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1、新编天体运动计算题1 .宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平向抛出一个小球，经过时间t,小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速增大到 2倍，则抛出点与落地点之间的距离为 J3L .已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R,万有引力常数为 G,求该星球的质量 M.解：设抛出点的高度为 h,第一次抛出时水平射程为 x;当初速度变为原来 2倍时，水平射 程为2x,如图所示由几关系可知：L2=h2+x2Word资料(4 L)2= h2 + (2x)2 联立，得：h= 3 L设该星球表面的重力加速度为g1则竖直向h=2又因为一-2=mg(或 GM= gR )由联立，得
2、2 .在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h所需的时间为t ,到某高山顶测得物体自由落体下落相同高度所需时间增加了t,已知地球半径为 R,求山的高度。h3产解析:有上(1)(3)由以上各式可以得出(2)=,R + M)2(4)3 .人类对宇宙的探索是无止境的。随着科学技术的发展，人类可以运送宇航员到遥远的星球去探索宇宙奥秘。假设宇航员到达了一个遥远的星球，此星球上没有任气体。此前，宇航员乘坐的飞船绕该星球表面运行的期为T，着陆后宇航员在该星球表面附近从h高处以初速度vo水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L,已知万有引力常量为 G。（1）求该星球的密度；（2）若在该星球表面发射一颗卫星，那
3、么发射速度至少为多大？【解析】（1）在星球表面GMmR2mRT2解得另得到:GMm4 R3R2mgGT2R gT2R1设星球表面的重力加速度为g，小球的质量为 m，小球做平抛运动,故有解得g2hvo2L21,2 .1g gt W L Vot 2该星球表面处的最小发射速度即为该星球的第一宇宙速度，设为为v,设卫星的质量为 mi,则在星球表面m1MR22 V mi 一Rm1MG -R2-mig则 v gR代入（1）问中的R解得vhTVo2L254 .一组宇航员乘坐太空穿梭机，去修理位于离地球表面h 6.0 10 m的圆形轨道上的哈勃太空望远镜 H o机组人员使穿梭机 s进入与H相同的轨道并关闭助推
4、火箭，而望远镜则 在穿梭机前数千米处，如图所示。设G为引力常量， M为地球质量（已知地球半径为R 6.4 106m,地球表面重力加速度取 9.8m/s2）。（1）在穿梭机，一质量为 m 70kg的太空人站在台秤上视重是多少?(2)计算轨道上的重力加速度及穿梭机在轨道上的速率。(3)穿梭机需首先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度以超前望远镜。试判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，说明理由。【解析】(1)穿梭机物体由地球万有引力提供向心力，处于完全失重状态，故该太空人视重为 0.(2)在距地球表面 h高处：GMm 2 mg (R h)Mm在地球表面G2-R2解得ggR2(R h)
5、2mg8.2m/s22, v由 mg mR h得v . g(R h) 8.2 7 106m/s 7.6 103m/s(3)要减小其原来速率。2, v - Mmv减小，则 m G2,穿棱机做靠近地球的运动，进入较低轨道(R h) (R h)3.答案：(1)0(2) 7.6 10 m/ s5.2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”从卫星发射中心发射升空，11月26日,中国第一幅月图完美亮相，中国首次月球探测工程取得圆满成功.我国将在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球.假设探月宇航员站在月球表面一斜坡上的 M点，并沿水平向以初速度 v0抛出
6、一个质量为m的小球，测得小 球经时间t落到斜坡上另一点 N,斜面的倾角为，已知月球半径为 R,月球的质量分布均匀，万有引力常量为 G,求：(1)月球表面的重力加速度g / ;(2)小球落在斜面上时的动能;(3)人造卫星绕月球做匀速圆运动的最大速度.(1) v0tL cos12-gt L sin2vo tanvyg/t 2v0 tanEk1/22 m(v02、 vy )12.2 、-mv0 (1 4 tan )(3) mg/2 v m Rg/R.2v0tan RtTt TR/,万有引力提供向心力有R,期是T,设地球和小行星都是Mm/ grm/R/T/2同理对于地球绕太阳运动也有MmR2由上面两式
7、有R/3T/2R3T7R/)2/3所以当地球和小行星最近时R/)2/3 R R7.火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同平面同向的匀速圆运动,已知火星的轨道半6.科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是 圆轨道，求小行星与地球的最近距离。解：设小行星绕太阳期为 T/, TqT,地球和小行星没隔时间 t相遇一次，则有t t /-1 T/T T/设小行星绕太阳轨道半径为1111径r火1.5 10 m,地球的轨道半径r地1.0 10 m ,从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（
8、保 留两位有效数字）r,根据万有引力定律,解：设行星质量m,太阳质量为 M,行星与太阳的距离为行星受太阳的万有引力 F Gm* （2分）r行星绕太阳做近似匀速圆运动，根据牛顿第二定律有ma2m r (2分）故T2二3 (1 分)GM, 八mM（1分） 以上式子联立 G r地球的期T地1年，（1分）（2）2 （三）3火星的期T火/（及）3 T地（2分）T地r地Y r地,1.5 10、3 . 八1（11）1 年=1.8 年 （1 分）,1.0 10设经时间t两星又一次距离最近，根据t （2分），一、22八则两星转过的角度之差地 火（）t 2（2分）T地 T火T火 T 加1.8 1 - 一 年2.3
9、年（2分，答2.2年 同样给分）T火T地1.8 18.2003年10月15日9时整，我国“神舟”五号载人飞船发射成功，飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨道上Mmr,2 2 mr(y)的匀速圆运动，已知地球半径为 R,地球表面重力加速度为 go设“神舟”五号载人飞船绕地 球运行的期为T、地球表面的重力加速度为 g、地球半径为R,用T、g、R能求出哪些与“神 舟”五号载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式（不必代入数据计算）。解：对飞船，万有引力作为圆运动的向心力MmG mg在地球表面Rr可得“神舟”五号轨道半径C
