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1、2011届高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线.doc2009届高考数学快速提升成绩题型训练圆锥曲线 1. 已知常数m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以a+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以b- 4a为方向向量的直线交于点P，其中?R( (1) 求点P的轨迹E; (2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的m,25圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =(若存在求出k的值;若不35存在，试说明理由( l2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F、F，直线过31
2、221tan,lF且与直线FF的夹角为，且，与线段FF的垂直平分线的交点,212122PQ:QF,2:1为P，线段PF与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，22求双曲线的方程. 253. 在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM|OM|,5,ON,OM15OT,MM，NN?y轴于M，过N作NN?x轴于点N，. 记点T的轨迹为曲线C，点11111A(5，0)、B(1，0)，过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q(点Q在A与P之间). (1)求曲线C的方程; (2)证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|; SB,tBQ. (3)过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若
3、，证明 AP,tAQ54. 已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F、F在轴上，x122AF,AF,0双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。 ,FAF1212(1) 求双曲线C的标准方程; (2) 若直线与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点)，l:y,kx，ml且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证:直线过定点，并求出该定点的坐标。 22xy5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。 A,3,23,1，91622PFF,3575xy,6、已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且12:，FPF,FPF=120，求的面积 12127、证明:双曲线上任意
4、一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值 22PAB8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦xyy，,1(0)AB,PPAB，,点，且过点。若，求双曲线的方程。 32229. 已知圆:x+y=c(c,0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍2得一椭圆。 ?求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数; ?设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。 MN,2PQ22xy10. 已知点(x,y)在椭圆C:(a,b,0)上运动 ，,122aby(,xy)?求点的轨迹C方程; x,3,?若把轨迹C的方程表达式记为:y=f
5、(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求0,3,椭圆C的离心率的取值范围。 22xyFCA11. 已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、，,1(a,b,0)22abBN两点，为弦的中点;又函数的图像的一条对称轴的方y,a,sinx，3b,cosx,程是x,。 6C(1) 求椭圆的离心率与k; eONM,C(2) 对于任意一点,试证:总存在角使等式: ,(,R)OM,cos,OA，sin,OB成立. 212. 已知圆k过定点A(a,0)(a,0),圆心k在抛物线C:y=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化, (2)当|OA|是|OM|与|ON
6、|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系, 22xy，13. 如图，已知椭圆=1(2?m?5),过其左焦点且斜率为1的直线与mm,1椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=|AB|,|CD| (1)求f(m)的解析式; (2)求f(m)的最值. 114. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线l:x,2的方程是过双曲线C的右焦点F的一条弦交双曲线右支于P、Q两y,3x.2点，R是弦PQ的中点. (1)求双曲线C的方程; (2)若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足PS,QS,0，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围
