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1、湖北省沙市中学 2017-20182017-2018学年高二数学下学期第三次双周考试题 文 （无答案） 一、选择题：本题共 1212小题，每小题 5 5 分，共 6060分. . i已知 x, y R ，i 为虚数单位，且 (x 2)i y 1 i ，则 (1i)x y 的值为 A 4 B 4 4i C 4 D 2i ii以下四个命题中是假命题的是 A. “昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6”条腿 此推理属于演绎推理. B. “在平面中，对于三条不同的直线 a ， b ， c ，若 a / /b ，b / /c 则 c / /a ，将此结论放 ”到空间中也成立 此推理属于合情推
2、理. C. “a0”“是 函数 f x ax lnx ”存在极值 的必要不充分条件. D. 若 0 sinx x ， ，则 2 2 的最小值为 2 2 . sinx iii已知 x 、 y 取值如下表: 从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关, 且 y 0.95xa ,则 a x 0 1 4 5 6 8 y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 A1.3 0 B1.45 C1.65 D1.80 iv若正数 x, y 满足 x 3y 5xy ，则3x 4y 的最小值为 24 28 5 6 A B C D 5 5 v我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图程序框图表示其基本步骤（函
3、 数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实 数）若输出的结果为 804，则由此可估计 的近似值为 A3.126 B3.216 C3.213 D3.151 - 1 - vi某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的 体积为 A. 16 3 B. 3 C. 2 9 D. 16 9 vii点 P(4,2) 与圆 x2 y2 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 A (x 2)2 (y 1)2 1 B (x 2)2 (y 1)2 4 C (x 4)2 (y 2)2 4 D (x 2)2 (y 1)2 1 1 viii已知函数 f x ax bx ，其中 a2,
4、 4,b1, 3，从 f x中随机抽取1个， 1 2 2 则它在,1上是减函数的概率为 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 6 3 4 ix已知实数 n 6 ，若关于 x 的不等式 2xm 2 xn 8 0 对任意的 x4, 2都成立， 则 m n 的取值范围是 19 19 A2,8 B6,8 C6, D8, 2 2 x y 2 2 xF1，F2是双曲线 1的两个焦点，P 是双曲线上的点，已知|PF1|，|PF2|，|F1F2| 4 45 依次成等差数列，且公差大于 0，则F1PF2= 2 A B C D 4 3 2 3 x y 2 2 xi已知椭圆 E： 2 2 1( 0)的右焦点为
5、 F，短轴的一个端点为 M，直线 ：3x4y=0 a b l a b 4 交椭圆 E 于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=6，点 M 到直线l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率 5 的取值范围是 2 2 6 6 2 2 A (0, B C D ,1) (0, ,1) 3 3 3 3 xii已知函数 f (x) x xln x ，若 k(x 1) f (x) 对任意的 x 1恒成立，则整数 k 的最大值 为 A2 B3 C4 D5 二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 2020分. . - 2 - xiii已知指数函数 f x a （ a 0 且 a 1）的图象过点
6、P2, 4，则在0,10内任取一 x 个实数 x ，使得 f x16 的概率为 xiv设 p x : 1, 5 2 使函数 g x log tx 2x 2 有意义，若 p 为假命题，则t 的取 2 2 值范围 xv如图，在圆内画 1 条线段，将圆分成两部分；画 2 条相交线段，将圆分割成 4 部分；画 3 条线段，将圆最多分割成 7 部分；画 4 条线段，将圆最多分割成 11 部分，那么，在圆内 画 n 条线段，将圆最多分割成 部分。 xvi 若 函 数 ( ) ( 2 3 ) 有 三 个 零 点 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 f x x x ex m m 2 是 三、解答题：本题共 6
