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1、Vol. 40 NOOct. 2006第40卷第10期2006年10月西安交通大学学报JOURNAL OF XIAN J IAOTONG UNIVERS1TY胡钊政，谈正（西安交通大学电子与信息工程学晓.710049 .西安）:为了提高摄像机标定的精度和实用性提出一种新的标定算法.所用的标定模板由平面上 两个相交的圆周组成，且两圆的圆心和半径均未知通过对两圆的图彳象进行二次曲线拟合，再根据 拟合的二次曲线来计算圆环点图像完成标定过程.与经典的平面标定算法相比，该算法无需进行 角点检测和角点匹配，不需人工干预即可实现自动化标定，且在标定过程引入了更多的图像点佰 息.模拟实验结果表明，在实际的噪声
2、水平下该算法对焦距的相对标定误差比平面标定算法减 小约0. 1 % 此时主点的相对标定误差也略小于平面标定算法.真实图像的实验结果也表明所提 算法具有校好的精度和实用性.:摄像机标定;二次曲线拟合;圆环点:标定模板:TP391: A: 0253-987X（2006）10-1065-03Camera Calibration with Conics Fitting and Circular PointsHu Zhaozheng , Tan Zlicng(School of Electronics and Information Engineering . Xi*an Jiaotong Univer
3、sity . Xian 710049 China)Abstract: To improve the accuracy and practicality of camera calibration , a novel algorithm is proposed by using a new calibration model which consists of two planar intersection circles. The radii and the centers of the circles are both unknown. The algorithm uses conics f
4、itting to calculate the images of the circular points from the images of the circles Compared with the plane based algorithm , it can avoid the corner extraction and correspondence problems ,and automatic calibration can be carried out easily without human interference. Besides, it uses more image p
5、oints for calibration. The simulation results show that the relative error for the focal length is reduced by 0. 1 % compared to that of the plane based algorithm under the realistic noise level (0. 5 pixel) And the relative error for the principal point is a little smaller as well. The results with
6、 real image data also demonstrate that the proposed algorithm is accurate and practica 1. Keywords: camera calibration ; conics fitting ; circular points; calibration pattern 1994-2007 China Academic Jounial Electronic Publishing House. All rights reserved Vol. 40 NOOct. 2006收稿日期:2005-12-12.作者筒介：胡钊政
7、（1979）男傅士生：谈正（联系人），男敦授牌士生导师.基金项目：香 港特别行政区创新与科技基金资助呗目（UIM/ 111）;西安交通大学勺11工程”重点耄设项目.摄像机标定是从二维图像到三维重建过程中一 个非常关键的步骤.近20年来一直被学者们广泛 研究I Zhang的平面标定算法是目前报道的最 为成功和实用的算法之一 它利用平面模板（见图 la）代替传统的标定块简单灵活且有较好的标定精 度但是该算法需要测量出模板上角点的物理坐 标.并需对每幅图彳象提取角点以及对角点及其3像 点进行匹配使得算法过程中需要介入人工干预不利干实现自动化标定.Meng等人对Zhang的算 法进了改进即利用一圆周及