10、2 T 23 R gT4 2（或轨道长1222 R gT此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频率2“神舟”五号载人飞船的运行角速度三 -23 2 R gv 3“神舟”五号载人飞船的运行线速度T T “神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度）h“神舟”五号载人飞船的离地面高度3 R2gT2 ,4 2 R9.2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射。标志着我国的航天事业发展到了很高的水平。飞船在绕地球飞行的第 5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道。已知地球半径为R,地面处的重力加速度为g.求：（1）飞船在上述圆轨道上运行的速度v； （2）飞
11、船在上述圆轨道上运行的期T.由万有引力定律和牛顿第二定律2mr在地面W近有G M? mgR由已知条件求出RhgR22 r由T （3分）求出T10.1997 年 8 月 26(R h)3.gR2日在日本举行的国际学术大会上，德国布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，Max Plank学会的一个研究组宣“黑洞”是某些天体的最后演变结果。（1）根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.0X1012m的另一个星体（设其质量为m2）以2Gmi,v ,i,其中引力常R2X106m/s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m1。（结果要求两位有效数字）（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的
12、逃逸速度公式为量G=6.67 X 10 11N m2 kg 2, M为天体质量，R为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”。请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。（结果只要求一位有效数字）解：（1）Gm1m22r2Vm2. m1r2v r c3.6G1035kg2GmiRC (3 分)2Gmi2Gm18Rm 2-15 10 mC11.物体沿质量为 M、半径为R星球的表面做匀速圆运动所需的速度V1叫做该星球第一宇宙速度；只要物体在该星球表面具有足够大的速度V2,就可以脱离该星球的万有引力而飞离星球（即到达到距星球无穷远处），这个速度叫做该星球第二宇宙速度。理论上可以证明 V22
13、V1 。一旦该星球第二宇宙速度的大小超过了光速C=3.0X108m,则该星球上的任物体（包括光子）都无法摆脱该星球的引力，于是它就将与外界断绝了一切物质和信息的交流。从宇宙的其他部分看来，它就像是消失了一样，这就是所谓的“黑洞”。试分析一颗质量为M=2.0X1031kg的恒星，当它的半径坍塌为多大时就会成为一个“黑洞”？（计算时取引力常量 G=6.7 X10-11N m2/kg 2,答案保留一位有效数字.）2 GMmV)解：厂 m一又知 v2 J 2VlR2R令 V2=C由以上三式得R2GMC22 6.7 10 11 2.0 1031(3.0 108)23 104 mM,两者相12.现根据对某
14、一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是距L,它们正围绕两者连线的中点做圆运动。万有引力常量为Go求：该双星系统的运动期 To解：(1)由万有引力提供向心力有:GML2T2(4分)2LGM(4分)13.晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之。一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后 8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不6到了。已知地球的半径R地6.4 10 m ,地面上的重力加速度为210m/s，估算：(答案要求精确到两位有效数字)(1)卫星轨道离地面的高度
15、。(2)卫星的速度大小。解：从北极沿地轴往下看的地球俯视图如图所示，设卫星离地高h, Q点日落后8小时时能看到它反射的。日落 8小日Q点转过 的角度设为08360120(1)24cos- 26.41061cos601) 6.4 106m(2)因为卫星轨道半径r r h2根据万有引力定律，引力与距离的平成反比1卫星轨道处的重力加速度gr g地 2.5m/42Vmgr m rM ,做如下的实验，取14.一宇航员抵达一半径为 R的星球表面后，为了测定该星球的质量一根细线穿过光滑的细直管，细线一端栓一质量为m的祛码，另一端连在一固定的测力计图5上，手握细线直管抡动祛码，使它在竖直平面做完整的圆运动，停
16、止抡动细直管。祛码可继续在同一竖直平面做完整的圆运动。如图5所示，此时观察测力计得到当祛码运动到圆的最低点和最高点两位置时，测力计得到当祛码运动到圆的最低点和最高点两位置时，测力计的读数差为AF。已知引力常量为 G,试根据题中所提供的条件和测量结果，求 ：(1)该星球表面重力加速度；(2)该星球的质量M。22 V1V2T1 mg mT2 mg m一解：(1)设最高点r 最低点r机械能守恒1mv； 2mgr 21 2-mv22F T26 mgG吧(2) RmgF6mF6mFR26mg15 .两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做期相同的匀速 圆运动。现测得两星中心距离为
17、R,其运动期为 T,求两星的总质量。1和星设两星质量分别为 Mi和M2,都绕连线上O点做期为T的匀速圆运动，星球球2到O的距离分别为li和R由万有引力定律和牛顿第二定律及几条件可得 解：对Mi：GT2对M2：两式相加得靳勺3GT216 .中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自，1、， ，一转期为T s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而 30瓦解。计算时星体可视为均匀球体（引力常数G= 6.67X10 11m3/kg s2）GMm量为m,则有=m w2R2乃A冲T M二 士求p乐由以上各式得p =G产代入数据解得p =1.27 X1014 kg/m 3答案：1.27 X1014 kg/m 3