7、 6 小题，共 7070分， xvii已知函数 f x x 1 ，关于 x 的不等式 f (x) 3 | 2x 1|的解集记为 A . （I）求 A ； （II）已知 a,b A ，求证： f ab f a f b. xviii全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于 2017年 2 月某日起连续 n 天监测空气 质量指数AQI ，数据统计如下： 空气质量指数 g / m 0 50 51100 101150 151 200 201 250 3 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染 - 3 - 天数 20 40 m 10 5 （ ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求
8、出 n,m 的值，并完成頻率分布直方图： （ ）由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数； （）在空气质量指数分别为51100 和151 200 的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5 天，从中任意选取 2 天，求事件 A “”两天空气都为良 发生的概率. - 4 - xix如图，已知四边形 ABCD 和 ABEG 均为 平行四边形，点 E 在平面 ABCD 内的射影恰好为点 A ，以 BD 为直径的圆经过点 A ，C ， AG 的中点为 F ，CD 的中点为 P ，且 AD AB AE 2 （ ）求证：平面 EFP 平面 BCE ； （ ）求几何体 ADG BCE 的体积； x y 2 2
9、 xx已知椭圆 C : 1 a b 0 的短轴的一个顶点和两个焦点构成正三角形,且该三 a b 2 2 角形的面积为 3 。 （ ）求椭圆C 的方程； （ ）设F F 是椭圆C 的左右焦点,若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点 1, 2 F 和 1 F ,求这个平行四边形面积的最大值。 2 - 5 - xxi设函数 ，曲线 y f x过点 ，且在 处的切线 f (x) ax ln x b(x 1) (e,e2 e 1) x 1 2 方程为 y 0. （ ）求 a ，b 的值； （ ）若当 x 1时， f (x) m(x 1)2 恒成立，求实数 m 的取值范围. x 2cos xxii在
10、直角坐标系 xOy 中，直线l 的方程是 y 8，圆C 的参数方程是 （ y 2 2sin 为参数）以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （ ）射线OM ： （其中 0 ）与圆C 交于O 、 P 两点，与直线l 交于点 M ， 2 射线ON ： 与圆C 交于O 、Q 两点，与直线l 交于点 N ，求 2 OP OQ 的最 OM ON 大值 - 6 - iC iiD【解析】易知“昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿”此推理属于 “演绎推理， 在平面中，对于三条不同的直线 a ， b ， c ，若 a Ab， b Ac 则
11、a Ac ，将 ”此结论放到空间中也成立 此推理属于合情推理中的类比推理，故选项 A、B 为真命题； 因为 f x ax lnx 存在极值 f x a 1 0 有零点，则 a 0 ，所 以“a0”是“函 x 数 f x ax lnx 存在极值”的必要不充分条件，即选项 C 正确；若 0, 2 x ，则 0sinx 1， sin 2 2 2 ，但sin 2 x x ，故选项 D 错误 sinx sinx iiiB ivC vB【解析】x2+y21 发生的概率为 ，当输出结果为 804时，i=1001，m=804，x2+y21 4 发生的概率为 ， ，即 ，故选 B P 804 804 P 3.2
12、16 1000 1000 4 2 viD【解析】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为 3 1 4 的 扇 形 ， 高 是 4 的 圆 锥 体 。 容 易 算 得 底 面 面 积 S 4 ， 所 以 其 体 积 3 3 1 1 16 V 44 ，应选答案 D。 3 3 9 viiA viiiD 【解析】 f x共有四种等可能基本事件即(a,b) 取(2,1), (2, 3), (4,1)，(4, 3) ，计事件 A 为 f x在,1上是减函数，由条件知 f x是开口向上的函数，对称轴是 x b 1 ， a 3 P A . 4 事件 A 共有三种(2,1), (4,1)