7、. 2x215. 设分别是椭圆的左，右焦点。 F,F，y,11245PPF,PF,(?)若是第一象限内该椭圆上的一点，且， 124P求点的坐标。 ，AOB(?)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角M(0,2)A,Blk(其中O为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围。 2y,ax(a,0),过抛物线C上一点P(x,y)(x,0)16. 抛物线C的方程为，作斜率000为的两条直线，分别交抛物线C于A两点(P、A、B三点k,k(x,y),B(x,y)121122互不相同)，且满足 k，,k,0(,0且,1).21(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程; BM,MA, (2)设直线AB上一点M满足
8、证明:线段PM的中点在y轴上; ,1 (3)当时，若点P的坐标为(1，1)，求?PAB为钝角时，点A的纵坐标的取 值范围. 17. 如图，已知点F(1，0)，直线l:x,1为平面上的动点，过P作直线l的垂QP,QF,FP,FQ.线，垂足为点Q，若 1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点M(,1，0)作直线m交轨迹C于A，B两点。 (?)记直线FA，FB的斜率分别为k,k，求k+k1212 的值; |MA|RA|(?)若线段AB上点R满足求证: ,|MB|RB|RF?MF。 18. 已知椭圆C的中心为坐标原点，F、F分别为它的左、右焦点，直 12线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使2
9、MF,MF,|MF|,|MF|,|MF|,|MF|.121212(1)求椭圆C的方程; PF,FQ，求,PFQ (2)若PQ为过椭圆焦点F的弦，且内切圆面积最大2221,时实数的值. 22xy19. 已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成C:，,1(a,b,0)22ab等边三角形. (1)求椭圆的方程; (2)过点Q(,1，0)的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=,4于点E，ABAB点Q分 所成比为，点E分所成比为，求证+为定值，并计算出该定值. 2220. 已知?M:轴上的动点，QA，QB分别切?M于A，Bx，(y,2),1,Q是x42两点，(1)如果，求直线MQ的方程; |AB|,
10、3(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程. 答案: 1. 解 (1) ?a+b = ( m,)，? 直线AP方程为y,(x,m);? m又b - 4a =(m, - 4), ? 直线NP方程为4;? y,(x，m),m22y4x222由?、?消去得 y,(x,m)，即 ( ，,1224mm22 故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆:x + y= 4; 2(,m,4,0)当m 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆: 2(0,4,m)当0 m 0，b0)，设F(c，0)，不妨设的方程为,1222ab2121，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的y,(x,c)P(0
11、,c)22222214c21c坐标为，由点Q在双曲线上可得，又， ab,3(c,c),122369a36b2y2a,1?，?双曲线方程为. b,3x,13 ,3. (1)设点T的坐标为，点M的坐标为，则M的坐标为(0，)， (x,y)(x,y)y125252525, ，于是点N的坐标为，N的坐标 ON,OM,(x,y)(x,y)155552525, 为，所以 (x,0)MM,(x,0),NN,(0,y).1155,x,x,25,OT,MM，NN,有(x,y),(x,0)，(0,y),所以 由 ,11255,yy,.,5,5, 由此得 x,x,y,y.222y5x2222,|OM|,5,有x，y
12、,5,所以x，(y),5,得，,1, 由 254即所求的方程表示的曲线C是椭圆. 3分 (2)点A(5，0)在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C 无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为 y,k(x,5).22,xy，,1,2222 由方程组得(5k，4)x,50kx，125k,20,0.54,y,k(x,5),552 依题意,20(16,80k),0,得,k,. 5555R(x,y),k, 当时，设交点P(x,y),Q(x,y),PQ的中点为， 0011225522x，xkk502512 则x，x,x,.12022k，k，254542k,k2520 ？y
