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1、第五章特征值和特征向量I考试大纲要求1、考试内容：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算方法和相似变换； 矩阵的相似关系及性质；矩阵可对角化的判别及相似对角矩阵；实对称矩阵 的特征值和特征向量的性质。2、考试要求：1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，并会计算矩阵 的特征值和特征向量。2 )理解相似的概念、性质及矩阵可对角化的充要条件，掌握用相似变换化 矩阵为对角矩阵的方法。3 )掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。II重要知识点一、矩阵的特征值和特征向量1、基本概念设A是数域P上的n阶矩阵，如果对于数 ”P,存在非零n维列向量a ,使得A”则称九为A的一个特征值，称为A的属于特征
2、值人的特征向量。矩阵A有特征向量等价于(九EA)x = O有非零解，而 仅EA)x = O有非零解数的 充要条件是,E-A=0,故把行列式,E-A称为称为A的特征多项式，方程九E-A = 0 称为A的特征方程，矩阵%_aiia12aln(KE -A)=一 a21九 一 a22 a2n称为A的特征矩阵 an1一 an2 .一 九一ann )设A=(aj)nm为n阶矩阵，A的主对角线元素的和为矩阵A的迹，记为tr(A)。即ntr(A) -an +a22 + +annaii o迹的性质:1) tr(A+B) =tr(A)+tr(B)；2) tr(kA) =ktr(A)；3) tr(AT)=tr(A)
3、;4) tr(AB) =tr(BA)。2、特征值与特征向量的求法设A=(aj)n刈为n阶矩阵，下列步骤求A的特征值与特征向量.1)计算A的特征多项式也EA ;2)求出特征方程|KE-A=0的全部根，即得到A的所有特征值,3)对于每个特征值儿，求解齐次线性方程组 伍EA)x = O,即(- a11) X1 - ai2X2 a1n xn = 0-a21x1 +(九 一 a22)X2 一a2nxn =0-an1X1 -an2x2 -( 1 ann)xn =。若求得其基础解系为1,2，s，则k11+k22+，+kss (k1,k2，,ks不全为零)为A的属于特征值的所有特征向量3、特征值与特征向量的性
4、质1) n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。2)如果 1,2,，m是A的不同特征值，1,2,， m分别是属于1,2,，m的特征向量，则 1,2,，m线性无关。3)设矩阵在复数域上的特征值为1,2,，n,则12 m=|A|otr(A)=1+2+n=a11+ a22 +a nn4)设K是方阵A的特征值，矩阵kAA2,aA + bE, Am, A，(A =0),A* , f (A)分别有特1A征值k%九,a九十b,九，一(九0),(九00) , f (九)5)设A=(aj)n却的秩r(A) =1 ,则矩阵A的n个特征值为1 =a11+ a22+a nn ,2=i，=n=0。二、相似矩阵、对称
5、矩阵及矩阵的对角化1、相似矩阵的基本概念及性质1)相似矩阵：设n阶矩阵A和B.如果存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP,则称 A和B相似.记作AB。2)相似矩阵的基本性质反身性：AA;对称性：如 AB,则BA;传递性：如 AB,且BC,则 AC。若 AB,则 |A|=|B|。 若AB,则A, B同时可逆或不可逆。若人8,且A, B可逆，贝U A-1B-1。若 AB，则 | E-A|=| E-B|。 若AB,则A, B的特征值相同。若 AB,则 tr(A尸tr(B)。 若人8,则其秩相等r(A)=r(B)o2、n阶矩阵A与对角矩阵相似的条件1) A与对角矩阵相似的充分条件是 A有n个互不相同的特征
6、值。2) A与对角矩阵相似的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量。3) n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对每一个ni重特征值i 6 P,矩阵 iE - A的秩是n - n3、求与n阶矩阵相似的对角矩阵的方法11）设n阶矩阵A有n个单重特征值2,，n,则 A如A i= i i(i=1,2,，n),令 P=1,2)设n阶矩阵A有m个特征值 1:2,2,n,则 P-1AP二m,其重数分别为mkm, ki =n ,且对于每个特征值 i 4i都有ki个属于i的线性无关的特征向量，则如 At(i)=i t(i), t=1, 2,，ki, i=1, 2,，m,令矩阵P=s1,瞰小,婿必)公叫,则
