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1、三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下:一.知识点总结1)O是ABC的重心OAOBOC0；1ABC故 OA OB OC 0SBOCSAOCSAOB-S若O是ABC的重心，则3uuruuuuuruuurPG/(PAPBPC)G为ABC的重心.2） O 是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA ； 若O是 ABC （非直角三角形）的垂心，则S BOC： S AOC：3SAOBtanA:tanB：tanC故tanAOAtanBOBtanCOC012
2、223) O是ABC的外a|OA|OB|OC|(或OAOBOC)若。是ABC的外心则SB:SA0c:SAOBsinBOC：sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2c故sin2AOAsin2BOBsin2COC04) O是内心ABC的充要条件是OA(匣AC)OB(西亚)OC(王反)0|AB|AC|BA|BC|CA|CB|引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB，BC，CA的单位向量为e1，e2，e3,则刚才O是ABC1，iiIILLEj内心的充要条件可以写成：0A(e1e3)OB(e1e2)OC(e2e3)0.I.一O是ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0若O是A
3、BC的内心，则SBOC：SAOC：SAOBa：b：c故aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOB,sinCOC0；uuuuuiruuuruuuuuuuuur|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；uuruiur向量(-AB-A1)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；|AB|AC|二.范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA定通过 ABC的（A）外心（B）AB AC(AB AC)0,则P点的轨迹一解析:）内心（C）重心（D）垂心AB n因为是向重ABuuuuuu uuur
4、AB的单位向量设 AB与AC方向上的单位向量分别为e和e2,又OPOAAP,则原式可化为AP（ee2），由菱形的基本性质知AP平分BAC,那么在ABC中，AP平分BAC,则知选B.AB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先二?是什么？没见过！想想，一个非零向量除AB以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是ABC所在平面内任一点，HA而HBHCHCHA点H是ABC的垂心.由HAHBH
5、BHCHB（HCHA）0HBAC0HBAC,同理HCAb,HaBC.故h是ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是ABC所在平面上一点，若pApBpBPCPCpA,则P是ABC的（D）A.外心B.内心C.重心D.垂心解析：由PAPBPB记得前PBPBPC0.即PB（PAPC）0,即PBCa0则PBCA,同理PABC,PCAB所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心
6、定理”例4.G是4ABC所在平面内一点，GAGBGC=0点G是 G是4 ABC的重心Ga GB Gc =0 AG BG CG =0,即 3PG PA,._-1 - - 1V由此可得PG -（PA PB PC）.（反之亦然（证略）3 uuu uuu uuur r例6若O为ABC内一点，OA OB OC 0 ,则O ,A.内心B.外心C.垂心D.uuuuuruurr uuuuuruurr解析：由OAOBOC0得OBOCOA ,如图以uuruuuruuuruuir1行四边形，则OBOCOD,由平行四边形性质知OE2PB PC是ABC的（）重心木OB、OC为相邻两边构作平/ Or , OA 2OE ,
7、同/j-O-DABC的重心.小；证明作图如右，图中GBGCGE/连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D/是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GBGCGE代入GAGBGC=0,得GAEG=0GAGE2GD,故G是ABC的重心亦然（证略）例5.P是ABC所在平面内任一点.G是ABCdPG-（PAPBPC）.证明PGPAAGPBBGPCCG3PG（AGB.（反之行、pJb匕E的重心GCG）（PAPBPC）精选理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选Do点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为1角形重
8、心性质等相关知识巧妙结合。（四）.将平面向量与三角形外心结合考查2一。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及UUU例7若O为ABC内一点，OAUUUOBuuurOC ,则O是ABC的(A.内心B.外心 C.垂心D.重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心，选Bo点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。例8.求证证明同理（五）将平面向量与三角形四心结合考查已知向量OPi,OP2,OP3满足条件OPi+OP2+OP3=0,IOPi|=|OP2|=|OP3|=i,PiP2P3是正三角形.（数学第一册（下），
9、复习参考题五B组第6题）i由已知OPi+OP2=-OP3,两边平方得OPiOP2=-,一一一一iOP2-OP3=OP3,OPi=,.I版|=|P2p3|=|PP向，从而PiP2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形PiP2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP11二|oP2|=|oP31.即O是ABC所在平面内一点，OPl+OP2+OP3=0且IOPl|=|OP2|=|OP3I点O是正PiP2P3的中心.Q、G、H三点共线,例9.在ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：且QG:GH=1:2。【证明】C（X2M）, D、:以A为原点，AB所在的直线为 E、
