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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题一第5讲第5讲 导数及其应用 【高考考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容(考查方式以客观题为主，主要考查:一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义;二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题;三是应用导数解决实际问题( 1( 导数的几何意义 函数y,f(x)在点x,x处的导数值就是曲线y,f(x)在点(x，f(x)处的切线的斜率，其切000线方程是y,f(x),f(x)(x,x)( 0002( 导数与函数单调性的关系 3(1)f
2、(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x),x在(,?，?)上单调递增，但f(x)?0. (2)f(x)?0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x),0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性( 3( 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题( (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有( (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值( 4( 四个易误导数公式及两个常用的运算法则
3、 (1)(sin x),cos x. (2)(cos x),sin x. xx(3)(a),aln a(a0，且a?1)( 1(4)(logx),(a0，且a?1)( axln a(5)f(x)?g(x),f(x)g(x)，f(x)g(x)( f，x，f，x，g，x，,f，x，g，x，,(6)(g(x)?0). 2g，x，g，x，考点一 导数几何意义的应用 x例1 (1)过点(1,0)作曲线y,e的切线，则切线方程为_( 3(2)(2013?南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C:y,ax，1(a0)与曲线1522C:x，y,的一个公共点，若C在A处的切线与C在A处的切线互相垂直，则
4、实2122数a的值是_( 22答案 (1)ex,y,e,0 (2)4 解析 (1)设切点为P(xex)则切线斜率为ex 000切线方程为y,ex,ex(x,x) 000又切线经过点(1,0)所以,ex,ex(1,x) 00022解得x,2切线方程为y,e,e(x,2) 022即ex,y,e,0. 2(2)设A(xy)则C在A处的切线的斜率为f(x),3axC在A处的切线的斜率为0010021x0, kyOA0又C在A处的切线与C在A处的切线互相垂直 12x023所以(,)?3ax,1即y,3ax 000y033又ax,y,1所以y, 00025122代入C:x，y,得x,? 2022133将x
5、,?y,代入y,ax，1(a0)得a,4. 0022(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异过点P的切线中点P不一定是切点点P也不一定在已知曲线上而在点P处的切线必以点P为切点( (2)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化(以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系进而和导数联系起来求解( 2 (1)直线y,kx，b与曲线y,ax，2，ln x相切于点P(1,4)，则b的值为_( (2)若曲线f(x),xsin x，1在x,处的切线与直线ax，2y，1,0互相垂直，则实数a,2_. 答案 (
6、1),1 (2)2 2解析 (1)由点P(1,4)在曲线上可得a1，2，ln 1,4 12解得a,2故y,2x，2，ln x(所以y,4x，. x1所以曲线在点P处的切线斜率k,y|,41，,5. ,x11所以切线的方程为y,5x，b.由点P在切线上 得4,51，b解得b,1. (2)f(x),sin x，xcos xf(),1 2即函数f(x),xsin x，1在点x,处的切线的斜率是1 2a直线ax，2y，1,0的斜率是, 2a所以(,)1,1解得a,2. 2考点二 利用导数研究函数的性质 32例2 (2013?广东)设函数f(x),x,kx，x(k?R)( (1)当k,1时，求函数f(x
7、)的单调区间; (2)当k0 3,3?f(x)在R上单调递增( k2(2)当k0时f(x),3x,2kx，1其图象开口向上对称轴x,且过(0,1)点( 32?当,4k,12,4(k，3)(k,3)?0即,3?k0即k,3时 22,3,3k，kk,k令f(x),0得x,x, 1233且kxx0 111111?m,f(k),k 3232又f(x),f(,k),x,kx，x,(,k,k?k,k) 222222,(x，k)(x,k)，k，10 223?M,f(,k),2k,k. 3综上当k0或f(x)1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值( 2解 (1)当a,1时f(x),6x,12x，6 所以
