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1、、二阶行列式概念：形如a12、三阶行列式:形如规定a1a2a3a11aiia2ia3ia12a22a32a22a32a11A1ai2a22a32a13a23a33a23a33a12A2ai3a23a33a11a21a31a11a22a33a11 (a22a33a12a23a33a21a31a13A3三、n阶行列式的定义定义：n阶行列式Da1P1a2P2 Lanpn的代数和,a21a12a22a32a22a13a23a33决定。D列式D的根据定义,行列式的式子称为二阶行列式；数学规定的式子称为三阶行列式。a11a21a12a23a31a13a21a32a13a22a31a12a21a33aa23
2、a32a23a32 )a12(a23a31a21a33 )a13(a21a32a22a31 )a13a2a3a22a32a22a32a23a33a12a2a3a23a33a13a21a31a12a22a22a32aiia22a12 a21 ；&1a21Man1ai2a22Man2LLOLa1a2等于所有取自不同行、不同列的 n个元素的乘积其中P1 P2 Pn是 1, 2,，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数a110M0a12a22M 0LLOLaa2anna21Ma12a22Man2LLOL代数余子式和余子式的关系:四、行列式按行（列）展开t 12L n1al1 a22 Lannaia22L
3、 ann也可简记为det aj ,其中aj为行ana2nMannMij (PlP2L Pn1)i jAjt P1 P2L Pn.a1R a2 P2 L anPnAj ( 1)i jMj6余子式 在n阶行列式中，把元素aj所在的第i行和第j列划去后，留下来的n 1阶行列式叫做元素a。的余子式,记作Mj。代数余子式 记 Aj1 i j Mj ,叫做元素a。的代数余子式。确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位 置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置（即第i行,第j歹I）有关，其代数余子式的正负号是“（1）i j ” .引理
4、一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i, j） （i, j）元外a。都为零，那么这行列式等a11a12L定理n阶行列式Da21a22LM M Oan1an2Lannalna2nM的乘积之和，即DaiAiai2 A2 L于aj与它的代数余子式的乘积，即 DajAj等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式ainAn , (i 1,2,L ,n)或DaijAja2jA2jLanjAnj ,(j 1,2,L ,n)0a11&2 L&n&1a21La21a22La2 nr Tai2a22 L记D,DM M O MM M Oan1an 2annaina2nLan1an2Mann,行列式DT
5、称为行列式D的转置行列式。五、行列式的性质定义 行列互换，行列式不变.即a11a12ana11a21ama21a22a2na12a22an2aman2annana2nann性质1 行列式与它的转置行列式相等。DT = D性质2行列式的两行对换，其值变号。即alla12ainailai2ainailai2ainakiak2aknak1ak2aknailai2ainan1an2annanian 2ann性质3 个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式.即aiiai2ainaiiai2a i nkaiikai2kainkaiiai2ainanian2annanian2ann性质4 行列式中
6、的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到 D的外面;性质5 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即性质6如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零.即aiiai2ai naiiai2aiiai2ainkaiiai2kaiikai2ka inaiiai2anian2annanian2al nainainann=0.aiiai2ai,n-iain00000anian2an,n-iann性质7 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和aiiai2L(aiiaii)Lainaiiai2LaiiLainaiiai2LaiiLainDa2ia22
7、L(a2ia2i)La2na2ia22La2iLa2na2ia22La2iLa2nMMMMLLLLLLLLLLanian2L(aniani)Lannanian2LaniLannanian 2LaniLann性质8 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 （彳T）对应的元素上去，行列式的值不变a11a12a1 na11a12ai1 cak1ai2 Cak2ain Caknai1ai2ak1ak2a knak1ak2a n1an2anna n1an2a1na ina kna nn性质9行列式中接任一行展开，具值相等，接任一列展开也一样六、几个特殊的行列式： 主对角行列式：主对角元素
8、的乘积；n (n 1) 副对角行列式：副对角元素的乘积(1尸；上、下三角行列式):主对角元素的乘积;形如alla12a22a13a23a33ann这样的行列式,形状像个三角形，故称为推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积ana12La1n即D0a22La2nMMOM00Lannt 12, n1a11a22L anna11a22L annn n 11二乘以其推论2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于 副对角线上各元的乘积。七、行列式的计算: 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式.上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:a)ia12a13a)nail0000a22a23a2na2i a220000 a 33a3na11a22ann ,a3ia32a 330aia22 ann000annani an2 an3Hnn