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1、课程最新高考数学解题技巧大揭秘 专题22 数学思想在解题中的应用(二)专题二十二数学思想在解题中的应用(二)21(定义在R上的函数f(x)满足f(x，6),f(x)(当,3?x,1时，f(x),(x，2);当,1?x,3时，f(x),x.则f(1)，f(2)，f(3)，f(2 012),( )( A(335 B(338 C(1 678 D(2 012 答案: B 由f(x，6),f(x)可知函数f(x)的周期为6所以f(,3),f(3),1f(,2),f(4),0f(,1),f(5),1f(0),f(6),0f(1),1f(2),2所以在一个周期内有f(1)，f(2)，f(6),1，2,1，0
2、,1，0,1所以f(1)，f(2)，f(2 012),f(1)，f(2)，3351,1，2，335,338. 222(方程ay,bx，c中的a，b，c?,3，,2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同(在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )( A(60条 B(62条 C(71条 D(80条 2b222答案:B 显然方程ay,bx，c表示抛物线时有ab?0故该方程等价于y,，xac. a2(1)当c,0时从,3,2,1,2,3中任取2个数作为ab的值有A,20种不同的方5法 当a一定b的值互为相反数时对应的抛物线相同这样的抛物线共有43,12条2所以此时不同的抛物线共有A,6,14
3、条( 53(2)当c?0时从,3,2,1,2,3中任取3个数作为abc的值有A,60种不同的5方法,当ac的值一定而b的值互为相反数时对应的抛物线相同这样的抛物线共有234A,24条所以此时不同的抛物线有A,12,48条(综上所述满足题意的不同的抛物35线有14，48,62条故选B. x，x112,3(函数f(x)在a，b上有定义，若对任意x，x?a，b，有f)，f(x)，?f(x1212,22则称f(x)在a，b上具有性质P.设f(x)在1,3上具有性质 P，现给出如下命题: 2?f(x)在1,3上的图象是连续不断的;?f(x)在1，3上具有性质P;?若f(x)在x,2x，x，x，x1234
4、,处取得最大值1，则f(x),1，x?1,3;?对任意x，x，x，x?1,3，有f1234,41?f(x)，f(x)，f(x)，f(x)(其中真命题的序号是( )( 12344A(? B(? C(? D(? 2,，x,1，x?12，?，23,答案:D 取函数f(x),则函数f(x)满足题设条件具有 2x,2,性质P但函数f(x)的图象是不连续的故?为假命题排除A、B,取函数f(x),x,1?x?322,则函数满足题设条件具有性质 P但f(x),x1?x?3就不具有性质P故?为假命题排除C.应选D. 4(下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_( 解析 此框图依次执行如下循环: 第一次
5、:T,0k,1sin,sin 0成立a,1T,T，a,1k,22,6继续循环,2 第二次:sin ,sin不成立a,0T,T，a,1k,3,3,6继续循环,2 3第三次:sin,sin 不成立a,0T,T，a,1k,4,4,6继续循环,2 3 2,sin成立a,1T,T，a,2k,5,5,6继续循环,第四次:sin2 5第五次:sin,sin 2成立a,1T,T，a,3k,6,6,6不成立跳出循环输出2T的值为3. 答案 3 1(分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前n项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位臵关系不定问题等在选择、填空、解答题中都会涉及到分类讨论的思
6、想方法( 2(等价转换思想的应用在高考试题中处处可见是解高考试题常用的数学思想( (1)分类与整合思想实质上是“化整为零各个击破再积零为整”的数学策略(利用好分类与整合思想可以优化解题思路降低问题难度(复习中要养成分类与整合的习惯常见的分类情形有:概念分类型运算需要型参数变化型图形变动型( (2)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法它无处不在(比如:在解析几何中通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题. 必备知识 分类与整合思想 在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况:解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的(当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问
7、题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究(这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合分合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想( 化归与转化思想 在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想( 必备方法 1(分类讨论的几种情况 (1)由数学的概念、图形的位臵等引发的分类讨论:数学中的概念有些就是分类的如绝
