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1、2012南通高三数学第一次调研考试试卷(二模)2012届高三模拟考试试卷(五) 南通市2012届高三第一次调研测试 数 学 (满分160分，考试时间120分钟) 2012(3 11,22参考公式:样本数据x，x，x的方差s,(x,x)，其中x,x. 12niinn一、 填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分( 221. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线y,x,1的离率心为_( 2. 若复数z满足(1，2i)z,3，4i(i是虚数单位)，则z,_. 3. 在右图的算法中，最后输出的a、b的值依次是_( a?1b?2c?3c?a a?bb?cPrint a，b(第3题) a,10.2的平均
2、数为10，则该组数据的方差为_( 4. 一组数据9.8,9.9,10，25. 设全集U,Z，集合A,x|x,x,2?0，x?Z，则A,_(用列举法U表示)( 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a,(1,2)，a,b,(3,1)，则a?b,_. 2、2、3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，7. 将甲、乙两个球随机放入编号为1则在1、2号盒子中各有1个球的概率为_( 8. 设P是函数y,x(x，1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_( 21,2,x9. 如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数y,logx，y,x，y,222的图象上，且矩形
3、的边分别平行于两坐标轴(若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为_( (第9题) 10. 观察下列等式: 31,1， 331，2,9， 3331，2，3,36， 33331，2，3，4,100， 33333*猜想:1，2，3，4，n,_(n?N)( 11. 在棱长为4的正方体ABCDABCD中，E、F分别为棱AA、DC上的动点，点1111111G为正方形BBCC的中心(则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图11形中，面积的最大值为_( ，12. 若ax?sinx?ax对任意的x?0，都成立，则a,a的最小值为_( 1221，222xy13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分
4、别为椭圆，,1(a,b,0)的左、右焦1222ab7点，B、C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF与椭圆的另一交点为D.若cos?FBF,，21225则直线CD的斜率为_( (第13题) 14. 各项均为正偶数的数列a，a，a，a中，前三项依次成公差为d(d,0)的等差数列，1234后三项依次成公比为q的等比数列(若a,a,88，则q的所有可能的值构成的集合为41_( 二、 解答题:本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤( 15. (本小题满分14分) 在斜三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c. a(1) 若2sinAcosC,sinB，求的值;
5、ctanA(2) 若sin(2A，B),3sinB，求的值( tanC16.(本小题满分14分) 如图，在六面体ABCDABCD中，AA?CC，AB,AD，AB,AD.求证: 11111111(1) AA?BD; 1(2) BB?DD. 1117. (本小题满分14分) 将52名志愿者分成A、B两组参加义务植树活动，A组种植150捆白杨树苗，B组种植200捆沙棘树苗(假定A、B两组同时开始种植( 21(1) 根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时小时，种植一捆沙棘树苗用时小52时(应如何分配A、B两组的人数，使植树活动持续时间最短, 2(2) 在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志
6、愿者种植一捆白杨树苗仍用时小时，52而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时小时，于是从A组抽调6名志愿者加入B组继续3种植，求植树活动所持续的时间( 18. (本小题满分16分) 2222如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x，1)，y,1，圆C:(x,3)，(y,4)12,1. 6(1) 若过点C(,1,0)的直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程; 125(2) 设动圆C同时平分圆C的周长、圆C的周长( 12? 证明:动圆圆心C在一条定直线上运动; ? 动圆C是否经过定点,若经过，求出定点的坐标;若不经过，请说明理由( 19. (本小题满分16分) 已知函数f(x),x，sinx.
7、 (1) 设P、Q是函数f(x)图象上相异的两点，证明:直线PQ的斜率大于0; ，(2) 求实数a的取值范围，使不等式f(x)?axcosx在0，上恒成立( ，220. (本小题满分16分) *2设数列a的各项均为正数(若对任意的n?N，存在k?N，使得a,a?a成立，nnknn2k则称数列a为“J型”数列( nk(1) 若数列a是“J型”数列，且a,8，a,1，求a; n2282n(2) 若数列a既是“J型”数列，又是“J型”数列，证明:数列a是等比数列( n34n2012届高三模拟考试试卷(五) 数学附加题 (满分40分，考试时间30分钟) 21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中选做
8、2题，每小题10分，共20分(若多做，则按作答的前两题计分(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤( A. (选修41:几何证明选讲) ,3，CD切半圆O于点D，DE?AB，如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC垂足为E.若AE?EB,3?1，求DE的长( B. (选修42:矩阵与变换) 0 1，在平面直角坐标系xOy中，直线y,kx在矩阵对应的变换下得到的直线过点，1 0P(4,1)，求实数k的值( C. (选修44:坐标系与参数方程) ,在极坐标系中，已知圆,asin(a,0)与直线cos，,1相切，求实数a的值( ,4D. (选修45:不等式选讲) 已知正数a，b，c满足
9、abc,1，求证:(a，2)(b，2)(c，2)?27. 【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分(解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤( 12an*22. 已知数列a满足:a,，a,)( (n?N，n1n12a，1n(1) 求a，a的值; 23*(2) 证明:不等式0,a,a对于任意n?N都成立( ，nn123.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1,0)(过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N. (1) 求抛物线的标准方程; (2) 求证:MN?
