《最新[设计]数学归纳法经典例题详解优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新[设计]数学归纳法经典例题详解优秀名师资料.doc（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、设计数学归纳法经典例题详解例1(用数学归纳法证明: 1111n( ，？，,，1，33，55，72n,12n，12n，1请读者分析下面的证法: 1111证明:?n=1时，左边,，右边,，左边=右边，等式成立(1，332，13?假设n=k时，等式成立，即: 1111k( ，？，,，1，33，55，72k,12k，12k，1那么当n=k+1时，有: 11111 ，？，1，33，55，72k,12k，12k，12k，3，1111111111, ,1,，,，,，？，,，,2335572k,12k，12k，12k，3,，1112k，2, ,1,22k，322k，3,k，1k，1, ，2k，32k，1，1这
2、就是说，当n=k+1时，等式亦成立( 由?、?可知，对一切自然数n等式成立( 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求(正确方法是:当n=k+1时( 11111，？， ，1，33，55，72k,12k，12k，12k，3k1,， ，2k，12k，12k，322k，3k，12k，1k，1， ,，2k，12k，32k，12k，3k，1k，1 ,，2k，32k，1，1这就说明，当n=k+1时，等式亦成立， 例2(是否存在一个等差数列a，使得对任何自然数n，等式:
3、 na+2a+3a+na=n(n+1)(n+2) 123n都成立，并证明你的结论( 分析:采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来a，然后再证明一般性( n解:将n=1，2，3分别代入等式得方程组( a,6,1,a，2a,24， ,12,a，2a，3a,60123,解得a=6，a=9，a=12，则d=3( 123故存在一个等差数列a=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立( n下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a=3n+3，对大于3的自然数，等式na+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)都成立( 123n因为起始值已证，可证第二步骤( 假设n=k时，等式成立，即 a+2
4、a+3a+ka=k(k+1)(k+2) 123k那么当n=k+1时， a+2a+3a+ka +(k+1)a 123kk+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3 2=(k+1)(k+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+1)+1(k+1)+2 这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列a=3n+3使a+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)成立(n123n综合上述，可知存在一个等差数列a=3n+3，对任何自然数n，等式a+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)n123n都成立( 111例3(证明不等式 (n?N)( 1，？，,2n23n证
5、明:?当n=1时，左边=1，右边=2( 左边右边，不等式成立( 111?假设n=k时，不等式成立，即(1，？，,2k23k那么当n=k+1时， 1111 1，？，23kk，112kk，1，1 ,2k，,k，1k，1k，k，1，12k，1， ,2k，1k，1k，1这就是说，当n=k+1时，不等式成立( 由?、?可知，原不等式对任意自然数n都成立( 说明:这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是 1111，当代入归纳假设后，就是要证明:1，？，,2k，123kk，112k，,2k，1( k，1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标(例4(已知数列a满足a=0，a=
6、1，当n?N时，a=a+a( n12n+2n+1n求证:数列a的第4m+1项(m?N)能被3整除( n分析:本题由a=a+a求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法(n+1n+1n?当m=1时，a=a=a+a=(a+a)+(a+a)=a+a+a+a+a=3，能被3整除(4m+1543322121221?当m=k时，a能被3整除，那么当n=k+1时， 4k+1a=a=a+a 4(k+1)+14k+54k+44k+3+a+a+a =a4k+34k+24k+24k+1=a+a+a+a+a 4k+24k+14k+24k+24k+1=3a+2a 4k+24k+1由假设a能被3整除，又3a能被3整
7、除，故3a+2a能被3整除(4k+14k+24k+24k+1因此，当m=k+1时，a也能被3整除( 4(k+1)+1由?、?可知，对一切自然数m?N，数列a中的第4m+1项都能被3整除(n例5(n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。圆被所有的
8、交点最多分成多少段圆弧, 5、多一份关心、帮助，努力发现他们的闪光点，多鼓励、表扬他们，使其体验成功、努力学习。分析:设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证(2当n=2时，由图(1)(两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=2( 2当n=3时，由图(2)(三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=3( 3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在090间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。2由n=4时，由图(3)
9、(三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=4(经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.2由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n( 用数学归纳法证明如下: ?当n=2时，上面已证( 10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。2?设n=k时，f (k)=k，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就(2)中心角、边心距
10、：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.多出k条圆弧;另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧(一)数与代数2? f (k+1)=k+k+(k+1) 10.三角函数的应用22 =k+2k+1=(k+1)2? 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)段圆弧( 1、会数、会读、会写100以内的数;在具体情境中把握数的相对大小关系;能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。2由?、?可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n段圆弧( 说明:这里要注意;增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条,可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律:f (k+1)=f (k)+k+(k+1)(