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1、2018届高考数学 黄金考点精析精训 考点11 三角化简与求值 文考点11 三角化简和求值 【考点剖析】 1.最新考试说明: (1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点( (2)考查同角三角函数的基本关系式、考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用( (3)考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. 2.命题方向预测: (1)考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值. (2)公式逆用、变形应用是高考热点( (3)题型以选择题、解答题为主. 3.课本结论总结: (1)同角三角函数的基本关系 22?平方关系:sin，cos,1; s
2、in ?商数关系:,tan . cos (2)诱导公式 公式一:sin(，2k),sin ，cos(，2k),，其中k?Z. cos,sin,公式二:sin(，),，cos(，),， ,cos,tan(，),tan . ,sin,公式三:sin(,),，cos(,),. cos,公式四:sin(,),sin ，cos(,),. ,cos,sin(,)cos(,)公式五:,cos,，,sin . 22,sin,sin(，,)cos(，,)公式六:,cos,，, 22诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变，符号看象限 (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ?C:cos(,),cos,cos,，sin,
3、sin,; (,)?C:cos(，),cos,cos,sin,sin,; (，)?S:sin(，),sin,cos,，cos,sin,; (，)?Ssin,cos,cos,sin,:sin(,),; (,)tan ，tan ?T:tan(，),; (，)1,tan tan 1 tan ,tan ?T:tan(,),. (,)1，tan tan (4)二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin,cos,?S:sin 2,; 22222?C:cos 2,cos,sin,2cos,1,1,2sin; 22tan ?T:tan 2,. 221,tan4.名师二级结论: (1)有关公式的逆用、变形等 ?ta
4、n ?tan ,; tan(,，,)(1,tan,tan,)1，cos 21,cos 222?cos,，sin,; 222,2?1，sin 2,(sin ，cos )1,sin 2,(sin ,cos )， ,sin，cos,2sin(，). ,422(2)函数(a，b为常数)，可以化为f(),a，bsin(，)或f(),f(,),acos,，bsin,22，的值唯一确定( a，bcos(,)，其中可由ab(3)三种方法 在求值与化简时，常用方法有: sin ?弦切互化法:主要利用公式tan ,化成正、余弦( cos 2?和积转换法:利用(sin ?cos ),1?2sin cos 的关系进行
5、变形、转化( 2222?巧用“1”的变换:1,sin，cos,cos(1，tan),tan,. 4(4)三个防范 ?利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤:去负,脱周,化锐( 特别注意函数名称和符号的确定( ?在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号( ?注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化( 5.课本经典习题: tan,3(1)新课标A版第64 页，第 A8 题(例题)已知，计算: ,4sin,2cos2sin,cos,(1);(2);(3)(sin,，cos,) 5cos,，3sin,4sin,2cos4tan,24，3
6、,25？tan,3,？(1)【解析】，; 5cos,，3sin,5，3tan,5，3，372 ,sincostan3,(2)sincos; ,222sin,cos,tan,110，22,sin，cos，2sincos222,(3)(sin，cos),sin，cos，2sincos,22sin,，cos,2,tan2tan1168， ,2tan,1105，【经典理由】弦化切的典型例题. 01，tan15(2)新课标A版第 130 页，第 例4(3)题(例题)求值: 01,tan150001，tan15tan45，tan15000【解析】 ,tan(45，15),tan60,30001,tan15
7、1,tan45tan15【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合. 3000sin(30)，,(3)新课标A版第 137页，第A5题(例题)已知,60,150,求的值. cos,5【经典理由】1.求三角函数值时，要注意角的范围;2.注意用已知角表示所求角. 6.考点交汇展示: (1)与三角函数的图像与性质的交汇 1fxxx()sin()cos(),，,【2017课标3，文6】函数的最大值为( ) 536631A( B(1 C( D( 555【答案】A ,，,coscossinxxx,，,，【解析】由诱导公式可得: ， ,6233,，16,，,，fxxxxsinsinsin，则: , ,53
8、353,6函数的最大值为 . 53 (2)与函数的奇偶性、单调性的交汇 221.【2017浙江，18】已知函数f(x)=sinxcosx sin x cos x(xR)( 23,2f()(?)求的值( 3(?)求的最小正周期及单调递增区间( f(x),2，k,，k,k,Z【答案】(?)2;(?)最小正周期为，单调递增区间为( ,63【解析】 ,2222222f,()sincos23sincos试题分析:(?)由函数概念，分别计算可得;(?)33333,2T,化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增y,Asin(,x，,),区间( ,，2.若,且,sinsin0,(则下
9、列结论正确的是( ) ,22，22,(A),，,0 (B) (C) (D), 【答案】D 4 ,【解析】考察函数，首先它是偶函数，其次在时，与都是增函数，x,0,yx,yx,sinyxx,sin122,且均不小于0，因此可证在上也是增函数.由得0,yxx,sin,sinsin0,222,sin，即，?，选D. ,sinsin,sin(3)与一元二次方程的交汇 3sin1cos2xx,，【2016高考上海文数】方程在区间上的解为_ . ,0,2,5或【答案】 66122sinx,3sinx1cos 2x,，3sinx22sinx,2sinx3sinx20，,【解析】，即，所以，解得或2,5或si
