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1、关于圆的定理割线定理割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.数学语言：从圆外一点L 引两条割线与圆分别交于A、B、C 、D则有 LA LB=LC LD=LT2 . 几何语言：割线 LDC 和 LBA 交于圆 O 于 ABCD 点. LALB=LC LD=LT2.如右图所示 .(LT 为切线）切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种. 几何语言：PT切 O 于点 T， PBA 是 O 的割线 PT2=PA PB（切割线定理） . 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的
2、交点的两条线段长的积相等. 几何语言：PT是 O 切线， PBA，PDC 是 O 的割线 PD PC=PA PB （切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT2=PA PB=PC PD相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.几何语言：弦 AB、CD 交于点 P.PAPB=PC PD（ 相交弦定理） . 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 . 几何语言：AB 是直径， CD AB 于点 P.PC2=PA PB（相交弦定理推论）.弦切角定理弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半.
3、两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.证明： 如图 2，AB 为圆 O 的切线， 因为 BD 是直径， 所以内接三角形BCD是直角三角形，其中DCB 是直角 . BDC+ 1=90 . 1 + CBA=90 . CBA= BDC. 射影定理直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 概述图中，在RtABC 中，ACB=90 ， CD 是斜边 AB 上的高，则有射影定理如下：CD2=AD BD， AC2=AD AB， BC2=BD AB，AC BC=AB CD . 证明：由等积法可知：AB BC=BD AC.在 R
4、tABD 和 RtABC 中， tan BAD=BD/AD=BC/AB. 故 AB BC=BD AC. 两边各除以tan BAD. 得： AB2=AD AC . 同理可得 BC2=CD CA . 在 RtABD 和 RtBCD 中. tan BAD=BD/AD， cot BCD=CD/BD. 又 tan BAD=cotBCD. 故 BD/AD=CD/BD. 得 BD2=AD CD . （cot（余切）： 直角三角形任意一锐角的邻边和对边的比，叫做该锐角的余切）. 蝴蝶定理蝴蝶定理（ Butterfly theorem） ：设 M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和 CD. 设 AD 和
5、BC 各相交 PQ 于点 X 和 Y，则 M 是 XY 的中点 . 证明：过圆心 O 作 AD 与 BC 的垂线，垂足为 S、 T， 连接 OX ， OY， OM ，SM，MT.OSDA. OSD=90 . M 为 PQ 中点 . OMP=90 . OSD= OMP=90 . O，S，X，M 四点共圆同理， O ，T，Y，M 四点共圆 . MTY=MOY ， MSX= MOX. MOX= MOY ，OM PQ. OMX= OMY=90 OM=OM. OMX OMY. XM=YM西姆松定理西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线 .（此线常称为西姆松线）. 逆定理： 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上 . 证明：如图，若L、M 、N 三点共线，连结BP，CP ，则因 PL 垂直于 BC ，PM 垂直于 AC ，PN 垂直于 AB，有 B、L、 P、N 和 P、M 、C 、L 分别四点共圆，有 NBP = NLP= MLP= MCP. 故 A、B、P、C 四点共圆 . 若 A、P、B、C 四点共圆，则 NBP= MCP. PL垂直于 BC，PM 垂直于 AC ，PN 垂直于 AB，有 B、L、 P、N 和 P、M 、C 、L 四点共圆，有 NBP = NLP= MCP= MLP. L、 M、N 三点共线 .