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1、笔记黄冈中学高考数学典型例题32-极限及其运算每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看 效果更好 体会绝妙解题思路 建立强大数学模型 感受数学思想魅力 品味学习数学快乐 极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题. ?难点磁场 nn,1a，2(?)求. limnn，1n,2，a?案例探究 2,例1,已知(,ax,b)=0,确定
2、a与b的值. x,x，1limx,命题意图:在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属?级题目. 知识依托:解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法. 错解分析:本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错.技巧与方法:有理化处理. 22(x,x，1),(ax，b)2(x,x，1,ax,b),解: limlim2x,x,x,x，1，ax，b222(1,a)x,(1，2ab)x，(1,b), lim2x,x,x，1，ax，b2要使上式极限存在，
3、则1,a=0, 2当1,a=0时， 2b1,ab,(1，2)，22abxbab,(1,2)，(1,),(1，2)x上式,limlim2x,x,a1，b11xxaxb,，1， a,，1，2xxx,(1，2ab)由已知得,01，a2,a,1a1,0,? 解得 ,1ab,(1，2)b,0,2,a1，,例2,设数列a,a,a,的前n项的和S和a的关系是S=1,ba,12nnnnn1,其中b是与n无关的常数，且b?,1. n(1，b)(1)求a和a的关系式; ,nn1(2)写出用n和b表示a的表达式; n(3)当0,b,1时，求极限S. nlimn,命题意图:历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前
4、n项和S等n有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n项和S再求极限，本题考查学生的综合能力.属?级题目. n知识依托:解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析:本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n=1与n=2时的式子不统一性. 技巧与方法:抓住第一步的递推关系式，去寻找规律. 11b，解:(1)a=S,S=,b(a,a),=,b(a,a)+ ,nnn1nn1nn1nn,1n(1，b)(1，b)(1，b)(n?2) bb解得a=a， (n?2) nn,1n，11，b(1，b)1b？(2)a,S,1,ba,？a,111121，b(1，
5、b)2bbb1bb，b2？a,a，,()a，nn,n,22nn，n，111，b1，b1，b(1，b)(1，b)(1，b)2bbbb，b2,()a，n,3n,n，111，b1，b(1，b)(1，b) 23bb，b，b2？,()a，,n,3n，11，b(1，b)n,231？bb，b，b，bn,1由此猜想a,()a，n1n，11，b(1，b)b把代入上式得a,12(1，b)n，1,b,b(b,1),2nn，1？b，b，b,(1,b)(1，b)a,nn，1(1，b)n,(b,1)n，1,2,n，11b,b1(3)S,1,ba,1,b, nnnn，1n(1，b)(1,b)(1，b)(1，b)n，11b(
6、b,b)1n，1,1,()(b,1),n1,b1，b(1，b)1nn ？0,b,1时,b,0,(),0,？S,1.limlimlimnn,n,n,1，b?锦囊妙计 1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限. 3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如: n(,1)n,0,a,0(|a|,1) limlim,nnna,0,当kl时,b0kk,1,，axax
7、a？,01k,0,当kl时 lim,ll,1n,，bxbx？b011,不存在,当kl时,?歼灭难点训练 一、选择题 111n21.(?)a是(1+x)展开式中含x的项的系数，则等(，？，)nlim,naaa12n于( ) A.2 B.0 C.1 D.,1 a，c22n()2.(?)若三数a,1,c成等差数列且a,1,c又成等比数列，则lim22,na，c的值是( ) A.0 B.1 C.0或1 D.不存在二、填空题 3.(?) =_. (x，x，x,x)limn,，,24.(?)若=1,则ab的值是_. (a2n，n,1,nb)limn,三、解答题 31315.(?)在数列a中，已知a=,a=
8、,且数列a,a是公比n12n+1n51001011为的等比数列，数列lg(a,a是公差为,1的等差数列. n+1n22(1)求数列a的通项公式; n(2)S=a+a+a(n?1),求S. n12nnlimn,f(x)f(x)6.(?)设f(x)是x的三次多项式，已知=1,试求,limlimn,2an,4ax,2ax,4af(x)的值.(a为非零常数). limn,x,3a7.(?)已知数列a,b都是由正数组成的等比数列，公式分别为p、nnSnq,其中p,q,且p?1,q?1,设c=a+b,S为数列c的前n项和，求的值.limnnnnnn,Sn,1an8.(?)已知数列a是公差为d的等差数列，d
