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1、利用导数的几何意义求切线方程XXXX教研组曲线y f(X)在点X0的导数f (X0)就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究 一些与曲线的切线有关的问题。对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系:1 .曲线y f(x)在点X0的导数f (X0)就是曲线在该点的切线的斜率，有k f (X0)；2.3.切点在曲线y f(x)上，有y0 f(X0)切点在切线上，有切线方程y y0 k(X X0)最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。例一:曲线y 2x21在X=1的切线方程为;解析:直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率;由题意可知，切点的坐标为（1, 5）
2、又 y 4x, A切线的斜率为4,二 切线的方程为y 5 = 4（x 1）,即y=4x + 1。利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等 量关系。另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。例二:曲线y x2的一条切线的斜率是4,求切线方程。解析:先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐标，进而求 切线方程；设切点的坐标为（x0,x0)y 2x, A切线的斜率为2x0,二2x0二一4,02A切点的坐标为（一2, 4）切线的方程为y二一4x 4解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。例三:曲线
3、yx2的切线过点（0, 4）求切线的方程。解析:同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐标，进而 求切线方程；设切点坐标为P xO, y2x则在点P处的切线方程为:2x0,4，且x020)2x3 / 70x2时，切点为（2,4）,此时切线方程为y二4x+ 4,2时，切点为P2, 4,此时切线方程为y=4x+ 4,过点（0, 4）的切线方程为:y= 4x+ 4, y=4x+ 4。由于切点坐标、切线斜率均可用切点横坐标表示，故可轻松利用待定系数 法，但要充分利用三个等量关系。还有一种题型求过曲线上一点的切线的方程。例四:求曲线y 3x x3过点P2, 2的切线方程解析:5 / 7同
4、学们在解题时常忽视对切点的情况进行具体分析，弓I起错解。如:显然点P 在曲线 y 3x x3 上，f （X）3 3x2 f9过点P (2, -2)的切线方程为:2 ，即 9x y 16 0由于点f(x)上，因此很容易得到一条切线方程，即以点 P为切点的经过点P的切线”而不是 点P处的切线”因而不排除有其2, 2恰好在曲线y切线。本题求的是他切线经过P。因此本题切线应有两条，一条以点 P为切点，另一条不以点P为 切点但经过点P,故解法应同例三；设切点坐标为P X0, y，则在点P处的切线方程为:2y3x2,7 / 7当x3x0232x033x整理，得：x03x0 即:x0 21 或 2x01时，切点为1,此时切线方程为y 2,2时，切点为P2,此时切线方程为9x y 16 0过点P2, 2的切线方程为:y 2 或 9x y 16 0当点P在曲线y f(x)上，要求过点P的切线时，一定要注意可能存在两种 情况：一是点P本身即为切点；二是切线是以曲线 y f(x)上的另一点Q为切点， 但该切线恰好过点P。解题时勿混淆了 在P点处的切线”与过P点的切线”两概 念，否则会因概念理解不够深刻而大意失荆州”。利用导数的几何意义求切线方程关键是要把握三个等量关系，充分利用数 学思想方法，同时也要注意题目的条件。9 / 7