13、，(4,3)等可能基本事件，所以 ix C 【 解 析 】 由 题 意 ， 可 设 y 2xm 2 xn 8（ x4, 2）， 即 y 2m nx 2n 8，当 2m n 0时， y m n ，当 2m n 0 时， min 8 6 8 4m 4 8m 6n 8 0 n ymin 4m 8 ，所以 3 4m 8 0 m 2 ，又 n 6 ，所以 2 7 m ， 2 - 7 - 由图易知，当且仅当 m 2,n 4 时， m n 有最小值 6 ；当且仅当 7 19 m ,n 6 m n 时， 有最大值 。 2 2 xD xiA 解：如图所示， 设 F为椭圆的左焦点，连接 AF， BF，则四边形 A
14、FBF是平行四边形，6=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a，a=3取 M 4 2 2 （0，b），点 M 到直线 l 的距离不小于 ，解得 b1 e 5 3 2 2 椭圆 E 的离心率的取值范围是 (0, 3 x(1 ln x) xiiB 解：由 k(x 1) f (x) 对任意的 x1 恒成立，得： k （x1）， x 1 x(1 ln x) x ln x 2 令 h(x) ，（x1），则 h(x) ， x 1 (x 1)2 令 g(x) x ln x 2 ，由 g(x) 0 得： x 2 ln x ， 画出函数 y=x2，y=lnx的图象，如图示： g（x）存在唯一的零点，又 g
15、（3）=1ln30，g（4）=2ln4=2（1ln2）0， 零点属于（3，4）设为 x ，h（x）在（1，x0）递减，在（x0，+）递增， 0 - 8 - x (ln x 1) x (x 2 1) 且 ，则 ln x x 2 h(x ) 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x 1 x 1 0 0 而 ，k 的最大值是 3 k h(x) h(x ) min 0 3 xiii 【解析】由题设可得 a2 4 a 2，解 2x 16 x 4 ，则 D 10,d 10 4 6， 5 6 3 则由几何概型的计算公式可得其概率为 P 10 5 xiv t 【解析】p 为假命题，则 p 为真命题不等式tx2
16、2x 2 0 有属于 1, 5 1 2 2 的 解 ,即t 有 属 于 1, 5 2 2 x x 2 2 的 解 又 1 x ,所 以 5 时 , 2 1 1 5 时 , 2 1 1 2 5 x 2 2 = x x 2 2 1 1 1 2 x 2 2 1 ,0 2 1 t 2 故 nn n n 1 2 2 xv1 2 2 9 3 f x x2 3 x e m ( 2 3 ) xvi (0, e 2 ) 解：函数 ( ) ( ) 有三个零点，即：方程 x x ex m 有 x 2 2 2 三个根， 令 g(x) (x2 3 x)e ， g( ) ( 3)( 1) ， 或 ， 3 x x x x
17、e x 1 x x 2 2 2 当 x（ ， ）时，g（x）单调递增， 当 x（ ，1）时，g（x）单调递减，当 x（1，+）时，g（x）单调递增； 3 9 3 2 ，而 时 ， g(x)极大值 g( ) e x 0 g(x) 0 2 2 9 3 结合图象可得 m (0, e 2 ) 2 xvii（I） A x R | 1 x 1（II）详见解析 - 9 - 试题分析：（I）由 f x 3 2x 1| 得， x 1 2x 1 3 ，三种情况即可求解不等式的 解集； （II）由题意 1 ab 1，取得 f ab, f a, f b，即可运算 f abf a f b， 进而证得结论。 试题解析：
18、（I）由 f (x) 3 | 2x 1|得， x 1 2x 1 3，即 1 x 2 或 1 x 2x 1 3 1 x 1 2 或 1 x 2x 1 3 x 1 ， 解 得 ， x 1 2x 1 3 1 1 x 或 2 1 x 1. 2 所以，集合 A x R | 1 x 1. （II）a,bA ，1 ab 1. ，f a a 1 1 a ，f b b 1 1 b . f ab ab 1 1 ab . f ab f a f b 1 ab 1 a 1 b 1 a 1 b 0 f ab f a f b. 20 xviii解：(1)0.004 50 , n 100,20 40 m 10 5 100,