10、x轴; (3) 若直线MN与x轴的交点恰为F(1,0)，求证:直线AB过定点( 2012届高三模拟考试试卷(五)(南通) 数学参考答案及评分标准 211，,1. 2 2. 1，2i 3. 2,1 4. 0.02 5. 0,1 6. 0 7. 8. ， 9. ， ，,93224n，n，1，25812,2，,10. 11. 12 12. 1, 13. 14. ， ，,22537sinAa15. 解:(1) 由正弦定理，得,， sinBb从而2sinAcosC,sinB可化为2acosC,b，(3分) 222a，b,c由余弦定理，得2a,b， 2aba整理得a,c，即,1.(7分) c(2) 在斜三
11、角形ABC中，A，B，C,， 所以sin(2A，B),3sinB可化为sin，(A,C),3sin,(A，C)， 即,sin(A,C),3sin(A，C)，(10分) 故,sinAcosC，cosAsinC,3(sinAcosC，cosAsinC)， 整理，得4sinAcosC,2cosAsinC，(12分) 因为?ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC?0， tanA1所以,.(14分) tanC216. 证明:(1) 取线段BD的中点M，连结AM、AM， 1因为AD,AB，AD,AB， 11所以BD?AM，BD?AM，(3分) 1又AM?AM,M，AM、AM平面AAM，所以BD?平
12、面AAM， 1111而AA平面AAM， 11所以AA?BD.(7分) 1(2) 因为AA?CC， 11AA平面DDCC，CC 平面DDCC， 111111所以AA?平面DDCC.(9分) 111又AA平面AADD，平面AADD?平面DDCC,DD，(11分) 11111111所以AA?DD，同理得AA?BB， 1111所以BB?DD.(14分) 11*17. 解:(1)设A组人数为x，且0,x,52，x?N， 2150560则A组活动所需时间f(x),，(2分) xx12001002B组活动所需时间g(x),，(4分) 52,52,xx6010039令f(x),g(x)，即,，解得x,， x5
13、2,x2所以两组同时开始的植树活动所需时间 60*，x?19，x?N，,xF(x),(6分) ,100*，x?20，x?N， ,52,x6025而F(19),，F(20),，故F(19),F(20)， 198所以当A、B两组人数分别为20、32时，使植树活动持续时间最短(8分) 2150,20156(2) A组所需时间为1，,3(小时)，(10分) 20,672200,32132B组所需时间为1，,3(小时)，(12分) 32，636所以植树活动所持续的时间为3小时(14分) 718. 解:(1) 设直线l的方程为y,k(x，1)，即kx,y，k,0， 6因为直线l被圆C截得的弦长为，而圆C的
14、半径为1，所以圆心C(3,4)到l:kx,y，2225|4k,4|4k,0的距离为,.(3分) 25k，1432化简，得12k,25k，12,0，解得k,或k,， 34所以直线l的方程为4x,3y，4,0或3x,4y，3,0.(6分) (2) ? 证明:设圆心C(x，y)，由题意，得CC,CC， 122222即，x，1，y,，x,3，y,4， 化简得x，y,3,0， 即动圆圆心C在定直线x，y,3,0上运动(10分) ? 圆C过定点，设C(m,3,m)， 222则动圆C的半径为1，CC,1，m，1，3,m， 12222于是动圆C的方程为(x,m)，(y,3，m),1，(m，1)，(3,m)，
15、22整理，得x，y,6y,2,2m(x,y，1),0，(14分) 33x,1，2，x,1,2，,x,y，1,0，22,由或 得22, x，y,6y,2,0，33, yy,2，2;,2,2.,223333,所以定点的坐标为1,2，2,2，1，2，2，2.(16分) ,222219. (1) 证明:由题意，得f(x),1，cosx?0， 所以函数f(x),x，sinx在R上单调递增， ,yy12设P(x，y)，Q(x，y)，则有,0，即k,0.(6分) 1122PQx,x12(2) 解:当a?0时，f(x),x，sinx?0?axcosx恒成立(8分) 当a,0时，令g(x),f(x),axcos
16、x,x，sinx,axcosx， g(x),1，cosx,a(cosx,xsinx) ,1，(1,a)cosx，axsinx. ,a?0，即0,a?1时，g(x),1，(1,a)cosx，axsinx,0， ? 当1，所以g(x)在0，上为单调增函数， ，2所以g(x)?g(0),0，sin0,a0cos0,0，符合题意(10分) ? 当1,a,0，即a,1时，令h(x),g(x),1，(1,a)cosx，axsinx， 于是h(x),(2a,1)sinx，axcosx， 因为a,1，所以2a,1,0，从而h(x)?0， ，所以h(x)在0，上为单调增函数， ，2,所以h(0)?h(x)?h，
17、即2,a?h(x)?a，1， ,22亦即2,a?g(x)?a，1.(12分) 2(?) 当2,a?0，即1,a?2时，g(x)?0， ，所以g(x)在0，上为单调增函数(于是g(x)?g(0),0，符合题意(14分) ，2,(?) 当2,a,0，即a,2时，存在x?0，使得 0,2当x?(0，x)时，有g(x),0，此时g(x)在(0，x)上为单调减函数， 00从而g(x),g(0),0，不能使g(x),0恒成立， 综上所述，实数a的取值范围为a?2.(16分) a118,20. (1) 解:由题意，得a，a，a，a，成等比数列，且公比q,， 2468,a3221n,1n,4,所以a,aq,.