9、?0且a=0,b=2 (nn1nS*n?N),S是b的前n项和，T= (n?N). nnnbn(1)求T的通项公式; n(2)当d,0时，求T. nlimn,参考答案 难点磁场 12n,11，()nn,1a，21aa解:当a,2或a,2时,;limlimnn，12n,n,a2，an()，aaa1n()，nn,1a，2122当,2,a,2时,;limlim，1nnan,n,42，an2，a()2nn,1n,1a，23,21当a,2时,; limlimnn，12n,1n,n,22，a6,nn,1nn,1a，2(,2)，2当a,2时,nn，1nn，12，a2，(,2)nn,1n,1,2，2,21,(
10、n为奇数),nn，1n,62，23,2,1,1nnn22323，,(n为偶数),，1nnn,22,2,2,歼灭难点训练 nn(,1)1112a,C,？,2(,)一、1.解析:， nnann2,1n1111？(，？，),2(1,),2 limlimn,n,aaan12n答案:A ，,2，,2，,2acacac,2.解析: , 得或,222222ac,1a，c,2a，c,6,答案:C x，x，x,x二、3.解析: x，x，x,x,()limlimx,，,x,，,x，x，x，x11，1x ,.limx,，,2111，1，3x2x1答案: 2222222222annnbabnana(2，,1),(2,
11、)，,4.解析:原式= ,1limlim22n,n,annnbannnb2，,1，2，,1，22,2a,b,0a,22, ,？,b,4,b2，,1,2?a?b=8 2答案:8 31131三、5.解:(1)由a,a是公比为的等比数列，且a=,a=,n+1n12251010011131131111n-1n-1n,1,()?a,a=(a,a)()=(,)()=,n+1n21n，142225210101001011?a=a+ ? n+1nn，121011,又由数列lg(aa)是公差为,1的等差数列，且首项lg(a,a)n+1n21223113=lg(,)=,2, 251001?其通项lg(a,a)=,
12、2+(n,1)(,1)=,(n+1), n+1n211,(n+1)(n+1) ?a,a=10,即a=a+10?n+1nn+1n22511n+1n+1?联立解得a=,(),(), n2210nnn511，1，1kk(2)S= a,(),()n,k2210,1,11kkk1122()()51162？S, limn11n,2911,210f(x)6.解:由于=1，可知，f(2a)=0 limx,2ax,2a? 同理f(4a)=0 ? a)与(x,4a)的因式，由于f(x)是x的三次多项式，由?可知f(x)必含有(x,2故可设f(x)=A(x,2a)(x,4a)(x,C),这里A、C均为待定的常数，
13、f(x)A(x,2a)(x,4a)(x,C) 由,1,即,A(x,4a)(x,C),1,limlimlimx,2ax,2ax,2ax,2ax,2a七、学困生辅导和转化措施2,即4aA,2aCA=,1 得A(2a,4a)(2a,C),1抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。? f(x)2同理，由于=1,得A(4a,2a)(4a,C)=1,即8aA,2aCA=1 limx,4ax,4a11.弧长及扇形的面积? 3、思想教育，转化观念端正学习态度。11由?得C=3a,A=,因而f(x)= (x,2a)(x,4a)(x,3a), 222a2a()111fx(2)(4)()？,x,ax
14、,a,a,a, limlim22x,ax,a3332x,a22aanna(1,p)b(1,q)117.解:S,，n1,p1,qnna(1,p)b(1,q)11，S1,p1,qn？, n,1n,1Sa(1,p)b(1,q)n,111，1,p1,q同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。nna(1,q)，b(1,p),a(1,q)p,b(1,p)q1111,n,1n,1a(1,q)，b(1,p),a(1,q)p,b(1,p)q1111由数列a、b都是由正数组成的等比数列，知p,0,q,0 nnnna(1,q)，b(1,p),a(1,q)p,b(1,p)q1111nSpn当时p,1,limli
15、mn,n,11n,n,Sa(1,q)，b(1,p),a(1,q)p,b(1,p)qn,11111np（1）一般式：a(1,q)，b(1,p)qn11,a(1,q),b(1,p)()11npp ,lima(1,q)，b(1,p)1q1n,n,111,a(1,q),b(1,p)()11n,1pppp0,a(1,q),01,p.10,a(1,q),01pnn,1nn,1当p,1时,q,1, p,p,q,q,0limlimlimlimn,n,n,n,Sn ？,1limn,Sn,1,(n1)dan8.解:(1)a=(n,1)d,b=2=2 nn,0d2d(n1)dS=b+b+b+b=2+2+2+2 n123n设O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；dr 直线L和O相交.dn1,(2)d由d?0,2?1,?S= nd1,2156.46.10总复习4 P84-90dn1,(2)nddS1,2n1,2,?T= n(n,1)d(n,1)dndb22,2n7.三角形的外接圆、三角形的外心。d(2)当d,0时，2,1 nddn1,21,(2)？,Tlimlimlimnn,dnddn,dn(1)1n,n,n,2,2(2),(2)1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。1 ,1ddn0,12(2),limd11n,2,1,1,1dd22