7、P-1AP=A2k2km 14、实对称矩阵的对角化1）实对称矩阵特征值与特征向量的特殊性质 实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交。 实对称矩阵的k重特征值恰好有k个属于此特征值的线性无关实特征向量。 对于实对称矩阵A必存在正交矩阵Q,使得Q1AQ为对角矩阵。 ）求正交矩阵Q,使Q1AQ为对角矩阵的方法 解特征方程| E-A|=0,求出A的全部特征值。解齐次线性方程组（E-A）X=0,求出基础解系，得到r重特征值的r个线 性无关的特征向量。 利用施密特正交化方法，使得属于重特征值的r个线性无关向量组正交化， 并使其单位化。将求得的n个单位化正交特征向量组作为矩
8、阵 Q的列向量，从而得到所需的正交矩阵Q。Q1AQ为对角矩阵，其对角元素为 A的全部实特征值，它们在对角矩阵的排列顺序，与其特征向量在 Q中的排列顺序一致。5、重要结论1)若人8, CD,则缶OI。CJ)若 A B ,则 f (A)f (B),f(A)=f（B）,其中f（A）为关于n阶方阵A的多项式。）若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重根重复计算）等于A的秩。III题型归纳及思路提示题型1求矩阵的特征值和特征向量例1设人=2是可逆矩阵A的特征值，则矩阵（1A2）有一特征值为1-33 -5 -633 ,试求A和2E + A，的特征值及A的特征向量4)设 = (al, a2,，an)T,
9、 P =(bi，b2,bn)T 都是非零向量，且 aTP=0,记n阶矩阵A =aP T ,试求A的特征值及特征向量例4设儿,%是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为5口1,A（% +石）线性无关的充要条件是1）兀=0;2 ）九2=0；3 ） %#0;4 ）九20。1 b b、例5设n阶矩阵A= b 1b ,b b b1）求A的特征值和特征向量;2）求可逆矩阵P,使得P/AP为对角矩阵。题型2特征值、特征向量的逆问题1、Z2-1例6已知Z = 1是矩阵A = 5 a1一1 b23的一个特征向量，试确定参数一2a,b及特征向量2所对应的特征值，并问A能否对角化?例7已知三阶矩阵A满足A%
10、 =i%(i =1,2,3),其中% =(1,2,2)T ,% =(2,2,1)T , % = (-2,1,2)T ,求矩阵 A。a -1 c、例8设矩阵A= 5 b 3 ,其行列式A = -1 ,又A的伴随矩阵A*有一个特征值1 -c 0 一a,九，属于九的一个特征向量豆=(_i,_i,i)T ,求参数a,b,c和九的值题型3有关特征值与特征向量的证明题例9设A为正交矩阵，若A = -1,求证A一定有特征值1。例10设A,B都是n阶矩阵，证明：1) AB与BA有相同的特征值；2) tr(AB) =tr(BA)。例11设n阶矩阵A满足A2+2A + 5E =0 ,证明：对任意实数k, A +
11、kE可逆题型4相似的判定及其逆问题今00 100”例12设有三阶矩阵A=0 0 1和B=0 -1 0,试判断A, B是否相似？若相、010/(0-62,似，求出可逆矩阵P,使得B = P口AP广1 0 0、B= 020,00 y，200、例13设矩阵A与B相似，其中A= 2x231b1）求X和y的值;2）求可逆矩阵P,使得B = PAP。题型5与方阵的对角化相关的命题102 ,例14设人=014,问A能否对角化。0 5 5 - a 2 2a ,例15设n阶矩阵A满足A23A+ 2E=O,证明A相似于一对角矩阵。2-20、例16判断矩阵A= -2 1-2是否可以对角化?k0 一20例17设n阶可
12、逆矩阵A可对角化，证明：A的伴随矩阵也可对角化。题型6有关实对称矩阵的命题例18已知% 6 6,是实对称矩阵A的三个特征值，且对应于 % = % = 3的特征向量为支2=（T,0,1）T, 口3 = （1，-2,1）T ,求A对应于九1 = 6的特征向量及矩题型7利用特征值与相似矩阵求行列式例19设a=(1,0,1)T,矩阵A T,n为正整数，贝U aE-An =例20已知三阶矩阵A的特征值为1, 1, 2,设B = （A*）2-3A* + E , 试求（1）矩阵B的特征值及其相似标准形；(2)行列式|B及A* -3E题型8利用相似对角化求方阵的哥例21三阶矩阵A的特征值分别为%=,%=1,%=3,对应的特征向量依次为:（1）将用 W 匕线性表示；（2）求AnP（n为正整数）。IV本章小结重点难点：1、求矩阵的特征值和特征向量；2 、已知矩阵的特征值或特征向量，反求矩阵中的参数；3 、矩阵可相似对角矩阵的判定及化矩阵为对角矩阵。本章一般出填空题和计算题，几乎每年都会出有关一道与特征值有关的题目，因此本章也是重点考查章节。题目主要涉及：1）特征值、特征向量的概念、性质及计算；2）矩阵相似的概念、性质以及相似对角化的有关问题；3）实对称矩阵特征值和特征向量的性质以及用正交矩阵相似对角化等。