10、nx2,(舍去)，所以在区间上的解为. ,0,2,66(4)与平面向量的交汇 【2017江苏，16】已知向量 ab,(cos,sin),(3,3),0,xxx.(1)若a?b,求x的值; (2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值. fx(),abfx()x55x,0x,x,23【答案】(1)(2)时，取得最大值，为3; 时，取得最小值，为. 66fxxxxxx(),，ab(cos,sin)(3,3)3cos3sin23cos(2). 67x，,因为，所以， 6665 3从而. ,，,1cos()x62x，,x,0于是，当，即时，取到最大值3; 665x,x，,当，即时，取到最小值. ,236
11、6【考点分类】 热点一 利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值 1.【百强校】2017届宁夏石嘴山三中高三上学期月考一】已知,3123,cos(,),sin(,，,),则sin2,( ) 2413556563333,A. B. , C. D.65656565【答案】B 1tan2,，,tan2.已知，则的值为_. tan,，7【答案】3 1，2,，,tan()tan7【解析】 ,，,tantan()3.,2，1tan()tan,17【方法规律】 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用、的三角函数表示?的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统
12、一角和角与角转换的目的. (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan ，tan ,tan(，)?(1,tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等( (2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形6 应用后，才能真正掌握公式的应用. 【解题技巧】 在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时，要注意以下三个变换技巧: (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其方法通常是“配凑”，如: ,(),等
13、,，,2,(,，,)，(,)2,(,，,),(,)33,3,例.设为锐角，若，则 . ,sin,cos，,1265,2【答案】. 10(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其方法通常为“化切为弦”等， 00例.新课标A版第146 页，第 A5(2) 题(例题)计算. sin40(tan10,3)【答案】-1 000sin10sin103cos10,0000【解析】sin40(tan103)sin40(3)sin40() ,00cos10cos100000,2sin40cos40,sin80cos10,1 000cos10cos10cos10)变式:根据式子的结构特征进行变形，使其
14、更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有:“常(3130000sin10,3cos10,2(sin10,cos10)值代换”、“逆用变用公式”(同上例中 220000000000) ,2(sin30sin10,cos30cos10),2(cos30cos10,sin30sin10),2cos(30，10)【易错点睛】 在化简与求值时，一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系，往往起到“事半功陪”的效果. 7 ,13tan(),，,(2),sin2,tan(),例.已知，则( ) 52222,A(-2 B(-1 C( D( 1111【答案】A 43【解析】可得，则， ,tan2cos245
15、tan2tan(), tan()tan2()2.，,1tan2tan()，,热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值 331.【2016高考山东理数】函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x sin x)的最小正周期是( ) 3(A) (B) (C) (D)2 22【答案】B ,2,T,【解析】,故最小正周期,故选B. fxxxx2sin2cos2sin2,，,，,，,2663,22.【2016高考浙江理数】已知2cosx+sin 2x=Asin(x+)+b(A0)，则A=_，b=_( 1【答案】 2,2Ab,2,1.【解析】，所以 2cossin22sin(2)1xxx，,，4【方法
16、规律】 一、利用诱导公式化简求值时的原则 1(“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数( 2(“大化小”，利用公式一将大于360?的角的三角函数化为0?到360?的三角函数，利用公式二将大于180?的角的三角函数化为0?到180?的三角函数( 3(“小化锐”，利用公式六将大于90?的角化为0?到90?的角的三角函数( 4(“锐求值”，得到0?到90?的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得. 二、利用倍角公式化简求值 二倍角公式实际就是由两角和公式中令,所得(特别地，对于余弦:cos 2,cos2,sin2, 2cos2,1,1,2sin2，这三个公
17、式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现( 【解题技巧】 8 ,，,(1)拆角、拼角技巧:2,(，)，(,);,;,. (,，),(，,)22222(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等 【易错点睛】 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”( ,15,7例.已知是锐角，且，则的值为_.【答案】, ，,，cos()sin(2),96365,72,【解析】，,，sin2(),，cos2(),，,2cos()1. sin(2),966626(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等( ,171
18、,sin2,例.设，则( ) A( B(sin，,8844, 17,C(D(88 【答案】D( ,，17,2【解析】由已知及倍角公式得sin2cos212sin12.,，,，,，,( ,24168,，(3)变式:根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等( sinxcosxcos2x例.新课标A版第138 页，第 A19(3)题(例题)化简: 1sin4x【答案】 42sinxcosxcos2xsin2xcos2x2sin2xcos2x1sinxcosxcos2x,sin4x【解析