8、f(2),6. 又因为f(2),4所以切线方程为6x,y,8,0. (2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值( 2f(x),6x,6(a，1)x，6a,6(x,1)(x,a)( 令f(x),0得到x,1x,a. 12当a1时 (1a) x 0 (0,1) 1 a (a,2a) 2a f(x) ， , ， 0 0 极大值极小值3f(x) 0 单调递增 单调递减 单调递增 4a23a,1 a(3,a) 2比较f(0),0和f(a),a(3,a)的大小可得 ,0 13.,当a,1时 (1,2a) ,2a x 0 (0,1) 1 f(x) , 0 ， 32单调递减 极小值3a,1 单调
9、递增 ,28a,24a f(x) 0 得g(a),3a,1. 综上所述f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为 3a,1 a,1,0 13.,考点三 利用导数解决与方程、不等式有关的问题 x例3 (2013?陕西)已知函数f(x),e，x?R. (1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程; 12(2)证明:曲线y,f(x)与曲线y,x，x，1有唯一公共点; 2f，b，,f，a，a，b,(3)设ab，比较f与的大小，并说明理由( 2,b,a本题主要考查导数在解决方程、不等式问题等方面的应用构造函数是解决问题的关键( (1)解 f(x)的反函数为g(x),ln x, 设所求切线的斜率
10、为k 1?g(x),?k,g(1),1. x于是在点(1,0)处的切线方程为x,y,1,0. 11x2x2(2)证明 方法一 曲线y,e与曲线y,x，x，1公共点的个数等于函数(x),e,x22,x,1零点的个数( ?(0),1,1,0?(x)存在零点x,0. xx又(x),e,x,1令h(x),(x),e,x,1 x则h(x),e,1 当x0时h(x)0时h(x)0?(x)在(0，?)上单调递增 ?(x)在x,0处有唯一的极小值(0),0 即(x)在R上的最小值为(0),0. ?(x)?0(当且仅当x,0时等号成立) ?(x)在R上是单调递增的 ?(x)在R上有唯一的零点 12故曲线y,f(
11、x)与曲线y,x，x，1有唯一的公共点( 21x2方法二 ?e0x，x，10 212，x，1x21x2?曲线y,e与曲线y,x，x，1公共点的个数等于曲线y,与y,1公共点x2e的个数 12x，x，12设(x),则(0),1即当x,0时两曲线有公共点( xe11x2x2，x，1，e,，x，x，1，e,x22又(x),?0(当且仅当x,0时等号成立) 2xxee?(x)在R上单调递减 ?(x)与y,1有唯一的公共点 12f(x)与曲线y,x故曲线y,，x，1有唯一的公共点( 2baf，b，,f，a，,eea，ba，b,(3)解 ,f,e 22,b,ab,aa，ba，bbae,e,be，ae22,
12、 b,aa，be2b,aa,b,e,e,(b,a)( 22b,a1x设函数u(x),e,2x(x?0) xe11xx则u(x),e，,2?2e?,2,0 xxee?u(x)?0(当且仅当x,0时等号成立) ?u(x)单调递增( 当x0时u(x)u(0),0. b,ab,aa,b令x,则得e,e,(b,a)0 222f，b，,f，a，a，b,?f. 2,b,a研究方程及不等式问题都要运用函数性质而导数是研究函数性质的一种重要工具(基本思路是构造函数通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数必要时画出函数的草图辅助思考( x (20
13、12?湖南)已知函数f(x),e,ax，其中a0. (1)若对一切x?R，f(x)?1恒成立，求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x，f(x)，B(x，f(x)(xx)，记直线AB的斜率为k，112212证明:存在x?(x，x)，使f(x),k成立( 0120x(1)解 f(x),e,a.令f(x),0得x,ln a. 当xln a时f(x)ln a时f(x)0f(x)增调递增( 故当x,ln a时f(x)取最小值f(ln a),a,aln a. 于是对一切x?Rf(x)?1恒成立当且仅当a,aln a?1. ? 令g(t),t,tln t则g(t),ln t. 当0t0
14、g(t)单调递增( 当t1时g(t)0g(t)单调递减( 故当t,1时g(t)取最大值g(1),1. 因此当且仅当a,1时?式成立( 综上所述a的取值集合为1( f，x，,f，x，,exex2121(2)证明 由题意知k,a. x,xx,x2121,exex21x令(x),f(x),k,e,则 x,x21ex1(x),ex,x,(x,x),1 12121x,x21ex2(x),ex,x,(x,x),1( 21212x,x21tt令F(t),e,t,1则F(t),e,1. 当t0时F(t)0时F(t)0F(t)单调递增( t),0即e,t,10. 故当t?0时F(t)F(0从而ex,x,(x,x
15、),10ex,x,(x,x),10. 21211212exex12又00所以(x)0. 12x,xx,x2121因为函数y,(x)在区间xx上的图象是连续不断的一条曲线 12所以存在x?(xx)使(x),0即f(x),k成立( 012001( 函数单调性的应用 (1)若可导函数f(x)在(ab)上单调递增则f(x)?0在区间(ab)上恒成立, (2)若可导函数f(x)在(ab)上单调递减则f(x)?0在区间(ab)上恒成立, (3)可导函数f(x)在区间(ab)上为增函数是f(x)0的必要不充分条件( 2( 可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定也有可能极小值