19、m 25 , n 40 25 10 5 0.008; 0.005; 0.002; 0.001 10050 10050 10050 10050 . (2)平均数95，中位数87.5. (3)在空气质量指数为51100 和151 200 的监测天数中分别抽取 4 天和1天，在所抽収的 5天中，将空气质量指数为 51100 的 4 天分别记为 a,b,c,d ；将空气质量指数为 151 200 的 1天 记 为 e ， 从 中 任 取 2 天 的 基 本 事 件 分 别 为 ： - 10 - a,b,a,c,a,d ,a,e,b,c,b,d ,b,e,c,d ,c,e,d,e共10种，其中 事件 A
20、 “两天空气都为良”包含的基本事件为a,b,a,c,a,d ,b,c,b,d ,c,d 6 3 P A . 10 5 共6 种，所以事件 A “ ”两天都为良 发生的概率是 xix解析： （ ）点 E 在平面 ABCD 内的射影恰 好为点 A ， AE 平面 ABCD ， 又 AE 平面 ABEG ，平面 ABCD 平面 ABEG 又以 BD 为直径的圆经过点 A ，C ， AD AB ， ABCD 为正方形 又平面 ABCD 平面 ABEG AB ， BC 平面 ABEG EF 平面 ABEG ， EF BC ，又 AB AE GE ， ， ABE AEB 4 又 AG 的中点为 F ，AE
21、F ，AEF AEB ， EF BE ， 4 2 又 BE 平面 BCE ， BC 平面 BCE ， BC BE B ， EF 平面 BCE 又 EF 平面 EFP ，平面 EFP 平面 BCE （ ）连接 DE ，由（ ）知， AE 平面 ABCD ， AE AD 又 AB AD ， AE AD A， AB 平面 ADE ， 又 AB / /GE ，GE 平面 ADE 1 1 1 1 1 V V V GE S AE S 2 2 2 2 2 2 4 ADG BCE G ADE E ABCD ADE ABCD 3 3 3 2 3 几何体 ADG BCE 的体积为 4. （）球心就是 EC 的中点
22、， S 12 xx解析：（1）依题意 2 2 2 a b c a bc 3 b 2 3 ，即椭圆C 的方程为 x y 。 2 2 1 4 3 a :bc 2: 3 :1 （ 2） 设 过 椭 圆 右 焦 点F 的 直 线 l : x ty 1与 椭 圆 交 于 A, B 两 点 ,则 2 x ty 1 3x 4y 12 2 2 2 2 ，即 3 1 4 2 3t 4 y 6ty 9 0 ，由韦达定理可 ty y 2 2 - 11 - 得 ： 6t 9 144t2 144 12 t2 1 y y , y y , y y y y 4y y 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2
23、 3t 4 3t 4 3t 4 3t 4 1 6 t 1 2 ， S S S OF y y A A ，椭圆 C 的内接平行四边形 OAB OF A OF B 1 2 2 3t 4 2 2 2 面积为S 4S OAB 24 t 1 2 24m 24 ，令 m 1 t2 1，则 ， S f (m) 3t 4 3m 1 3m 2 2 1 m 注意到 S f m在1,上单调递减，所以 Smax f 1 6，当且仅当 m 1， 即t 0时等号成立，故这个平行四边形的面积最大值为6 。 xxi解析：（1） f (x) 2axln x ax b ， f (0) a b 0， f (e) ae2 b(e 1)
24、 e2 e 1， a 1，b 1 （2）设 h(x) f (x) m(x 1)2 ， h(x) 2xln x (2m 1)x (2m 1) ， h(x) 2 ln x 3 2m ， x 1 当3 2m 0，即 3 m 时， h(x) 0 ， h(x)在1,) 单调递增， h(x) h(1) 0 成 2 立. h(x) 在1,) 上单调递增， h(x) h(1) 0 ， f (x) m(x 1)2 成立. 当3 2m 0，即 3 m 时，令 hx 0，得 ， x e 2 1 2m3 o 2 当 x x 时， hx h0，hx在 上单调递减，此时 ， 0, 1, x ) h(x) h(1) 0 0 0 f (x) m(x 1) 2 不成立，舍去。 综上， 3 m . 2 xxii（1） 4sin ；（2） . 解析：（ ）直线 的极坐标方程分别是 . 圆C 的普通方程分别是 x2 y 2 4，所以圆C 的极坐标方程分别是 . 2 （ ）依题意得，点 的极坐标分别为 和 - 12 - 所以 ， ，从而 OP OM 4sin sin2 . 8 2 sin 同理， OQ ON sin 2 sin sin 2 2 2 sin 2 2 .所以 2 ， 2 2 2 16 OP OQ 故当 时， 1 的值最大，该最大值是 . 4 OM ON 16 - 13 -