13、,kx,k,(5)(5).0022k，k，5454又 |BP|,|BQ|,BR,l,k,k,1,BR20k2220k225k，4 k,k,k,1,20k,20k,4,BR2225k4,20k1,25k，422 而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.7分 20k,20k,4S(x,y),AP,(x,5,y),AQ,(x,5,y) (3)由题意有，则有方程组 111122xtx,5,(,5),(1),12,y,ty,(2)12,22,xy11 由(1)得 (5) x,t(x,5)，5,，,1,(3)1254,22,xy22,，,1.(4)54,222 将(2)，(5)代入(3)有
14、4t(x,5)，5，5ty,20. 2222 整理并将(4)代入得(t,1)，2(1,t)tx，5(1,t),0， 2t,32t,解得x,1,. 易知 2tSB,(1,x,y),BQ,(x,1,y) 因为B(1，0)，S，故，所以 (x,y)112211SB,tBQ,(1,x,y),t(x,1,y),(1,x,t(x,1),y,ty)11221212,(1,t(x,5),5,t(x,1),0),(,4,t(2x,6),0) 2226t,4,(,4,t(,6),0),(0,0),t？SB,tBQ. 22xy4. 解: (1)由题意设双曲线的标准方程为，由已知,1(a,0,b,0)22ab225c
15、a，ba,2be,得:解得 2aaAF,AF,0?且的面积为1 ,FAF12121222?|FA|,|FA|,2a,S,|FA|,|FA|,1, |FA|，|FA|,|FF|12,FAF121212122222? (|FA|,|FA|),4c,4,4a12?b,1,a,22x2?双曲线C的标准方程为。 ,y,14,，ykxm,2222(2)设，联立得 (4k,1)x，8kmx，4m，4,0E(x,y),F(x,y),x11222y,1,4,1k,l显然否则直线与双曲线C只有一个交点。 222222即 ,(8km),4(4m，4)(4k,1),04k,m,1,0km8,xx，,122,k,4,1
16、则 ,2m4，4,xx,122,k4,1,22又yy,(kx，m)(kx，m),kxx，km(x，x)，m 12121212?以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0) ?即 DE,DF,0(x,2,y),(x,2,y),0112222?(k，1)xx，(km,2)(x，x)，m，4,0 121224m，4,8km22? (k，1),，(km,2),，m，4,0224k,14k,122化简整理得 3m，16km，20k,01022m,2k,m,k? ，且均满足 4k,m,1,0123l当时，直线的方程为，直线过定点(2，0)，与已知m,2ky,k(x,2)1矛盾 101010m,ky,k(
17、x,)l当时，直线的方程为，直线过定点(，0) 233310?直线定点，定点坐标为(，0)。 l322xy5.求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。 A,3,23,1，91622xy解:设双曲线的方程为 ,22ab在双曲线上 A,3,23，2223，13, 得 ？,14916224xy所以双曲线方程为 ,19422PFF,6、已知分别是双曲线3575xy,的左右焦点，是双曲线上的一点，且12:，FPF,FPF=120，求的面积 121222xy解:双曲线可化为 ,12515PFmPFnFFc,2210设 1212,mna210由题意可得 ,222FFmnmn,，,:2cos12012
18、,22,mnmn，,2100即 ,22mnmn，,160,mn,20所以 1Smn,:,sin12053 ,FPF1227、证明:双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值 22xyaPxy,yx,解:设双曲线的方程为 所以渐近线方程为 ,1，oo22babbxay,bxay，aaooooPPyx,yx,到的距离 到的距离 d,d,122222bbab，ab，2222bxay,bxaybxay,，oooooo* dd,12222222ab，abab，22xy222222ooP又在双曲线上 所以 即bxayab, 1,oo22ab222222bxay,aboo故*可化为 dd,12222
19、2abab，22PAB8、已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦xyy，,1(0)AB,PPAB，,点，且过点。若，求双曲线的方程。 3,PPAB，,解:在半圆上 3133？,APAB1 ？,PAPy222,31132Px,在圆上 ？，,x1 即 ？,P,2422,又 221cABc,？,22,ab，,1222,abc，,1,1322可得？ ,xy,144,22,1ab,22,ab,23,23,31,422222 ？,，,？,4810aaa01,？,aab,22222xy,1所以双曲线方程为 2331,222229. 解:?设R(x,y)是圆:x，y=c上任一点，则S(x,y)在所求椭圆上
20、的点，22uu22，v,c设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得:故所求的椭22222xy2圆方程为:椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=？，,122222cc与c无关。 ?设直线l的方程为:x=,c，tcos ,y=tsin (t为参数，为倾斜角) ? 把?代入圆,22222的方程得:(,c，tcos)cos，(tsin)=c整理得:t,2ccost=0 ? ,PQ,t,t,2ccos,设?的两根为t、t,解得:t=0,t=2ccos ？,121212222把?代入椭圆方程得:(,c，tcos)+2(tsin)=2c 整理得: ,222(1+sin)t,2cc