16、大于极大值, (2)对于可导函数f(x)“f(x)在x,x处的导数f(x),0”是“f(x)在x,x处取得极值”00的必要不充分条件, (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系导函数由正变负的零点是原函数的极大值点导函数由负变正的零点是原函数的极小值点( 3( 导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题, (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题, (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题. 121( 已知函数f(x),x,，g(x),x,2ax，4，若对任意x?0,1，存在x?1,2，使12x，1f(x)?g(x)，则实数a的取值范围是_(
17、129，,，?答案 4，,1解析 由于f(x),1，0 2，x，1，因此函数f(x)在0,1上单调递增 所以x?0,1时f(x),f(0),1. min根据题意可知存在x?1,2 2(x),x,2ax，4?,1 使得gx52即x,2ax，5?0即a?，能成立 22xx5令h(x),， 22x则要使a?h(x)在x?1,2能成立只需使a?h(x) minx5又函数h(x),，在x?1,2上单调递减 22x99所以h(x),h(2),故只需a?. min441,a22( 设函数f(x),x，ax,ln x(a?R)( 2(1)当a,1时，求函数f(x)的极值; (2)当a?2时，讨论函数f(x)的
18、单调性; (3)若对任意a?(2,3)及任意x，x?1,2，恒有ma，ln 2|f(x),f(x)|成立，求实数m1212的取值范围( 解 (1)函数的定义域为(0，?) x,11当a,1时f(x),x,ln xf(x),1,. xx令f(x),0得x,1. 当0x1时f(x)1时f(x)0. ?f(x)在(0,1)上单调递减在(1，?)上单调递增 ?f(x),f(1),1无极大值( 极小值2，1,a，x，ax,11(2)f(x),(1,a)x，a, xx1，1,a，x,，x,1，a,1，1,a，x，1，x,1，,. xx2，x,1，1当,1即a,2时f(x),?0 xa,1f(x)在(0，?
19、)上是减函数, 1当2时 a,11令f(x)0得0x1, a,11令f(x)0得x1a2时f(x)在(0)和(1，?)上单调递减在(1)上单调递增( a,1a,1(3)由(2)知当a?(2,3)时f(x)在1,2上单调递减 当x,1时f(x)有最大值当x,2时f(x)有最小值( a3?|f(x),f(x)|?f(1),f(2),，ln 2 1222a3?ma，ln 2,，ln 2. 2213而a0经整理得m, 22a113由2a3得,0?m?0. 422a(推荐时间:60分钟) 一、填空题 121( (2012?辽宁改编)函数y,x,ln x的单调递减区间为_( 2答案 (0,1 解析 由题意
20、知函数的定义域为(0，?) 1又由y,x,?0解得00) x1所以切线斜率为k, x01所以切线方程为y,ln x,(x,x) 00x0由已知直线y,kx是y,ln x的切线得 110,ln x,(0,x)即x,e?k,. 000xe0323( 已知函数f(x),ax，bx，cx，其导函数y,f(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)， 如图所示，则下列说法中所有不正确的序号是_( 3?当x,时，函数f(x)取得极小值; 2?f(x)有两个极值点; ?当x,2时，函数f(x)取得极小值; ?当x,1时，函数f(x)取得极大值( 答案 ? 解析 从图象上可以看到当x?(,?1)时f(x)0, 当
21、x?(1,2)时f(x)0 所以f(x)有两个极值点1和2且当x,2时函数取得极小值 当x,1时函数取得极大值(故只有?不正确( 34( (2012?大纲全国改编)已知函数y,x,3x，c的图象与x轴恰有两个公共点，则c,_. 答案 ,2或2 解析 利用导数求解( 2?y,3x,3?当y,0时x,?1. 则xyy的变化情况如下表: (,?,1) ,1 (,1,1) (1，?) x 1 y ， , ， c，2 c,2 y 因此当函数图象与x轴恰有两个公共点时必有c，2,0或c,2,0 ?c,2或c,2. 1x15( 已知函数f(x) (x?R)满足f(1),1，且f(x)的导函数f(x)，则f(
22、x)1 x11 (x),f(x),则(x),f(x),0 解析222?(x)在R上是减函数( 11(1),f(1),1,1,0 22x1?(x),f(x),1( 223226( 设函数f(x),x，2ax，bx，a，g(x),x,3x，2(其中x?R，a，b为常数)(已知曲线y,f(x)与y,g(x)在点(2,0)处有相同的切线l，则a，b的值分别为_( 答案 ,2,5 2解析 f(x),3x，4ax，bg(x),2x,3 由于曲线y,f(x)与y,g(x)在点(2,0)处有相同的切线 故有f(2),g(2),0f(2),g(2),1 由此解得a,2b,5. x7( 设a?R，若函数y,e，a