18、(4分) 2n2,2(2) 证明:由a是“J 型”数列，得 n4a，a，a，a，a，a，成等比数列，设公比为t，(6分) 159131721由a是“J型”数列，得 n3a，a，a，a，a，成等比数列，设公比为; 14710131，a，a，a，成等比数列，设公比为; a，a58111422a，a，a，a，a，成等比数列，设公比为; 36912153aaa134317432143则,t，,t，,t， 123aaa1594所以,，不妨记,，且t,，(12分) 12312333k,1(3k,2),1于是a,a,a()， ,3k21132k,2k,2(3k,1),1a,a,at,ak,a()， ,3k1
19、5111331k,32k,33k,1a,a,at,ak,a()， 3k911133n,1所以a,a()，故a为等比数列(16分) n1n2012届高三模拟考试试卷(五)(南通) 数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 选修41:几何证明选讲 解:连结AD、DO、DB. 由AE?EB,3?1，得DO?OE,2?1. AB，所以?DOE,60?. 又DE?故?ODB为正三角形(5分) 于是?DAC,30?,?BDC. 而?ABD,60?，故?C,30?,?BDC. 所以DB,BC,3. 33在?OBD中，DE,DB,.(10分) 22B. 选修42:矩阵与变换 ,xxx,y，x0 1xy,，,
20、解:设变换T:?，则,，即(5分) , ，y，y，y，1 0yxy,x.,代入直线y,kx，得x,ky. 将点P(4,1)代入上式，得k,4.(10分) C. 选修44:坐标系与参数方程 2aa2222,解:将圆,asin化成普通方程为x，y,ay,，整理，得x，y,. ,24,将直线cos，,1化成普通方程为x,y,2,0.(6分) ,4a,2,2a由题意，得,.解得a,4，22.(10分) 22D. 选修45:不等式选讲 证明:(a，2)(b，2)(c，2),(a，1，1)(b，1，1)(c，1，1)(4分) 333?3?a?3?b?3?c 3,27?abc ,27(当且仅当a,b,c,1
21、时等号成立)(10分) 2422. (1) 解:由题意，得a,，a,.(2分) 2335(2) 证明:? 当n,1时，由(1)，知0,a,a，不等式成立(4分) 12*? 设当n,k(k?N)时，0,a,a成立，(6分) ，kk12.点与圆的位置关系及其数量特征：则当n,k，1时，由归纳假设，知a,0. ，k1，a，1，,2a，a，1，,a，2a2a2，a，2ak1k1kkk1k1kk而a,a,0， ，k2k1a，1a，1，a，1，a，1，a，1，a，1，k1kk1kk1k所以0,a,a， ，k1k2经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.即当n,k，1时，不等式成立( 145.286.3
22、加与减（三）2 P81-83*由?，得不等式0,a,a对于任意n?N成立(10分) ，nn1223. 解:(1) 设抛物线的标准方程为y,2px(p,0)， p由题意，得,1，即p,2. 274.94.15有趣的图形3 P36-412所以抛物线的标准方程为y,4x.(3分) (2) 设A(x，y)，B(x，y)，且y,0，y,0. 112212(1)二次函数yax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.12由y,4x(y,0)，得y,2x，所以y,. x12所以切线AC的方程为y,y,(x,x)，即y,y,(x,x)( 1111y1x1整理，得y
23、y,2(x，x)， ? 1194.234.29加与减（二）4 P49-56且C点坐标为(,x0)( 1,同理得切线BD的方程为yy,2(x，x)， ? 22且D点坐标为(,x0)( 2,xy,xy1221由?消去y，得x,.(5分) My,y12=0 抛物线与x轴有1个交点；y1又直线AD的方程为y,(x，x)， ? 2x，x122、探索并掌握20以内退位减法、100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。y2直线BC的方程为y,(x，x)( ? 1x，x12yxy,x2112. 由?消去y，得x,Ny,y12点在圆外 dr.所以x,x，即MN?x轴(7分) MN(3) 由题意，设M(1，y)，代入(1)中的?，得yy,2(1，x)，yy,2(1，x)， 001102213.13.4入学教育1 加与减（一）1 P2-3所以A(x，y)，B(x，y)都满足方程yy,2(1，x)( 11220所以直线AB的方程为yy,2(1，x)( 0故直线AB过定点(,1,0)(10分)