21、ost,c=0 ? 设方程?的两根为t、t,由韦达定理: ,342,2c,coscMN,t,tt，t=,tt=,， 34343421，sin,1，sin,2222,4ccos4c8c222=，, MN,(t,t),(t，t),4tt34343422222(1，sin,)1，sin,(1，sin,)28c2222又故有:即 ,MN,2PQ,8ccos,MN,2PQ22(1，sin),222224cos(1+sin)=1整理得:又,0，) sin,(1,sin,sin,),0,5,15,12,sin,sin=0=0或sin=故得: ？,225,15,1,arcsin,arcsin,或。 225,1
22、5,1,arcsin,arcsin,综合得:=0或或。 ,2222,x,acos,xy10. 解:?椭圆C:的参数方程为:为参数)，又设点 ，,1(,22ybsin,ab,(x,y)是轨迹C上任意一点，则轨迹C的参数方程为: 00yb,x,tan220,abxtan0xa,y,ab,(为参数)消去参数得:把,0222211，tan,b，ax0,y,xy,absin2,02,22222x,yaxy,abx，by,0换成x,y，所求轨迹C的方程为: ? 0022abx?把方程?表达为函数解析式:，下证函数在 y,f(x),y,f(x)222b，axbb(0,)(,，,)上是增函数，在上是减函数。设
23、x,x,0， 12aa2a24ab(x,x)(1,xx)222212122abxabx12b作差= ? f(x),f(x),12222222222222b，axb，ax(b，ax)(b，ax)121222bab当,0时，则有0,于是得到:0,1故由?式知: xxxxxx12121222aab,0, f(x),f(x),f(x)f(x)121222bab当,时，则有,于是得到:,1故由?式知: xxxxxx12121222aab,0, f(x),f(x),f(x)f(x)1212bb(0,)(,，,)故得到函数在上是增函数，在上是减函数。因此y,f(x)aab在(上有最大值，当且仅当x,时取到最
24、大值。 y,f(x)0,，,)a23b3b1要使函数在内取到最大值，则只要,设椭圆,(0,)y,f(x)2a333a2226a,cc12,()半焦距为c，于是有,e,1 23a33a6即符合题意的离心率的取值范围是。 (,1)32211. 解:1)函数.又,故,为第a,0,b,0y,a,sinx，3b,cosx,a，9bsin(x，,)3btan,一象限角,且. a函数图像的一条对称轴方程式是: y,a,sinx，3b,cosx3b,222x,？，,？,？,3,a,b，c,得a,3b.又c为半点焦距，,6623ac6？c,2b,？e,. a3由a,3b知椭圆C的方程可化为 222x，3y,3b
25、 (1) 2b,0 又焦点F的坐标为()，AB所在的直线方程为 y,x,2b (2) 2)代入(1)展开整理得 (22 (3) 4x,62bx，3b,0设A()，B()，弦AB的中点N(x,y)，则是方程(3)的x,yx,yx,x0o112212两个不等的实数根，由韦达定理得 2323bb , (4) x，x,x,x,121224x，x32b12 , ？x,0242b2, y,x,b, 004y10 ？k,即为所求。 ONx30OBOA2)与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平OM面内的向量，有且只有一对实数使得等式成立。设,OM,OA，,OB由1)中各点的坐标可得: M
26、(x,y),(x,y),(x,y)，,(x,y).1122？x,x，,x,y,y，,y.1212C又点在椭圆上，代入(1)式得 M(x,y)222(,x，,x)，3(,y，,y),3b, 12122222222,(x，3y)，,(x，3y)，2,(xx，3yy),3b化为: (5) 11221212由(2)和(4)式得 2222xx，3yy,xx，3(x,2b)(x,2b),4xx,32b(x，x)，6b,3b,9b，6b,0.121212121212222222x，3y,3b,x，3y,3b,又两点在椭圆上，故1有入(5)式化简得: A,B112222 ,，,122,1,1,1,由得到又是唯
27、一确定的实数，且，故存在角,，,，,1222,cos,使成立，则有 ,1,sin,？,sin,.若，则存在角使等式OM,cos,OA，sin,OB成立;若,sin,(,R),由与于是用代换，同样证得存在,sin,sin,sin(,)cos,cos(,),角使等式:OM,cos,OA，sin,OB成立. ,(,R)M,C综合上述，对于任意一点，总存在角使等式:,(,R)OM,cos,OA，sin,OB成立. 212. 解:(1)设圆心k(x,y),且y=2ax, 00002222圆k的半径R=|AK|= (x,a)，y,x，a00022222?|MN|=2=2a(定值) R,x,2x，a,x00
28、0?弦MN的长不随圆心k的运动而变化. 2222(2)设M(0,y)、N(0,y)在圆k:(x,x)+(y,y)=x+a中， 12000222令x=0，得y,2yy+y,a=0 0022?yy=y,a 120?|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ?|OM|+|ON|=|y|+|y|=2|OA|=2a. 12又|MN|=|y,y|=2a 12?|y|+|y|=|y,y| 1212222?yy?0，因此y,a?0,即2ax,a?0. 1200a?0?x?. 02a22圆心k到抛物线准线距离d=x+?a,而圆k半径R=?a. x，a002且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交. 2213.