23、x，x?R有大于零的极值点，则a的取值范围为_( 答案 (,?，,1) xxx解析 y,e，a又函数y,e，ax在x?R上有大于零的极值点即y,e，a,0有正根( xx当e，a,0时e,a?,a1即a,1. 128( 已知函数f(x),x，4x,3ln x在t，t，1上不单调，则t的取值范围是_( 2答案 0t1或2t3 2,x，4x,3，x,1，x,3，3解析 f(x),x，4,由f(x),0得函数的两个极xxx值点1,3则只要这两个极值点在区间(tt，1)内函数在区间tt，1上就不单调由t1t，1或t3t，1解得0t1或2t3. 329( (2013?安徽改编)若函数f(x),x，ax，b
24、x，c有极值点x，x，且f(x),x，则关于x的12112方程3(f(x)，2af(x)，b,0的不同实根个数是_( 答案 3 2解析 f(x),3x，2ax，b由已知得x?x 122,3x，2ax，b,011,32,且x如图 122同理得方程3(f(x)，2af(x)，b,0有三个不同实根( 10(2013?湖北改编)已知函数f(x),x(ln x,ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_( 1答案 (0，) 21解析 f(x),(ln x,ax)，x(,a) x,ln x，1,2ax(x0) ln x，1令f(x),0得2a, xx，1ln xln ,设(x),则(x), 2xx易知(x
25、)在(0,1)上递增在(1，?)上递减 大致图象如右图 若f(x)有两个极值点 则y,2a和y,(x)图象有两个交点 1?02a1?0a0. (1)若a,2，求曲线y,g(x)在点(1，g(1)处的切线方程; (2)是否存在负数a，使f(x)?g(x)对一切正数x都成立,若存在，求出a的取值范围;若不存在，请说明理由( 2解 (1)由题意可知当a,2时g(x),4x,ln x，2 1则g(x),8x,. x曲线y,g(x)在点(1g(1)处的切线斜率k,g(1),7 又g(1),6所以曲线y,g(x)在点(1g(1)处的切线的方程为y,6,7(x,1)即7x,y,1,0. 22(2)设函数h(
26、x),f(x),g(x),ax，ln x,ax (x0)( 假设存在负数a使得f(x)?g(x)对一切正数x都成立 即当x0时h(x)的最大值小于等于零( 22x，ax，1,2a12h(x),a，,2ax, (x0)( xx11令h(x),0得x,x,(舍去)( 122aa1当0x0h(x)单调递增, 2a1当x,时h(x)0)( ex?当a?0时F(x)0恒成立F(x)在(0，?)上是增函数F(x)只有一个单调递增区间(0，?)没有最值( 2，x，ea，x,ea，?当a0时F(x),(x0) xe若0xea则F(x)ea则F(x)0F(x)在(ea，?)上单调递增 ?当x,ea时F(x)有极
27、小值也是最小值 即F(x),F(ea),a,2alnea,aln a. min?当a0时F(x)的单调递减区间为(0ea)单调递增区间为(ea，?)最小值为,aln a无最大值( (2)若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点 则方程f(x),g(x),0有且只有一解 ?函数F(x)有且只有一个零点( 由(1)的结论可知F(x),aln a,0得a,1. min2x此时F(x),f(x),g(x),2ln x?0 eF(x),F(e),0?f(e),g(e),1 min?f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为(e1)( 2又?f(e),g(e), e?f(x)与g(x)的图象在点(e1
28、)处有共同的切线 22其方程为y,1,(x,e)即y,x,1. ee综上所述存在a,1使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点(e1)且在该点处2的公切线方程为y,x,1. e13(已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元(设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为1210.8,x ，010，.2,x3x(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大,(注:年利(一)教学重点润,年销售收入,年总成本) 解 (1)当010时W,xR(x),(
29、10，2.7x) 10.圆内接正多边形1 000,98,2.7x. 3x扇形的面积S扇形=LR23x8.1x,10 ，010，.,3x4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即2x(2)?当0x0, 当x?(9,10)时W0 点在圆外 dr.?当x,9时W取最大值 13且W,8.19,?9,10,38.6. max30d=r 直线L和O相切.当x10时 ?1 0001 000,，2.7xW,98,?98,2?2.7x,38 3x,3x1 000100当且仅当,2.7x即x,时W,38 3x9其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。100故当x,时W取最大值38. 91、熟练计算20以内的退位减法。综合?知当x,9时W取最大值38.6万元故当年产量为9千件时该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大(