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1、2009 4爲申就&般5诊在立体几何e如何建立恰当的坐标系陈周正（湖北省黄梅县笫圧中学.435500）图1在髙中立体几何中，随着空间向量的弓I 入，大大降低了空间思维的难度，摆脱了烦琐 的辅助线.这U经被越来越多的帅宅认町和 接受，并作为解决2体儿何问题的常规乎段. 而用空间向壯解决立体几何何题的第一步就 是要建立空间直角坐标系.如朵不会建系或 吿建系不合理，那么后面的工作就不植或者 很难进行下去，所以建系就成为件先要解决 的-个步骤本文试图对怎样在立体儿何中 建系作一些归纳和总结，供广大老帅和同学 们参考.一. 理论依据建立空间直角坐标系的理论依据是空间 向城基本定理：如果3个向iia.bc
2、不共面那么对空间 任一向验P,存在一个惟一的右序实数组, y.z） 使卩=yb + =c如果把3个基向量。上2取为互和垂克 的3个单位向址，则有序实数组（“八z）叫做 向址P在空间直角坐标系中的坐标.二、常见规则几何体的建系方法（I）正方体长方体正四棱柱.如图I这 样建系的好处是让所有的点都位于坐标系的 怀抱”之中，这样儿何休上右关点的坐标都 非负.（2）正三棱柱.如图2这样建系可以利用 包棱柱中的线面垂直和底而三角形的-条 边.（3）iE三棱锥如图3这样建系可以利用 1E三棱锥的性质:顶点在底面上的射影足底 面的中心，连结中心和底面三角形的一个顶 点,再作该顶点的对边平行线.（4）正四梭锥.
3、如图4这样建系也是利用 正四棱礁的性质.当然止四棱锥的建系也町 以把中心0与底面正方形的任虑2个相邻顶 点连迟來作为龙轴与y轴.麻烦.通过以上例题的剖析，我们可以清楚地 认识到，运用垄本不等式应 W 屮求函数 放值的条件是：第一，“都是正数，即所求的代数式中 的各项（各因式）必须都是iE数.第二,“ b与a + 6中有一个是定值.当a6 =P（定值）时可以求“ + 6的最值;当a + b =S（定值）时，可以求皿的最值. 8第三，等号必须能够取到，即存在止数a, b使基本不笥式网辺和等,也就是存在正数， b使得yab =答上.以上三个条件町简记为“一正、二定、三 相竽”，在运用皋本不等式求最值
4、时.这三个 条件缺一不可；另外，两次（或两次以上）运用 堪本不等式求绘值时，还耍注恵等号同时成 立条件的-致性.总之解脛时，一定耍缜密 恩考谨慎使用.切不可粗心大恵.一一一一為中睜敬坊蓉 9 9 三. 非规则几何体的建系如果题中没有现成的两阴垂直的3条线， 那么我们应该先找到一个线面垂直关系，再 在这个面中找经过垂足的两条互相垂直的立 线虽然说只要两两垂血就可以随便建系，但 是合理的建系方法能使坐标很容易找到而貝 坐标的形式相对简单，从而大大减少计算肚. 这就耍求我们在建系的时候尽械多便用题H 中的线条而不是无中生有地去作”轴.例1 如图5所示，已知四棱锥P - A BCD 底面AHCD为菱形
5、.PI3丄ADM 面FAD 为边氏为2的正三角形，目面PAD与底面 ABCD所成二就他为120。(1) 求点P到面ARCD的距离；(2) 求面AF3与ifij CPU所成的二面角人小图5分析 由題意知，过P冷底面的垂线P0, 则p/i在底面上的射影为0，由三垂线定理知 0B垂直于初侧E为初的中点连结PE则 厶卩EB即为二面角PADB的平面角.显然找到了线面垂直关系，就以P0为z 轴，0为坐标原点为y轴，过o作D4的平 行线，就把题目中的垂直关系很自然地利用 起来了.这样的空间苴角坐标系就显得口然， 简明，解答略.例2 如图6 Li知卩q梭锥P - A BCD的底 面A BCD为菱形刃丄平面，乙
6、力 C = 60J&F为BC.PC的中点(1) 求证ME丄PD；(2) 若H为PD上动点,EH与平面卩AD所 成角的最大值的正切値为享，求二面角E - AF-C的余弦值.分析 题目中己经有线而垂直关系，就 用作Z轴，接下来只耍过/!找到两条互相垂 直的直线即町，通过对底面菱形的分析不难 得到取C0的中点G联结则/1G丄CQ那 么AB * j AC就很自然的分别成为了釉与y 轴整个建系过程流畅自然均在计划之中.例3 三棱柱力力。-令角卩中，平血 0BB0 丄 平面0AB厶A0B= 00.=2JM =事厶0BB、=60。求异面直线“ 与10,所成的角.分析 由于题中已有底面上的2条互相 乖直的煮线(图7),所以可以考虑以这两条线 作为X轴和r轴，这就需要过这2条直线的交 点o作底面的垂线以便作为Z轴注意这时候 必须由题目中的面而垂直分析出Z轴在平面 ORB、O、内.不然不好寻找坐标，这样建系以 后M点和B点的坐标显而易见，而0的坐标 在知道了 z轴的位置后也不难得到是(0， 再)解答略.综上，在用空间向址解决立体几何问题 的过程中，只耍我们合理运用题日中的垂立 条件尽粗便用题目中的已知直线来构造空 间直角坐标系就会使难思考，难作图的立体 几何问题就变得轻而易举！ 9