8、对值的概念,(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论:一些数学定理和公式是分类的如等比数列的求和公式等, (3)由参数变化引发的分类讨论:当要解决的问题中涉及参数时由于参数在不同范围内取值时问题的发展方向不同这就要把参数划分的几个部分分类解决, (4)问题的具体情况引发的分类讨论:有些数学问题本身就要分情况解决如概率计算中要根据要求分类求出基本事件的个数, (5)较复杂或非常规的数学问题需要采取分类讨论的解题策略来解决( 2(化归转化思想的几种情况 (1)化为已知:当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时把所要解决的问题化为已知问题, (2)化难为易:化难为易是解决数学问题的基本思想
9、当我们遇到的问题是崭新的解决起来困难时就要把这个问题化为我们熟悉的问题熟悉的问题我们有解决的方法就是容易的问题这是化难为易的一个方面, (3)化繁为简:在一些问题中已知条件或求解结论比较繁这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况再解决问题有时把问题中的某个部分看做一个整体进行换元这也是化繁为简的转化思想, (4)化大为小:在解答综合性试题时一个问题往往是由几个问题组成的整个问题的结论是通过这一系列的小问题得出的这种情况下就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决. 由数学概念、法则、公式而引起的 分类讨论 数学中的很多概念都是通过分类定义的数学中的一些定理、公式、法则往往有一些
10、严格的限制条件故高考常常在这些知识点中命题( logx，x,0，2,【例1】设函数f(x),若f(a),f(,a)，则实数a的取值范围是( )(,1log，,x，x,0， ,2A(,1,0)?(0,1) B(,?，,1)?(1，?) C(,1,0)?(1，?) D(,?，,1)?(0,1) 审题视点 听课记录 ,0a,0讨论求解( 审题视点 分a1C 当a,0时由f(a),f(,a)得loga,loga 2211即loga,log 即a,解得a,1, 22aa1当a,0时由f(a),f(,a)得log(,a),log(,a) 2211,即log,log(,a)则,a解得,1,a,0. 22,a
11、a所以a?(,1,0)?(1，?)( 有许多核心的数学概念是分类的比如:直线斜率、指数函数、对数函数等与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类从而全面完整地解决问题( x【突破训练1】 若函数f(x),a,x,a(a,0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是_( xx解析 则函数f(x),a,x,a(a,0且a?1)有两个零点就是函数y,a(a,0且a?1)的图象与函数y,x，a的图象有两个交点(由图象可知当0,a,1时两函数只有一个交x点不符合,当a,1时因为函数y,a(a,1)的图象过点(0,1)而直线y,x，a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方所以一定有两个交点
12、(所以实数a的取值范围是(1，?)( 答案 (1，?) 由参数的变化而引起的分类讨论 由于参数的取值不同会导致所得结果不同所以某些含有参数的问题如函数性质的运用、求最值、一元二次方程根的判断、直线斜率等在求解时要根据参数的变化进行分类讨论( 1,a【例2】已知函数f(x),ln x,ax，,1(a?R)( x1(1)当a?时，讨论f(x)的单调性; 212(2)设g(x),x,2bx，4，当a,时，若对任意x?(0,2)，存在x?1,2，使f(x)?g(x)，12124求实数b的取值范围( 审题视点 听课记录 审题视点 (1)根据解题需要要对二次项系数、根的大小分类讨论( (2)将问题转化为g
13、(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值则可借助(1)问的结论求得f(x)在(0,2)上的最小值根据二次函数的对称轴与给定区间(1,2的关系讨论求g(x)的最小值即可求b的范围( 1,a解 (1)因为f(x),ln x,ax，,1， x2a,1,x，1,aax1所以f(x),a，,，x?(0，?)( 22xxx2令h(x),ax,x，1,a，x?(0，?)( ?当a,0时，h(x),x，1，x?(0，?)， 所以当x?(0,1)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减; 当x?(1，?)时，h(x)0，函数f(x)单调递增( ?当a?0时，令f(x),0， 12
14、即ax,x，1,a,0，解得x,1，x,1. 12a1(?)当a,时，x,x，h(x)?0恒成立，此时f(x)?0，函数f(x)在(0，?)上单调递122减( 11(?)当0a10， 2a当x?(0,1)时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减; 1,当x?1，,1时，h(x)0，函数f(x)单调递增; ,a1,当x?,1，?时，h(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单调递减( ,a1(?)当a0时，由于,10，此时f(x)0，函数f(x)单调递减; x?(1，?)时，h(x)0，函数f(x)单调递增( 综上所述，当a?0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1
