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1、2014届江苏高三理科数学二轮复习解题技巧提炼专题检测：专题七 第2讲第2讲 矩阵与变换 【高考考情解读】 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等(从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大(又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力(分值为10分( 1( 矩阵乘法的定义 bb1111，一般地，我们规定行矩阵a，a与列矩阵的乘法规则为a，a,ab，111211121111，bb2121ax，bya bxa bx，
2、ab，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为,. ,1221，c dyc dy，cx，dy，说明:矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T后T)的复NM合变换( 一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应惟一的一x，个平面点(向量)(x，y)，则称T为一个变换，简记为T:(x，y)?(x，y)或T:，yx，?. ,，y，2( 几种常见的平面变换 (1)恒等变换;(2)伸缩变换;(3)反射变换;(4)旋转变换;(5)投影变换;(6)切变变换( 3( 矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念 对于二阶矩阵A，B，若有AB,BA,E，则称A是可逆的，B称为A的
3、逆矩阵(若二,1,1阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A，A,B. (2)逆矩阵的求法 a b，,1一般地，对于二阶可逆矩阵A,(ad,bc?0)，它的逆矩阵为A,，c d,bd ，ad,bcad,bc,. ,ca, ，ad,bcad,bc(3)逆矩阵的简单性质 ,1,1,1,BA. ?若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)?已知A，B，C为二阶矩阵，且AB,AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B,C. (4)逆矩阵与二元一次方程组 ,ax，by,m，x,，,对于二元一次方程组 (ad,bc?0)，若将X,看成是原先的向量，而 ，cx，dy,ny,ma b
4、，将B,看成是经过系数矩阵A,(ad,bc?0)对应变换作用后得到的向量，则，nc d,bd ，ad,bcad,bca bxm,1,1，可记为矩阵方程AX,B，,，则X,AB，其中A,. ，c dyn,ca, ，ad,bcad,bc4( 二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A,，那么称为A的一个特征值，而称为A的一个属于特征值的一个特征向量( (2)特征向量的几何意义 特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0，b0)( ，0 b,1(1)若a,2，b,
5、3，求矩阵M的逆矩阵M; 2x222(2)若曲线C:x，y,1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C:,1，y4求a，b的值( x y11,1，解 (1)设矩阵M的逆矩阵M, ，x y221 0,1，则MM,. ，0 12 02 0x y1 011，又M,所以,. ，0 30 3x y0 122所以2x,1,2y,0,3x,0,3y,1 112211即x,y,0x,0y, 1122231 0，2,1故所求的逆矩阵M,. ,1 0 ，3(2)设曲线C上任意一点P(xy)它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P(xy) ,xax,xa 0x,，,则,即 , ，0 by，y，by,y.,2x2又点
6、P(xy)在曲线C上所以,1. ，y422ax22则y,1为曲线C的方程( ，b42,a,4,22,又已知曲线C的方程为x，y,1故 2 b,1.,a,2,又a0b0所以 ,b,1.,求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法 a b，设A是一个二阶可逆矩阵AB,BA,E, ，c d(2)公式法 ,bd ，|A|A|a b,1,|A|,ad,bc有A, ,c d,ca ，|A|A|当且仅当|A|?0, ,1,1,1(3)利用逆矩阵的性质(AB),BA. ,1 01 2，,1， (2013?江苏)已知矩阵A,，B,，求矩阵AB. ,， 0 20 6a b， 设矩阵A的逆矩阵为解 ，c d,1 0a b