29、 解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a=m,b=m222,1,c=a,b=1 ?椭圆的焦点为F(,1,0),F(1,0). 122a故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=?,即x=?m. c?A(,m,m+1),D(m,m+1) yx,，1,2222考虑方程组,消去y得:(m,1)x+m(x+1)=m(m,1) ,xy，,1,mm,1,221)x+2mx+2m,m=0 整理得:(2m,222=4m,4(2m,1)(2m,m)=8m(m,1) ,2m?2?m?5,?,0恒成立，x+x=. BC2m,1A、B、C、D都在直线y=x+1上 又?|AB|=|x,x|
30、=(x,x)?,|CD|=(x,x) 222BABADC?|AB|,|CD|=|x,x+x,x|=|(x+x),(x+x)| 22BADCBCAD又?x=,m,x=m,?x+x=0 ADAD,2m22m?|AB|,|CD|=|x+x|?=|?= (2?m?5) 22BC2m1,2m22m故f(m)=，m?,2,5,. 2m22m22(2)由f(m)=，可知f(m)= 12m2,m111又2,?2,?2, 25m10242,?f(m)?, 9310242故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5. 9322xy14. 解:(1)设双曲线C的方程为， ,1(,0)3,x,即x
31、,.则它的右准线方程为 22,2y2,已知得=1，则=1，所以所求双曲线C的方程是 x,1.3PS,QS,0,(2)因为点R在直线m上的射影S满足 所以PS?QS，即?PSQ是直角三角形. 1|PQ|a(a,),x,a,所以点R到直线m:x=的距离为|RS|= R22即? |PQ|,2xR,2a|PF|FQ|22又 ,2.11XP,22|PQ|=|PF|+|FQ|=2(x,x,1)=4XR,2? 所以22PQ将?代入?，得 x,1,a.R又P、Q是过右焦点F的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦2PQ的中点. 所以 xR,2,即1，a,2,所以a,1.故所求a的取值范围是a?,1. a
32、,2,b,1,c,315. 解:(?)易知。 ？F(,3,0),F(3,0).设p(x,y)(x,0,y,0).则 1225x22， PF,PF,(,3,x,y)(3,x,y),x，y,3,又，y,112447,222x,1,x，y,x,1,3,4,联立，解得， p(1,),33222xy,y,2,y，,14,2,4,(?)显然 x,0不满足题设条件可设 l的方程为y,kx，2,设A(x,y),B(x,y).11222,x2，y,1,2222联立 ,x，4(kx，2),4,(1，4k)x，16kx，12,04,y,kx，2,1216k？xx,x，x, 1212221，4k1，4k22222,(
33、16k),4,(1，4k),12,016k,3(1，4k),0,4k,3,0由 321k,得 ? 4，AOB为锐角,cos，AOB,0,OA,OB,0又， ？OA,OB,xx，yy,0 12122又 yy,(kx，2)(kx，2),kxx，2k(x，x)，4121212122 ？xx，yy,(1，k)xx，2k(x，x)，4121212122121612(1，k)2k,16k2 ,(1，k),，2k(,)，4,，422221，4k1，4k1，4k1，4k24(4,k)122 ? ,0,？,k,4.241，4k333212综?可知 ,k,4,？k的取值范围是(,2，,):(，2)422216.