8、经过圆心的若干条 直线作为标定模板但模板的制作过程中仍需测量 出圆心的物理位置并且测量的圆心与实际位置的 偏差会影响该算法的精度和稳定性为了克服上述 缺点,本文提出一种新的摄像机标定算法，所采用的 标定*草板为平面上两个相交的圆（见图lb）.并且不 需要知道它们的半径和圆心本文算法无需进行角 1994-2007 China Academic Jounial Electronic Publishing House. All rights reserved Vol. 40 NOOct. 2006 1994-2007 China Academic Jounial Electronic Publish
9、ing House. All rights reserved 第10期胡钊政等:利用二次曲线拟合和园环点进行授像机标定1067(b)本文算法的模板绝对二次曲线与环点MO.AWo0/.VO=0Vo001-00I-摄像机的内参数矩阵可以表示为(2)(a) Zhang算法的模板图1标定樓板比较点匹配也无需计算模板的物理尺度,有利于实现自 动化标定提高了标定算法的实用性和灵活性.三维空间中的一点M = /X Y Z/J其齐次 坐标表示为M= X Y Z J：当h =0.且满 足MtM = 0.则称M在绝对二次曲线上，此时称点 M为圆环点.在单孔相机模型下.利用成像过程 可以计算出M的图像点m = if
10、 R ll M = KRM(1)式中沫示村差一个比例因子下相等.R、(为摄像 机相对于世界坐标系的旋转矩阵和平移分量；K为其中/为焦距(他V0)为主点坐标为纵横 比.为畸变因子.利用式门八式(2丿可以得到mT ( KR) T ( KR) 1 m = mT m = MT M = 0 (3) 式中；=K T K 1为绝对二次曲线的图像(IAC). 式表明JAC与摄像机外参数无关.它包含了摄 像机的全部内参数倍息因而利用就可以计算得 到摄像机的内参数矩阵K,完成标定过程.由式(3) 可知一个圆环点的图像m可以对产生两组线性 约束.2本文的算法基础不失一般性，设两圆周Si、所在的平面与世 界坐标系的X
11、OY平面重合.并设两圆对应的半径 和圆心分别为幺和 j. d T(/ = 1,2).1 S.交无穷远平面于1、2,则I、2在绝 对二次曲线上.且S2与无穷远平面亦交于I、2.计算S.与无穷远平面的交点可得到两交点 为 1 = / Xi j Xi 0 0 /T 2 = / Xi - j Xi 0 0 /T , 其中j = ( 1丿因为 7 = xt - Xi = 0(/ = 1,2), I、2均在绝对二次曲线上所以可以证明S2与无 穷远平面的交点也在绝对二次曲线上并由齐次坐 标的尺度性质可知这两个交点与丨、2重合设Si、S2对应的图像分别为Qi、Qz,则Qi、Qz 为两条二次曲线山.由射影几何知
12、识可知 八2的 图像点 八2即为二次曲线Q|、Q的交点，并且为 一对圆环点的图像.利用式丿的成像过程可得I =KR | =Kri + j Kr： , 2 =KR 2 = Kri j Kr： 其 中r，为旋转矩阵R的第i个列向量可以看到，矩 阵K是满秩的，从而Kr,不为0,这表明圆环点的艮 像是一复数点并且虚部不为0.3标定算法描述3. 1Qi、Q 般为椭圆曲线，关于椭圆的提取可参 考文献/4/.设Qi对应的二次曲线方程为+ 02 -V.V + 03 y2 + 04 X + 05 y + Ck = 0.从图像点计算对应 的二次曲线方程是一个典型的曲线拟合问题例如 拟合曲线Q即计算Q对应的系数，可
13、 以通过最小化如下代价函数完成F( m , 02.ab) =J a xl + cn Xiyt + +*式中.Xi y T (1 = 1,2.丿为曲线Q上的数据 点.由于G ,仇06在相差一个比例因子下仍然 能满足Qi 因此需要増加新的约束条件如 吐= 1可以利用最小二乘法求解系数.即构造矩阵暇共有l个数据点丿、XIxi yiyiXI1W =yX2 XI V2 XI 1 xlxiyiV?XI1对矩阵ww进行奇异值分解SVD).其最小特征 值的对应特征向量即为m G 諒T利用矩 阵运算进行曲线拟合亦可保证较小的计算复杂度.3. 2二次曲线Q、Q有4个公共交点(包括复数交 点丿.导致产生多解的情况，
14、而圆环点图像为一复数, 并冃其虚部不为0.从而两圆周的实数交点对应的 图像点不可能为圆环点图像.因此两条曲线的非实 数的复教解即为圆环点图像这里q g为二次曲线对应的二次型矩阵.方程 （4）可得到两个非实数的闭式复数解-根据代; 数知识可知I、2共粗，即有表达形式 = x + j 八 2 = j 八3. 3IAC从式（3丿可得 八2对IAC的约束方程、利用八2的实部和虚部产生同等的两组线性约束 方程I y = 0TTIX = Y式中：是对称矩阵式心）在 相差一个比例因子 的条件T仍然昨：可以用其最后一个元素归一化 得到一这样包含5个自由度.在实际应用中可 以在3个或者3个以上的方位移动理像机对
15、奏板进 行摄像来产生足够的约束条件计算一再对一进行 Cholesky分解，然后利用求逆和归一化运算就可 以计算内参数矩阵K.完成标定过程.4实验结果和分析模拟摄像机的内参数为/- = /. = 1 000像素, 加=500像素0 =400像素.=0在每个圆周上抽 取200个数据点,然后利用成像模型生成图像坐标. 首先对图像坐标加以0均值且均方差为0. 5像素 的高斯白噪声.以检验算法在实际的图像噪声水平 下的性能对该噪声水平独立进行100次实验然后 楚算各个内参数色均值和均方差甘算结果分别为 A = 998. 7像素= 99& 3像素爲=497. 5像素, 石= 401. 9像素= 0.35.
