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1、复习回顾,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理,第27章 圆,27.1.2 圆的对称性 （2） 垂径定理,图 1,图 2,图 3,探究 在图1中，我们很容易得到AO=BO。如图2，弦AB平移，在平移过程中，AB始终垂直直径CD于E点，请问CD还会平分AB吗？,AE = BE。,求证：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,已知：,证明：,连结OA、OB，则OA=OB。,CDAB于E,(等腰三角形的三线合一),类似地,你能得到有关弧的结论吗？,AE = BE，,求证
2、：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,已知：,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理：,垂径定理,条件：,1、CD为直径2、CDAB,3、AE = BE 4、5、,结论：,(CD平分弦AB),(CD平分弧ACB),(CD平分弧AB),知二得三,AE = BE，,求证：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,已知：,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理：,二、垂径定理,条件：,结论：,1、直径（过圆心的直线）2、垂直弦,3、平分弦4、平分弦所对的劣弧5、平分弦所对的优弧,知二得三,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所
3、对的两条弧。,垂径定理：,思考：如图1，2，AE=BE吗？为什么？,CDAB,垂径定理的推论,AB是O的一条弦,且AM=BM.,你能发现图中有哪些结论?与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,由 CD是直径, AM=BM,平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,（不是直径）,垂径定理的结论,如图,在下列五个条件中:, CD是直径, AM=BM, CDAB,垂径定理：,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,平分弦 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,（不是直径）,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,垂径定理的推论：,你可以写出
4、相应的命题吗?相信自己是最棒的!,垂径定理的其余结论,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分
5、弦., CD是直径, CDAB, AM=BM,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。 ( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。( ),判断：,（5）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）,（7）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧（ ）,（8）平分弦的直线，必定过圆心。（ ）,（9）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。 （ ）,例 1、如图，已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O
6、的半径。,解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E，则OE=3cm, AE=BE.,AB=8cmAE=4cm,O的半径为5cm,辅助线：半径，弦心距，弦三者构造直角三角形,例2、如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC = BD,E,证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AE = BE, CE = DE,AE CE = BE DE 即 AC = BD,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，是一种常用的辅助线添法。,A,B,C,D,O,1、如图1，在O中, AB是 弦, OC = OD。求证：AC = BD,(1),A,B,C,D,O,2、如图2，在O中, CD是弦, OA = OB。求证：AC = BD,(2),练习,4.已知：如图，在O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，ODAB,OEAC,D、E为垂足。求证：ADOE为正方形。,3. 在半径为50mm的O中，有长50mm的弦AB。计算：,（1） 点O与AB的距离；,（2）AOB的度数。,练习,小 结,