34、(1)由抛物线C的方程得， y,ax(a,0)11(0,),准线方程为y,.焦点坐标为 4a4a(2)设直线PA的方程为y,y,k(x,x),直线PB的方程为y,y,k(x,x) 010020,yyk(xx),? 010点P(x,y)和点A(x,y)的坐标是方程组 的解 ,00112 ,yax,? 2ax,kx，kx,y,0将?式代入?式，得， 1100kk11x，x,故x,x于是 ? 1010aa,yyk(xx),? 010P(x,y)和点B(x,y)的坐标是方程组又点 的解 ,00222? ,yax,2ax,kx，kx,y,0将?式代入?式，得， 2200kk22x，x,故x,x于是 20
35、20aa,k,k,则x,k,x.由已知得， ? ,21210a,x，x21,xyBM,MAx,(,),则,则.设点M的坐标为 MMM，,1,x,x00x,x,即x，x,0.将?式和?式代入上式，得 M0M0,1，所以线段PM的中点在y轴上 (3)因为点P(1，,1)在抛物线22 y,ax上,所以a,1,所以抛物线的方程为y,x.22由?式知 x,k,1,代入y,x,得y,(k，1)111122将,1代入?式得 x,k,1,代入y,x,得y,(k,1)2111PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 因此，直线PA、22A(,k,1,k,2k,1),B(k,1,k，2k,1).111112于是,A
36、P,(k，2,k，2k),AB,(2k,4k)111112所以AP,AB,2k(k，2)，4k(k，2k),2k(k，2)(2k，1),11111111因为，PAB为钝角且P,A,B三点互不相同,故必有AP,AB,012求得k的取值范围是k,2或,k,0.又点A的纵坐标y满足y,(k，1)1111112112,1;0,1k,时y,当,k,时,y,故当 111241y,(,1):(,1,)即 1417. 解:(1)设点 P(x,y),则Q(,1,y),QP,QF,FP,FQ得:由 2(x，1,0),(2,y),(x,1,y),(,2,y),化简得C:y,4x (2)(?)由题意直线m斜率存在且不
37、为0， 设直线与抛物线方程联立 m:u,k(x，1)y,k(x，1),2222kx，(2k,4)x，k,0 得 ,2y,4x,k,0, ,0,？,1,k,1且k,024,2k设 A(x,y),B(x,y)则x，x,xx,1111112122kyy12 k，k,，11x,1x,112k(x，1)k(x，1)2(x，x),41212 ,，,k(2，),0x,1x,1xx，1,(x，x)121212x，1x，12xx，x，x121212(?)设动点R (x,y),由,得x,1x,xx,xx，x，21212？RF,MF 22xy2218. 解:(1)据题意，设椭圆C的方程为 ， ，,1(a,b,0),
38、c,a,b22ab2a?直线x=4 为椭圆C的准线， ? ,4c|MF|,|MF|又， ?M为椭圆C短轴上的顶点， 12MF,MF112?|2,cos， MF,MF,MF,MF？，FMF,1212122|MF,MF12?，?FMF为等边三角形 ，FMF,60:12122a,|MF|,|MF|,2c，故a,4c,2a,？a,2,c,1? 1122xy22221且，?椭圆C的方程为 ，,1b,a,c,2,1,343(2)显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时， 22b2，3 |PQ|,3,|FF|,212a21S,，3，2,3.? ,PFQ12当直线PQ斜率存在时，设