16、均方差为几=2 56像 素，人=2. 43像素，= 1. 62像素=1. 16像 素.=Q47像素 从计算结果可以看到标定结果 较为精确.且均方差也较小展示了算法较好的稳定 性.对本文算法与Zhang的算法在均值为0、均方 差为0. 21.6像素噪声水平下进行比较.其中 Zhang的算法中所用的角点数目为100个 对每个 噪声水平独立地进行100次实验.然后计算两种算 法所标定的摄像机各个内参数的均值.图2给出了 部分内参数如焦距=几丿和主点（帕在两种算法 下的相对标定误差曲线.从图2a可以看到.两种算 法下焦距和主点的标定误差随噪声水平呈近似线性增加.本文算法的焦距标定相对误差小干Zhang
17、的 算法例如噪声水平为0.6像素时，相对误差比 Zliang的算法减小约0. 1 %.从图2b也可以看到, 主点的相对误差水平略小于Zhang的算法.这表明 通过利用更多的图像点进行曲线拟合使得标定精 度和稳定性有一定的提高.儿主点标定相对误差比较图2本文算法与Zhang算法的标定结果比较4. 2用数码摄像机对标定模板在不同的方位随机扌E 摄6幅图像.图像分辨率为1 024 X768像素.其中 部分图像如图3所示.利用快速随机霍夫变换算法 从图像中提取椭圆每幅图片中的椭圆包含的有 效图像点数目一般在4 0005 000左右.用曲线拟 合算法对所提取的椭圆进一步计算以提高计算精 度.由于摄像机的
18、畸变因子一般都为0因此在实验 中假定畸变因子为0 以简化计算过程标定结果为 fu =960. 13 像素,fv = 95& 98 像素.陶=579. 94 像 素.巾=319. 65像素.可以看到标定的纵横比接 近1是比较合理的.由于无法得到摄像枷内参数的 真实值.所以只能做一些验证性工作来判断标定结 果的准确性与合理性首先.对Meng的标定模板 亦拍摄6幅图像，并用Meng算法对摄像机重新 标定标定结果为几=952 98像素 f、=949. 67像 素，血=591. 75像素,巾=325. 62像素.可以看到, 两种算法所标定的内参数是比较接近的,4个内参 数的相对偏差分别为a 7%、1.
19、0%、2 0%、l. 8%, 即两种算法下的标定结果具有较好的一致性.也表 明本文算法的标定结果是合理的和准确的fa丿图像1Jb丿图像2S3从不同方位拍摄的部分标定实验图像5结论本文设计了一种新的模板来进行摄像机标定, 通过二次曲线拟合来计算圆环点图像.完成标定过 程该算法的主要优点在于：应需进厅角点检测, 并且无需对角点和平面模板上的物理点进行匹配.排除了人工干预,适用于自动化标定；标定过程 中引入了更多的图像点，便得标定精度和稳定性有 一定程度的提高，并且曲线拟合过程中利用矩阵运 算亦可保证较低的计算复杂度：概需测量模板的 物理位置信息如两个圆周的半径和圆心均不需要 知道.1 Hartle
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22、:利用二次曲线拟合和园环点进行授像机标定1067 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 第10期胡钊政等:利用二次曲线拟合和园环点进行授像机标定1067（上接第1059页）建出的光谱精度较高且对测量噪声的敏感度较低, 这主要是因为本文方法将光谱重建转换为光谱模型 参数求解在一定意义上约束了计算结果的范围，因 而取得了较好的噪声抑制效果.| 1 | Mahesh M Digital mammography: an overview J . Radiology , 200
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