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1、二次型习题,2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和.,证: 由题设,又因为,，存在可逆矩阵C使,1,简易辅导,于是,2,简易辅导,3.设A是一个n级矩阵，证明：A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X，有XAX=0；2)如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有XAX=0，那么A=0.,证: 1）必要性,3,简易辅导,充分性,取,取,从而,可知 A 反对称.,4,简易辅导,2）,则由1）知,从而,反对称，,5,简易辅导,4.如果把实n级对称矩阵按合同分类，即两个实n级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？,解: 实对称矩阵A与B合同充要条件是 存在可逆矩阵T与C
2、使,6,简易辅导,考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，2,1,0，,.,故共有,7,简易辅导,.,5.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1.,证: 必要性,设,1) 若上式右边的两个一次式系数成比例，即,8,简易辅导,.,二次型化为,秩为1.,2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设,9,简易辅导,.,二次型化为,10,简易辅导,.,二次型化为,秩为2，且符号差为0.,充分性,1）,秩为1，,则可经线性替换X=CY，二次型化为,11,简易辅导,.,2）,秩为
3、2，且符号差为0，,则可经线性替换X=CY，二次型化为,可表成两个一次齐次式的乘积.,总之，,12,简易辅导,.,6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后，tE+A是正定矩阵.,证:,它的k级顺序主子式,13,简易辅导,.,当t充分大时，,为严格主对角占优的行列式，且,14,简易辅导,.,8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|0,证明：必存在实n维向量,证:,假设任意实n维向量X，有,所有主子式大于或等于0，,故|A|0这与|A| 0矛盾，故假设不成立，原命题成立.,15,简易辅导,.,2.设实二次型,证明：,的秩等于矩阵,的秩.,证:,16,简易辅导,可知，,f 的矩阵为,17,简易辅导,.,3.设A是n级实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一实n维向量X都有,证:,18,简易辅导,.,可得,其中 c=an.,19,简易辅导,