15、，?)上单调递增;1当a,时，函数f(x)在(0，?)上单调递减; 211,当0a时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在1，,1上单调递增，函数f(x),2a1,在,1，?上单调递减( ,a11,(2)因为a,?0，由(1)知，x,1，x,3?(0,2)， 12,42当x?(0,1)时，函数f(x)单调递减;当x?(1,2)时，函数f(x)单调递增(所以f(x)在(0,2)1上的最小值为f(1),. 2由于“对任意x?(0,2)，存在x?1,2，使f(x)?g(x)”等价于“g(x)在1,2上的最小12121值不大于f(x)在(0,2)上的最小值,”(*) 222又g(x),(
16、x,b)，4,b，x?1,2，所以 ?当b0，此时与(*)矛盾; min2?当b?1,2时，因为g(x),4,b?0，同样与(*)矛盾; min117?当b?(2，?)时，因为g(x),g(2),8,4b，解不等式8,4b?,，可得b?.min28 17，,综上所述，b的取值范围是，?. ，,8求解时要结合参数的意义对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论分类要合理要不重不漏要符合最简原则( 332【突破训练2】已知函数f(x),ax,x，1(x?R)，其中a,0. 2(1)若a,1，求曲线y,f(x)在点(2，f(2)处的切线方程; 11，(2)若在区间,，上，f(x),0恒成立，求a的取
17、值范围( ，223322解 (1)当a,1时，f(x),x,x，1，f(2),3.f(x),3x,3x，f(2),6，所以曲线y2,f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y,3,6(x,2)，即y,6x,9. 2(2)f,3ax,3x,3x(ax,1)( 1令f(x),0，解得x,0或x,. a以下分两种情况讨论: 11?若0,a?2，则?. a2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表: 11,，0 0， x 0 ,22f(x) ， 0 , 极大值 f(x) 11，当x?,，时， ，225,a1,f,0，,0，,28f(x),0等价于即 ,15，a, f,0， ,0.,28解不等式组
18、得,5,a,5.因此0,a?2. 11?若a,2，则0,. a2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表: 11111,，0 0， ， x 0 ,2aaa2f(x) ，0 , ， 0 极大值 极小值 f(x) 11，当x?,，时， ，225,a1,f,0，,0，,28f(x),0等价于即 ,11, f1,0，,0.2,2aa22解不等式组得,a,5或a,.因此2,a,5. 22综合?，可知a的取值范围为0,a,5. 转化与化归思想的应用 转化与化归思想非常普遍常考查特殊与一般、常量与变量、正与反或以换元法为手段的转化( 32【例3】已知函数f(x),x，2x,ax，1.若函数g(x),f
19、(x)在区间(,1,1)上存在零点，则实数a的取值范围是_( 审题视点 听课记录 审题视点 很显然函数g(x)是二次函数二次函数在一个开区间上存在零点情况是很复杂的但这个二次函数可以把参数分离出来这样就把问题转化为求一个具体的函数的值域( 22解析 g(x),f(x),3x，4x,ag(x),f(x)在区间(,1,1)上存在零点等价于3x，24x,a在区间(,1,1)上有解等价于a的取值范围是函数y,3x，4x在区间(,1,1)上的值域44，,，,不难求出这个函数的值域是,7.故所求的a的取值范围是,7. ，,，,334， 答案 ,，7，3在高考中转化与化归思想占有相当重要的地位在解题时注意依
20、据问题本身所提供的信息利用动态思维去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法( 【突破训练3】 函数f(x),sin x，cos x，sin 2x的最小值是_( ,解析 令t,sin x，cos x,2sinx， ,415222,则t,1，sin 2x且t?,22?f(t),t，t,1,t，, ,2415故当t,?,22时函数f(x)的最小值为,. 245答案 , 4突破转化与化归的瓶颈 转化的一种方式是变换研究对象将问题转移至新对象的知识背景中从而使非标准型问题、复杂问题简单化进而变得容易处理(通过引进新的变量可以将分散的条件联系起来隐含的条件显露出来或者将条件与结论联系起来或者使题目的形
21、式变得熟悉从而将复杂的计算或证明题简化( n【示例】设函数f(x),x，bx，c(n?N，b，c?R)( ，n1,(1)设n?2，b,1，c,1，证明:f(x)在区间，1内存在唯一零点; n,2(2)设n,2，若对任意x，x?,1,1，有|f(x),f(x)|?4，求b的取值范围;122122 1,(3)在(1)的条件下，设x是f(x)在，1内的零点，判断数列x，x，x，的增减nn23n,2性( n满分解答 (1)b,1c,1n?2时f(x),x，x,1. n111,?ff(1),1,0 nnn,2221,?f(x)在1内存在零点( n,21n,1,又当x?1时f(x),nx，1,0 n,21
