 0的主方向与主直径12 B 0142、转轴x cos.x siny sin 或 x xcosy co
9、s y xsiny sinycos1解：I1 2/212曲线为中心曲线，特征方程为2 2-04131 二 , 2 二2 2,1由1 确定的王万向为X1 :X 1:12,3由2 确定的王万向为X2 :Y21:123、一般情形xx cosy sinx0fxxcos .0或.yx siny cosy0yxsiny sin(x0 cosy0 sin )ycos ( x0 siny0 cos )4、 xA?xB2y C2“22A2B2A1xB1yC1(1)A2xB2 y C2A2 2a12(a22a11)sin cosa12 (cossin ) 0B22AixBiy Ci.A12Bi2为了使新坐标系仍是
10、右手系，使（1）式中x的符号与（2）式中y的符号相同egi、已知两垂直的直线l1:2x y 3 0与l2 : x 2y 2 0,取11为ox轴,取I2为。y轴，求坐标二、二次曲线的化简与分类1、移轴F ,曲线方程系数的变化10二次项系数不变20 一次项系数变为 2F1（x0,y0）与2F2（x0,y0）30常数项变为F（x0,y0）2、转轴下，二次曲线系数的变化规律10二次项系数要改变，但仅与原方程的二次项系数及旋转角有关20 一次项系数一般要改变，但仅与原方程的一次项系数及旋转角有关当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项，当原方程没有一次项时, 通过转轴也不会完全产生一次项。30常数
11、项不变通过转轴使新方程的a.0 ,只须ctg2a11a222 a12(a22a11)sin22a12 cos20a12a22a11a12ctg21 tg22tga12)2a22a122 a221a12a11a22 a12a11a222a122a12a22_a11 a12ctg2-1-2 a12几何意义：把坐标旋转到与二次曲线的主方向平行的位置Y tgX总结：通过转轴与移轴化简二次曲线方程实际上是把坐标轴变换到与二次 曲线的主直径重合的位置因此，二次曲线的化简，只要先求出它的主直径，以其作为新坐标轴即可如果是中心曲线，有且只有一对相互垂直从二又相互共腕的主直径，主直径的交点恰是曲线的中心，化简后
12、，坐标原点与中心重合如果是无心曲线，只有一条主直径，化简后，坐标原点与曲线的中心重合如果是线心曲线，只有一条主直径，坐标原点与曲线的任何一个中心重合坐标轴与主直径重合坐标轴与主直径重合若是中心曲线，选取新坐标系原点与曲线的中心重合, （除圆外）若是无心曲线，选取新坐标系原点与曲线的顶点重合,eg1、化简二次曲线方程x2c23xy y10x10y 210,并作出它的图形I12,1221. 2x2.2x22 3 y2 Ty12x253y，2两个主方向X1:Y 1:1,X2:丫2eg2、化简2xy2x y359 c顶点(一，一),x y 016 168化简二次曲线x2xy2y 2x y 01解：A
13、1I12,120曲线为非中心曲线,它的特征方程为特征根为：10, 22非渐近方向为：X:Y 1:1曲线的主直径为：（xy 1)1(x y -) 0即 x y .3 曲线的顶点为：（士,16过点（3，竺）且与x16 16-)163 y 40垂直的直线方程为取主直径为新坐标轴的x轴,垂直与主直径且过点*, 15）的直线为y轴变换公式为23x y 42、2 x22 x22 3y23 y316516特征方程:2y化简x23xy y210X10y21解:I121221曲线为中心曲线，特征方程为:X1 :Y1 1:1,X2：Y21:1两条主直径为x y0与x y 4 0th1、适当选取坐标系，二次曲线的方
14、程总可以化成下列三个简化方程中的一个22(1)anx a22y a330(ana220)2(2)a22y2a13X 0(a22a130)2(3)a22 y a330( a220)中心曲线：取它的一对即共腕又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系2 a11x22a12xy a22 y2a13x 2a23y a330原点是曲线中心a13 a23 0坐标轴(主直径)的方向为：1： 0与0： 1a12 0 P203无心曲线：选取唯一的主直径为 x轴，而过顶点且以非渐近主方向为方向的直 线为y轴主直径的共腕方向：X :Y 0:1主直径方程为：a12x a22 y a23 0即为x轴a12 a 230,
15、a22 0顶点与原点重合，(0, 0)满足曲线a330又是无心曲线，故I20即曳1皿千a12a22 a23而 a120,a220 a110, a130线心曲线：5.7应用不变量化简二次曲线方程,0 22,1 中心曲线 I20, a11 x a22 ya330I 1 a11 a22 I 1 , I 2a11 a22I 2a11与a22是特征方程2 I1 I20的的特征根 上I 3I 2a33a33I 220无心曲线0,I30Iia22 I i, I 3,2I 1ai3ai3I 3Ii30线心曲线I30 2a22 ya330,11a22Ii,Kia33a220a3311 a33Ki5.7、应用不变
16、量化简二次曲线的方程 一、不变量与半不变量三个不变量I iaiiaiia12a12a22aiiai2aai2a22aa13a23a1323330a33, I 32F(x, y)aiix2a12xy a22 y22ai3x 2a23y在直角变换下:_ F (x , y ) aiix，22a 12X y2a 22 y 2a i3x2a 23 y a 33Iiaiiaiiai2ai2a22一个半变量 Kiaiiai3ai3a33a22a23a23a33经过转轴不改变thi、当二次曲线为线心曲线时，在直角坐标变换下Ki是不变量、应用不变量化简二次曲线的方程10中心曲线I20简化方程为Mx，22a22
17、y a330Iiana22 I ian0aiiaii a22I 2a22a22是方程2 Iian a22 a33I 2a33a330（特征方程）的两根 I 2简化方程为ix222y20无心曲线也也 a12a22盟即I2 a230,I30.2其间化万程为a22 y 2a13 x 0I 1a2200 a13.一 一I 1, I 30a220a1300a22 ai32I 1 a132 I 1a1330线心曲线也照画即I2 I30a12a22a232 I3a13a13I 1简化方程为：I1y2 I3x 0Ii简化方程为a22 y2 a330K1a330a22 a330I111a22I:33K1简化方程
18、为I1y2勺011步骤：（1）求 I1,I2,I3(2)若 I20应用 I1,I2, I3若I20应用Ih%0应用IcR化简 5x2 6xy 5y26，2x 2.2y 4 0I110, I216,I3128化简 x2 2xy y2 10x 6y 25 0I12,I20,I3642y2 2v32x 0或2y2 232x 01,x25.5、二次曲线的主直径与主方向 1、主直径、主方向、轴、质点2_2eg2、求F（x, y） x 2xy y 4x 0的主方向与主直径5.6、二次曲线的化简与分类 一、平面直角坐标变换x xxc1、移轴 , （x0, y0）为新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标 y yy。0,X : Y1 一 3(x y 1) (x y 3)0即x y 02代入已知方程得2y