7、1 0，则, ,， 0 2c d0 1,a ,b1 0，即, ,， 2c 2d0 11故a,1b,0c,0d, 2,1 0，,1从而A的逆矩阵为A, 1, 0 ，2,1 0，,1 ,21 2，,1，所以AB,. ,1,， 00 6 0 3 ，2考点三 求矩阵的特征值与特征向量 1，例3 已知二阶矩阵M有特征值,8及对应的一个特征向量e,，并且矩阵M对应的1，1变换将点(,1,2)变换成(,2,4)( (1)求矩阵M; (2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e的坐标之间的关系; 2(3)求直线l:x,y，1,0在矩阵M的作用下的直线l的方程( a ba b118，解 (1)设M,则,
8、8, ，c dc d118,a，b,8,故 c，d,8.,1,2,a，2b,2a b,，,故, ，c d 2 4,c，2d,4.,联立以上两方程组解得a,6b,2c,4d,4 6 2，故M,. ，4 4(2)由(1)知矩阵M的特征多项式为 ,6 ,2,2f(),(,6)(,4),8,10，16故其另一个特征值为,2.设矩阵, ,4 ,4,6x，2yxx，M的另一个特征向量是e,则Me,2解得2x，y,0. ,22，y，4x，4y，y(3)设点(xy)是直线l上的任一点其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(xy) x6 2x，则, ,，4 4y，y，1113即x,x,yy,x，y代入直线l的方程后
9、并化简得x,y，2,04848即x,y，2,0. 求特征值和特征向量的方法 a bx，(1)矩阵M,的特征值满足(,a)(,d),bc,0属于的特征向量,满足，c dyxx，M,. ，yy(2)求特征向量和特征值的步骤: ,a ,b,?解f(),0得特征值, ,c ,d,，,a，x,by,0,?解?(,a)x,by,0取x,1或y,1写出相应的向量( ,cx，,d，y,0,3 6， 求矩阵A,的特征值与属于每个特征值的一个特征向量( ，5 2,3 ,6,解 矩阵A的特征多项式为f(), ,5 ,2,2令f(),0得,5,24,0 ?,8,3为矩阵A的两个特征值( 12,5x,6y,0,?当,8
10、时解相应线性方程组 1 ,5x，6y,0,66，8的特征向量,. 可任取一解如得,1，55,6x,6y,0,?当,3时解相应线性方程组 2 ,5x,5y,0.,1 1，可任取一解,得,3的特征向量,. 2，,1,11( 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时变换矩阵可以通过待定系数法解决在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚防止混淆( 2( 对于二阶矩阵要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则直接指明对应的变换( 3( 对于常见的变换要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵( 4( 对于二阶矩阵A而言至多有两个特征值将特征值代入A,即可求得对应的特征向量
11、. 5( 关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系或说是所学知识的一个综合运用. xx，2yx，1( 已知点A在变换T:?,作用后，再绕原点逆时针旋转90?，得到点B.,，y，y， y若点B的坐标为(,3,4)，求点A的坐标( 1 2，解 变换T对应的矩阵为 ，0 10 ,10 ,11 2，?,. ,，1 00 11 20 ,1,3a，设A(ab)由题意得, ，1 2b 4,b,3a,2,即所以即A(,2,3)( a，2b,4.b,3,1 ,31 2，2( 已知矩阵A,，B,. ,，,1 ,1，0 1,1(1)求(AB). 1,对应变换作用下
12、的直线方程( (2)求直线2x，y,5,0在(AB)1 ,3 1 ,11 2，解 (1)AB, ,，,1 ,10 1,1 ,3，又|AB|,3,1,4 31 ,，44,1(AB)?,. ,11, ,，44(2)设P(xy)是直线2x，y,5,0上任一点P(xy)是在变换作用下点P的象则0031 ,，xx44x00,1，有,(AB),. ,，yy11y00, ,，4413x,x,y00,x,x,y440,? , 11,y,x,3y.,0 y,x,y.00,44代入直线方程2x，y,5,0得2(x,y),(x，3y),5,0即x,5y,5,0即为所求的直线方程( (推荐时间:60分钟) 3 22
13、3，1( 求满足X,的二阶矩阵X. ,，,1 11 22a，b 3a，2b 3 2a ba b2 3，解 设X,由于,则 ,，,1 1c dc d1 2，2c，d 3c，2d，2a，b,3,3a，2b,2 ,2c，d,1 ,3c，2d,14 ,5，得a,4b,5c,3d,5故X,. ,，,3 5，220 21 0xy，2( 双曲线，B,，求点F在矩阵BA对应,1的右焦点为F，矩阵A,54，1 00 3的变换作用下的象F. 1 00 20 2，解 BA, ，0 31 03 030 230，?(BA),. ，03 009即F的坐标为(0,9)( 1 0，2,3( 求函数y,x在矩阵M,变换作用下的
14、结果( 1,0 ，41 0x，x2,，,解 任选曲线y,x上一点(xy)它在变换T作用下变为(xy)则,M11,，0 yy，44x，,?x,x ,，y，11222y,4y代入y,x得y,x即y,x. 4413, ，44,14( (2012?江苏)已知矩阵A的逆矩阵A,，求矩阵A的特征值( ,11 ,，22,1,1,1解 因为AA,E所以A,(A). 13, ，442 3,1,1,1，因为A,所以A,(A), ,，112 1 ,，22于是矩阵A的特征多项式为 ,2 ,3,2f(),3,4. , ,1,2令f(),0解得A的特征值,1,4. 121 112，5( 已知矩阵A,，向量,.求向量，使得