22、,?f(x)在1上是单调递增的 n,21,?f(x)在1内存在唯一零点(4分) n,22(2)当n,2时f(x),x，bx，c. 2对任意xx?,1,1都有|f(x),f(x)|?4等价于f(x)在,1,1上的最大值与最小值之1221222差M?4.据此分类讨论如下: b,(i)当,1即|b|,2时 ,2M,|f(1),f(,1)|,2|b|,4与题设矛盾( 22b(ii)当,1?,0即0,b?2时 2bb2,M,f(1),f,，1?4恒成立( 22,22b(iii)当0?,?1即,2?b?0时 2bb2,M,f(,1),f,1?4恒成立( 22,22?b?2.(8分)综上可知,2 注:(ii
23、)(iii)也可合并证明如下: 用maxab表示ab中的较大者( b当,1?,?1即,2?b?2时 2b,M,maxf(1)f(,1),f, 222,2f，,1，f，1，|f，,1，,f，1，|b2222,，,f, 2,2222b,1，c，|b|, ，c,4|b|2,1，?4恒成立(8分) ,21,(3)法一 设x是f(x)在1内的唯一零点(n?2) nn,21nn，1,f(x),x，x,1,0f(x),x，x,1,0x?1于是有f(x),0,f，nnnnn1n1n1n1n1nnn,2n，1n(x),x，x,1,x，x,1,f(x) ，n1n1n1nn11n1n11,又由(1)知f(x)在1上
24、是递增的故x,x(n?2) ，nnn1,2所以数列xxx是递增数列(12分) 23n1,法二 设x是f(x)在1内的唯一零点 nn,2n，1n，1f(x)f(1),(x，x,1)(1，1,1) ，n1nn1nnn，1n,x，x,1,x，x,1,0 nnnn则f(x)的零点x在(x1)内故x,x(n?2) ，n1n1n,nn1所以数列xxx是递增数列(12分) 23n老师叮咛:本题主要考查函数的零点、导数与不等式以及数列的单调性的判断和恒成立问题的处理意在考查转化思想和分类讨论思想的运用.第，1，问利用函数零点存在定理1,结合函数的单调性得出函数在区间1上的零点个数.第，2，问结合分类讨论思想得
25、出,2函数在区间,11上的最值把恒成立问题转化为简单的解不等式问题不会转化是一个重要的失分点.第，3，问看成单纯的数列问题无法将新问题与第，2，问中的结论联系起来导致解题走入死胡同. a【试一试】 已知函数f(x),x，(a?R)，g(x),ln x. x(1)求函数F(x),f(x)，g(x)的单调区间; g，x，(2)若关于x的方程,f(x),2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根a的值(2x a解 (1)函数F(x),f(x)，g(x),x，ln x的定义域为(0，?)( x2，x,axa1?F(x),1,，,. 22xxx12?当,1，4a?0，即a?,时，得x，x,a?0，则F(x
26、)?0. 4?函数F(x)在(0，?)上单调递增( 12?当,1，4a,0，即a,时，令F(x),0，得x，x,a,0， 4,1,1，4a,1，1，4a解得x,0，x,. 1222一锐角三角函数,1，1，4a1(i)若,a?0，则x,?0. 242?x?(0，?)，?F(x),0， 一锐角三角函数?函数F(x)在(0，?)上单调递增( 推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,1，1，4a(ii)若a,0，则x? ,时，F(x),0;0，,2和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.,1，1，4ax?,时，F(x),0， ，?,2一年级
27、有学生 人，通过师生一学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极思考并回答老师提出的问题，下课能够按要求完成作业，具有一定基础的学习习惯，但是也有一部分学生的学习习惯较差，学生上课纪律松懈，精力不集中，思想经常开小差，喜欢随意讲话，作业不能及时完成，经常拖拉作业，以致学习成绩较差，还需要在新学期里多和家长取得联系，共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。,1，1，4a,1，1，4a?函数F(x)在区间,上单调递减，在区间,上单调0，?,22即;递增( 综上所述，当a?0时，函数F(x)的单调递增区间为(0，?); ,1，1，4a当a,0时，函数F(x)的单调递减区间为,， 0，,24、在
28、教师的具体指导和组织下，能够实事求事地批评自己、评价他人。,1，1，4a单调递增区间为,. ，?,22、100以内的进位加法和退位减法。g，x，ln xaln x2(2)由,f(x),2e，得,x，,2e，化为,x,2ex，a. 22xxxx1,ln xln x令h(x),，则h(x),. 2xx令h(x),0，得x,e. 当0,x,e时，h(x),0;当x,e时，h(x),0. ?函数h(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，?)上单调递减( 1?当x,e时，函数h(x)取得最大值，其值为h(e),. e第二章 二次函数222而函数m(x),x,2ex，a,(x,e)，a,e， 对称轴：x=2当x,e时，函数m(x)取得最小值，其值为m(e),a,e. 11g，x，22?当a,e,，即a,e，时，方程,f(x),2e只有一个实数根(2eex