10、F分别为AB、BC、AC的中点,x轴，建立如图所示的直角坐标系。设 则有：A(0,0)、B (xi,0)、D ( ,0) E (2Xi X22界 F(X2X.由题设可设Q （U3卜2H (X2,y4),G(W) uuuinuuuiAH(X2,y4)QFuuir BC (X2 Xi,y2) uuuuuuirQ AH BC uuuu uur(X2Xi y22 , 2y3)AHy，?BC X2(X2X2(X2 Xi)Xi)y2y40uuirQQFuuuruuuu ACLULUy2QF ?AC/X 2X2(7X2(X2 Xi) y 3c2y 22)Y22y2(二 y3)02uuuaQHy3)(2x 2
11、 X123X2(X2 Xi) y 22y2LULTQG(X2 Xi3xi2y23y3)(2x26Xi y2,3X2(X2 Xi)2x 2 xi (2163x 2(X2Xi)6y2i 2x23(2Xi2y23x 2(X22y2Xi)与-Ti LUUU=-QH3UULU ULUT即QH =3QG，故Q、G、H三点共线，且QG: GH=1 :【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐 标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例i0.若O、H
12、分别是 ABC的外心和垂心.求证 OH OA OB OC .证明 若 ABC的垂心为H,外心为 O,如图.连BO并延长交外接圆于 D,连结AD , CD.AD AB , CD BC .又垂心为 H, AH BC , CH AB ,AH /CD, CH/AD,四边形AHCD为平行四边形，.AH DC DOOC,故 OH Oa AH Oa Ob oc .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、 心、垂心的位置关系：(i)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；重(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外 心到外心距离的2倍。垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重“欧拉定理
13、”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题例ii.设O、G、H分别是锐角ABC的外心、重心、垂心.求证OG1OH3、.一一、.、一一.，一、.1t1,*证明按重心定理G是ABC的重心OG；(OAOBOC)按垂心定理OHOAOBOC由此可得OG1OH.3补充练习i.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=1(1oA+loB+2OC),则点P一定为三角形ABC的(B)322A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点ii一ii.B取AB边的中点M,则OAOB2OM，由OP=-(一OA+-OB+2OC)可得32223OP3O
14、M2MC，.一MP-MC,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点3P不过重心，故选B.uuujur2.在同一个平面上有 ABC及一点O满足关系式：Oa则O为 ABC的uuuuur uuuuuu22BC =0B(D )uuuuuruuuuuin22+ CA =0C + AB夕卜心B 内心C 重心D 垂心2 .( A已知C )外心ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点 P满足:uuuPAuuuPBuurPC为ABC的3 .B 内心C 重心D 垂心已知。是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足:OP OA (AB AC),则P的轨迹一定通过 ABC的A 外心4 .已知
15、 uuu uurPA?PCA 外心B 内心 C 重心 D 垂心ABC, P为三角形所在平面上的动点，且动点 P满足:uuu uuu uuu uuurPA?PB PB?PC 0,则P点为三角形的B 内心 C 重心 D垂心5 .已知 角形的A 外心ABC, P为三角形所在平面上的一点,且点P满足：auuuPAuuu b PBuur c?PC 0 ,则P点为三内心重心6 .在三角形(B )A 外心ABC中,动点P满足:CA垂心2 2CB2AB ?CP ,则 P点轨迹一定通过4ABC的:内心重心垂心一一ABAC7.已知非零向量AB与AC满足(+)一 AB- BC=0 且|AB|AC 1=-,贝必ABC
16、为()|AC| 2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形uuuuur解析：非零向量与满足(-uuBH-45-)=0,即角A的平分线垂直于BC,AB=AC,又IAB|AC|/A=,所以ABC为等边三角形，选D.3。，两条边上的高的交点为H,OHm(0AOBOC),则实数m=Juuuuuura AB AC 1 cosA -uuuutun =-| AB| |AC| 28. ABC的外接圆的圆心为9点0是三角形ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA,则点O是ABC的(B(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点uuuvuuv10.如图1,已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点，且AMxAB,uuuvuuuv11ANyAC，则1-3。xyuuvuuvuuv证点G是ABC的重心，知GAGBGCO,Luuvuuvuuu/uuu/uuu/uuu/1uuvuuu/得AG(ABAG)(ACAG)O,有AG-(ABAC)。3又M,N,G三点共线(A不在直线MN上)，uuivuuuvuuuv于是存在，使得AGAMAN(且1),uuvuuvuuu/1uuvuuuv有AGxAByAC=-(ABAC),1LL11得1,于是得一一3。xyxy3