39、它的斜率为k， 则直线PQ的方程为，代入椭圆C的方程，消去x的并整y,k(x,1)(k,0)理得: 222222(4k，3)y，6ky,9k,0,36k，36k(4k，3),0，设P(x,y),Q(x,y),11222,6k,9ky，y,y,y, 则 1212224k，34k，321112(1，k)2|PQ|,1，,|y,y|,1，,(y，y),4y,y,? 121212222kk4k，3t,322.设4k+3=t，则t3，此时 k,4tt,3,32()，114244S,12,3,3(，)，. ,PFQ21t33t110,？0,S,3.? ,PFQ1t3综上，直线PQ与x轴垂直时，?PFQ的面
40、积最大，且最大面积为3. 1设?PFQ内切圆半径为r，则 111 S,(|PF|，|PQ|，|QF|),r,(|PF|，|PF|，|QF|，|QF|),r,4R,PFQ111212122334r,3,r,，即r,?时，?PFQ内切圆面积最大，此时不存在，直线PQ144PF,FQ，即,1.与x轴垂直，? 222,2b2a,2,1x,21)由条件得19. 解(,，所以方程 ，y,1a,b,14,2,ba,l:y,k(x，1),A(x,y),B(x,y),E(,4,y) (2)易知直线l斜率存在，令 11220y,k(x，1),222222由 ,(1，4k)x，8kx，4k,4,0,48k，16,0
41、,x2，y,1,4,228k4k,4x，x,xx, 1212221，4k1，4k,，,，(x1)(x1)(1),12,，即AQQB(1x,y)(x1,y)由 ,1122,yy12,由,(，4),(，4)(2)xx,11,(,4,),(，4,)AEEBxyyxyy即 ,101220yy,yy,(,)0120,x，1x，411,(2),由(1) ,由,x，1x，422(x，1)(x，4)，(x，4)(x，1)2xx，5(x，x)，812121212 ？，,(x，1)(x，4)(x，1)(x，4)2222228k4k,4将代入有 x，x,xx,1212221，4k1，4k222228k,840k8k
42、,8,40k，8，32k,，82221，4k1，4k1，4k？,，,0 (x，1)(x，4)(x，1)(x，4)2222|AB|221422222|MP|,|MA|,(),1,(),20. 解:(1)由，可得由|AB|,23332射影定理，得 在Rt?MOQ中， |MB|,|MP|,|MQ|,得|MQ|,3,2222 ， |OQ|,|MQ|,|MO|,3,2,5故， a,5或a,5所以直线AB方程是 2x，5y,25,0或2x,5y，25,0; (2)连接MB，MQ，设由 P(x,y),Q(a,0),点M，P，Q在一直线上，得 2y,22,(*)由射影定理得|MB|,|MP|,|MQ|, ,a
43、x222即 把(*)及(*)消去a， x，(y,2),a，4,1,(*)7122x，(y,),(y,2).并注意到，可得 y,2 4161、知识框图: 2、知识归纳: 名 称 椭圆 双曲线 图 象 平面内到两定点的距离的和为平面内到两定点的距离的差的绝 常数(大于)的动点的轨迹叫椭 对值为常数(小于)的动点的轨圆即 迹叫双曲线即 定 义 当2，2时，轨迹是椭圆， 当2，2时，轨迹是双曲线 当2,2时，轨迹是两条射线 当2,2时，轨迹是一条线段 当2，2时，轨迹不存在 当2，2时，轨迹不存在 焦点在轴上时: 标准焦点在轴上时: 方 程 焦点在轴上时: 注:根据分母的大小来判断焦点在哪一焦点在轴上
44、时: 坐标轴上 常数， ， 的关 最大， 最大，可以 系 焦点在轴上时: 渐近 线 焦点在轴上时: 抛物线: 图形 方程 焦点 准线 3、椭圆的性质:由椭圆方程 (1)范围:，椭圆落在组成的矩形中。 (2)对称性:图象关于y轴对称，图象关于x轴对称。图象关于原点对称。 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点:，。 叫椭圆的长轴，长为2 a，叫椭圆的短轴，长为2b。 (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。() (5)椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 (6)椭圆的准线方程 对于，左准线;右准线