19、】. 2244【热点预测】 2018届安徽省六安市第一中学高三上第二次月考】 1.【A. B. -1 C. D. 1 【答案】D 【解析】， 故选:D. 9 22.【2016高考浙江文数】设函数，则的最小正周期( ) fx()fxxbxc()sinsin,，A(与b有关，且与c有关 B(与b有关，但与c无关 C(与b无关，且与c无关 D(与b无关，但与c有关 【答案】B 323.【2016高考新课标3理数】若, ，则( ) tancos2sin2,，,4644816(A) (B) (C) 1 (D) 252525【答案】A 34343sin,cos,sin,cos,【解析】由tan，得或，所以
20、555541612642,，,，, cos2sin24，故选A(2525251,2,sin24.已知，则( ) cos(),341122A( B( C( D( ,3333【答案】C ,1,1cos2，,1，1sin22,，,2,23【解析】cos，故选C. ,42223,sin2,5.若，且，则的值为( ) ,3cos2sin,24,111717 A. B. C. D. ,18181818【答案】D ,223cos23cossin3cossincossin,，【解析】， sin,，,4,10 ,3,2，所以 ？,sincoscossincossin,，2444442,2,cossin0,，所以
21、，由 3cossincossin,，sincossin0,，,42,2,22221sin2，,可得，两边平方得，即 ,，,cossincossin,cossin，,，,626,171，所以,，故选D. sin218183,，26.【2017课标II，理14】函数()的最大值是 。 fxxx,，,sin3cosx0,，,42，【答案】1 【解析】 7.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴1cos(),sin对称.若，=_. 37,【答案】 9【解析】 11 134,8.已知A是角终边上一点，且点的坐标为，则, ( A,255,，2sincos
22、cos25【答案】 33341125【解析】由题意,，因此( cos,sin,243355,，22sincoscos33，2()55521tan,，,9.【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】已知，sin()，则sin()53tan,的值为_. 7【答案】 1321,，,，,【解析】,，两式sin()sincoscossinsin()sincoscossin35713tan7,sincoscossin相加得，两式相减得，以上两式相除，得. ,3030tan13,310.【2016高考新课标1文数】已知是第四象限角,且sin(+)=,则tan()= . 4544,【答案】 312 5,
23、，sin(),25211.【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】已知，求,，sintan(),5,5,cos(),2的值. 55【答案】当为第一象限角时，;当为第二象限角时，. ,2225【解析】?， ,sin05?为第一或第二象限角. ,52当为第一象限角时， ,cos1sin55,，sin(),cossincos15,2. ，,，,，,tan()tan,5,sincossinsincos2,cos(),252为第二象限角时， 当,cos1sin515,原式. ,sincos23,12.如图在平面直角坐标系中点均在单位圆上已知点在第一象限的横坐标是点xOyABC,AB5C1,0.,
24、在第二象限点 ，sin2,(1)设求的值; ，,COA,AOB,(2)若为正三角形求点的坐标 B13 ,24343433,，【答案】 12,B，,251010,334,【解析】(1)因为点在单位圆上点在第一象限，点的横坐标是,所以点的坐标为根,.AAAA,555,xy3424据三角函数定义有，从而 ,cos,sinsin22sincos.rr5525,(2)因为点在单位圆上，,，COB,根据三角函数定义有,B3,1334331334,， xryr,，,，,，,cos()cossin,sin()cossin,3221032210,343433,，因此点的坐标为 ,.B,1010,03,13. 【
25、2017山东，理16】fxxx()sin()sin(),，,f()0,设函数，其中.已知. ,662(?)求; ,(?)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平yfx,(),3,移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值. ygx,()gx()4443,2,【答案】(?).(?)得最小值. 2,fxxx()sin()sin(),，,试题解析:(?)因为,， 6231,所以 fxxxx()sincoscos22125.145.20加与减（三）4 P68-7433,sincosxx 2214 （6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛
26、物线。（开口方向和大小由a来决定）13 ,3(sincos)xx22, ,3(sin)x,3第三章 圆,由题设知， f()0,6,kZ,所以，. k,63,，62kkZ,03,故，又， ,2所以. 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；104.305.6加与减（二）2 P57-6014.如图，在直角坐标系中，角,的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，xxOyA平方关系：商数关系：,，,)且,(将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点(记( A(x,y),B(x,y)B11226231x,(?)若，求x; 1234、加强口算练习，逐步提高学生计算的能力。AOC(?)分别
27、过xAB,作轴的垂线，垂足依次为CD,(记? BODSSSS,2,的面积为，?的面积为(若，求角的值( 121215 (1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）,13126,【答案】(?)(?),( ,x,，,cos()cossin243226,【解析】(?)由三角函数定义，得 ，x,，cos(),(2分 x,cos,2131,，,),因为 ， cos,623222所以 ( 3分 ,sin1cos,31. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角,13126所以 ( 5分 ,x,，,cos()cossin23226（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.16