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1、2. 3数学归纳法课前预习学案一、预习目标：理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的根本步骤与方法能较好地理解“归纳奠基和归纳递推两者缺一不可。二、预习内容：提出问题：问题1前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决即对于数列，%= 码 i,1+( n=1,2,3)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜测出其通项公式1叫二一片，但却没有进一步的检验和证明.问题2:大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)这是一个码放骨牌游戏， 码放时保证任意两相邻的两块骨牌， 假设前一块骨牌倒下， 那么一定导 致后一块骨牌倒下.只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下
2、；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下最后，不管有多少块骨牌都能全部倒下.讨论问题：问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立， 那么对紧接着的下一个值也成立.上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提 和根底，没有它，后面的递推将无从 谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带.1门% = 一如在前面的问题1中，如果不是1,而是2,那么就不可能得出-，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的.
3、而第二步显然更加不可缺少.这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出.解决问题：由上，证明一个与自然数 n有关的命题，可按以下步骤进行：(1) 证明当n取第一个值(D *)时命题成立；假设n=k(k |： ,： -工)时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立.由以上两个步骤，可以断定命题 ? -l：对从岂开始的所有正整数 n都成立.nn取无限多个值有关、具有内在递推这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数 关系的数学命题的重要工具.三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、 学习目标1了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正
4、确。2初步理解数学归纳法原理。3 理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。4初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。二、学习过程：例1、证明等差数列通项公式 an a! n 1d :解析：1让学生理解数 学归纳法的严密性和合理性；2掌握从n = t到理二十十1时等式左边的变化情况。证明：1当n= 1时等式成立； 假设当n= k时等式成立，即ak a1 k 1d ,那么ak 1 ak d=a, k 1 1d ,即n= k + 1时等式也成立由1 、 2可知，等差数列的通项公式 an a1 n 1d对任何n N*都成立.点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三
5、句话：递推根底不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。a n*变式训练1 .在数列a*中，a1 = 1, a* 1n N ,先计算a?, a3 , a4的1 an值，再推测通项 an的公式，最后证明你的结论.例2、用数学归纳法证明卩丄也丄亠2如+10+11 4-J + -I-找= 6用E矿.解析：1进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识上升为理性认识；2掌握从n=t到圧二十*时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项合并项等。1-2-3 -2 = =证明：1冃=1时：左边=1 =1 ,右边 拆，左边=右边，等式成立。 2)n2n 111(n 2)n2n 112n 1(n 2
6、)nn12n(n 2)n2n 13，i丄丄丄2 2 22347 , ，那么可归纳出式子42用数学归纳法证明：首项是a!，公比是q的等比数列的通项公式是n 1anaiq，前n项和公式是Snai(11(q1).课后练习与提高、选择题1.用数学归纳法证明123252(2n1)21过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为2 2A. (2k) B. (2k3)C.(2k1)2 D.2(2 k 2)2 .凸n边形有f(n)条对角线，凸A. f(n )+n +1 B. f(n)+n C.3用数学归纳法证明不等式n + 1边形对角线 f(n)+n -1 D.1n 1由n=k递推到n=k+1时，
7、不等式左边的条数f(n )+n -2n 3)2nA.增加了一项2(k 1)f(n+1)为(1314n 2的过程中，B.增加了一项2k2(k1)1C.增加了“|2k 12(k1，又减少了1)D.增加了“一1一2(k 1)又减少了“ 1k7、填空题4 .数列13,34,n(n123产 3,S3 4由此可猜测Sn5 .假设 f(k)=1 112k 1丄,那么f (k2k1)= f(k) +三、解答题丄151 11 1 , 1 23，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明.6.由以下不等式:III参考答案：1. C 2. C 3. C15.2k 112k 26 解：根据给出的几个不等式可以猜测第n4.-n 1n个不等式，即一般不等式为:1 1 3 Z N).用数学归纳法证明如下：1(1 )当n 1时，1-，猜测成立;2(2)假设当n k时,猜测成立，即III那么当nk 1时,k2，即当n k 1时，猜测也正确，所以对任意的n N，不等式成立.感谢您的阅读，祝您生活愉快