15、A,. ，2 121 11 13 22，解 A,. ，2 12 14 3x3 2x1，2，设,由A,得, ，y4 3y2,3x,1,1x，2y,1,，,从而解得所以,. ，,4x，3y,2,y,2. 2,6( 已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A(0，3)，B(1，,1)，试求变换S对应的矩阵T. a c，解 设T, ，b dx3a c3，则S:?, ,，0，y，b d0,a,03a0,，,解得, ，3b3,b,1,x2a，c 12a c2，S:?, ,，,11，y，b d1，2b，d，,c,10 1,，,解得综上可知T,. ，1 ,3d,3,7( 已知曲线C:xy,
16、1，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45?后，求得到的曲线C的方程( 解 设P(xy)是曲线C:xy,1上的任一点点P(xy)在旋转变换后对应的点为0000P(xy)则 00xcos 45? ,sin 45?x0，0，, ,，y，sin 45? cos 45?y002222 ,x,y，0022x220，, ,，y02222 x，y00，2222222x,x,yx,，x，y，,000000222? ,222 yy,x，y,，y,x，.000000,22222又xy,1?(y，x)(y,x),1. 000000222222?y,x,2即曲线C:xy,1旋转后所得到的曲线C的方程为:y,x,2. 008
17、( 在直角坐标系中，已知?ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求?ABC在矩阵0 ,10 1，MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M,，N,. ,，1 01 04.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。0 ,1，解 由在矩阵线性变换下的几何意义可知在矩阵N,作用下一个图形变换，1 0定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，0 1，为其绕原点逆时针旋转90?得到的图形,在矩阵M,作用下一个图形变换为与，1 0之关于直线y,x对称的图形因此?ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与?ABC全等从而其面积等于?ABC的面
18、积即为1. 1 ,1，其中a?9( 已知矩阵A,R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0，,3)( ， 1a(1)求实数a的值; 156.46.10总复习4 P84-90(2)求矩阵A的特征值及特征向量( 1 ,1 01，解 (1)由题意得, ,，,3a 11所以a，1,3所以a,4. 1 ,1，(2)由(1)知A, ,，,4 1，,1 1,2令f(),(,1),4,0. , 4 ,1,解得A的特征值为,1或3. ,2x，y,01,，,当,1时由得矩阵A的属于特征值,1的一个特征向量为 ，,4x,2y,02,2x，y,0 1,，,当,3时由得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为. ,
19、，,2,4x，2y,0,a 022，10(2012?福建)设曲线2x，2xy，y,1在矩阵A,(a0)对应的变换作用下得到的曲，b 16.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30，南偏东45(东南方向)、南偏西为60，北偏西60。22线为x，y,1. 推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。(1)求实数a，b的值; 2(2)求A的逆矩阵( 22解 (1)设曲线2x，2xy，y,1上任意点P(xy)在矩阵A对应的变换作用下的象是(2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组
20、成的图形叫做扇形.P(xy)( 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。,x axx,axa 0x,，,由,得 , ，bx，y，y，b 1yy,bx，y.,(2)两锐角的关系：AB=90；2222又点P(xy)在x，y,1上所以x，y,1 222即ax，(bx，y),1 10、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。2222整理得(a，b)x，2bxy，y,1. 22,a，b,2a,a1,1,依题意得解得或 2b,2b,1b,1.,点在圆上 d=r;,a,1,因为a0所以 ,b,1.,1 01 01 01 02，(2)由(1)知A,A,. ，1 11 11 12 11 0，22,1所以|A|,1(A),. ,，,2 1