最新届高考数学快速提升成绩题型训练——立体几何中求角与距离优秀名师资料.doc

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1、2009届高考数学快速提升成绩题型训练立体几何中求角与距离2009 1. 四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PB?面ABCD. （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60?，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90? 20 如图，直三棱柱ABC-ABC的底面ABC为等腰直角三角形，?ACB=90，AC=1，1113C点到AB的距离为CE=，D为AB的中点. 12（1）求证：AB?平面CED； 1（2）求异面直线AB与CD之间的距离； 1（3）求二面角BC1ACB的平面角. 1A1B1 CE BAD3. 如图al,是120?的二

2、面角，A，B两点在棱上，AB=2，D在内，三角形ABD是等腰直角三角形，?DAB=90?，C在,内，ABC是等腰直角三角形,0?ACB=90. （I） 求三棱锥DABC的体积； （2）求二面角DACB的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角. 4. 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图?若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图?则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值 图? 图? 5. 已知三棱锥PABC中，PC?底面ABC，AB=BC， D、F分别为AC、PC的中点，DE?AP

3、于E （1）求证：AP?平面BDE； （2）求证：平面BDE?平面BDF； （3）若AE?EP=1?2，求截面BEF分三棱锥 PABC所成两部分的体积比 6. 如图，几何体ABCDE中，?ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点. （1）求证：FD?平面ABC； （2）求证：AF?BD； (3) 求二面角BFCG的正切值. 7. 如图，正方体ABCDABCD的棱长为1，P、Q分别是线段AD和BD上的点，11111且 DP?PA=DQ?QB=5?12. 1(1) 求证PQ?平面CDDC； 11(2) 求证PQ?AD； (3) 求

4、线段PQ的长. 8. 如图4，在长方体ABCD,ABCD中，AD=AA=1，AB=2，点E在棱AB z 11111CD 11上移动。 1B （?）证明：1DEAD,； 11y AC （?）当E为AB的中点时，求点E到面 D x A 图4 B E ACD的距离； 1, （?）AE等于何值时，二面角DECD,的大小为。 149. 如图，在正三棱柱ABCABC中，各棱长都相等，D、E分别为AC，BB的11111中点。（1）求证：DE?平面ABC；（2）求二面角ADEB的大小。 11111AA1 DC1CBBE110如图：已知直三棱柱ABCABC，ABAC，F为棱BB上一点，BF?FB111112?1

5、，BFBC2a。 （I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF?FC； 1（II）试问：若AB2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BBCC成60?11角，为什么？证明你的结论 11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，AD?BC，?ABC90?，且PABCD,5?ADC,arcsin，又PA?平面ABCD，AD3AB3PA3a。 5（I）求二面角PCDA的正切值； （II）求点A到平面PBC的距离。 PDABC12.在直三棱柱ABCABC中，CA=CB=CC=2，?ACB=90?，E、F分别是BA、1111BC的中点，G是AA上一点，且AC?EG. 11（?）确定点G的

6、位置； （?）求直线AC与平面EFG所成角的大小. 113.已知四棱锥PABCD，底面ABCD是菱形，DAB,60:,PD,平面ABCD，PD=AD， 点E为AB中点，点F为PD中点. （1）证明平面PED?平面PAB； （2）求二面角PABF的平面角的余弦值 14.在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，O是正方形ABCD的中心，点P在11111111棱CC上，且CC=4CP. 11(?)求直线AP与平面BCCB所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； 11D1 C(?)设O点在平面D1 AP上的射影是H，求证：DH?AP； 11O ? (?)求点P到平面ABD的距离. 1A1 B1 ?

7、H P D C A B 15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F。 (I)证明 平面； (II)证明平面EFD； (III)求二面角的大小。 16.如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，点E是棱BC的中点，点F1111是棱 CD上的动点. （I）试确定点F的位置，使得DE?平面ABF； 11（II）当DE?平面ABF时，求二面角CEFA的大小（结果用反三角函数值111表示）. 17.如图，直四棱柱ABCD-ABCD的底面是 1111梯形，AB?CD，AD?DC，CD=2，DD=AB=1，P、Q分别是CC、CD的中点。点1111P到直线

8、 QD1C321AD的距离为 12AB?求证：AC?平面BPQ 11P?求二面角B-PQ-D的大小 CD BA 18.已知长方体ABCDABCD中，AB=BC=4，AA=8，E、F分别为AD和CC的111111中点，O为下底面正方形的中心。 1D （?）证明：AF?平面FDB； C11E（?）求异面直线EB与OF所成角的余弦值； 1AB F C1D 1O 1HA B1119. 图?是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题： （1）求MN和PQ所成角的大小； （2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比； （3）求

9、二面角MNQP的大小。 20. 如图，已知四棱锥PABCD，PB?AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120?。 （1）求点P到平面ABCD的距离； （2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。 答案： 1. （1）正方形ABCD是四棱锥PABCD的底面, 其面积 为2a,从而只要算出四棱锥的高就行了. 面ABCD, ？PB,?BA是PA在面ABCD上的射影.又DA?AB， ?PA?DA， ?PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， ?PAB=60?. 3 而PB是四棱锥PABCD的高，PB=AB?tg60?=a, 132

10、3 . ？V,3a,a,a锥33（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE?DP，垂足为E，连结EC，则?ADE?CDE， ,是面PAD与面PCD所成的二面角的平面？AE,CE,，CED,90,故，CEA角. 设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO?AC， 2 ？a,OA,AE,AD,a. 2222AE，EC,(2,OA)(AE，2OA)(AE,2OA) 在 ,AEC中,cos，AEC,0.22AE,ECAE故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90?. 02. （1）?D是AB中点，?ABC为等腰直角三角形，?ABC=90，?CD?AB又AA?平面ABC

11、，?CD?AA. 11?CD?平面ABBA ?CD?AB，又CE?AB， ?AB?平面CDE； 11111（2）由CD?平面ABBA ?CD?DE 11?AB?平面CDE ?DE?AB11 ?DE是异面直线AB与CD的公垂线段 123?CE=.，AC=1 , ?CD= 22122?DE,CE,CD,()()； 2（3）连结BC，易证BC?AC，又BC?AC , 11?BCB是二面角BACB的平面角. 113在Rt?CEA中，CE=，BC=AC=1, 20 ?BAC=601122AB,2?， ?, BB,(AB),(AB),21112cos60BB1? ，BCB,arctg2tg，BCB,2 ,

12、 ?. 11BC3. (1) 过D向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E. ,？AB,AD,OA为DA在平面,上的射影,？AB,OA？，DAE为二面角al,？AD,AB,2,？DO,3，DAE,120,？，DAO,60.的平面角. ？S,1,？,ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2.又D到平面的距离,ABCDO=3. 3？V,. D,ABC3（2）过O在,内作OM?AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC?DM.?DMO 为二面角DACB的平面角. 又在?DOA中，OA=2cos60?=1.且2,，OAM,，CAE,45,？OM,.？tg，DMO,6.？，DMO,arctg6. 2（

13、3）在,平在内，过C作AB的平行线交AE于F，?DCF为异面直线AB、CD,所成的角. ？AB,AF,？CF,AF？CF,DF,又，CAF,45,即,ACF为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距离，即?ABC斜边上的高,？AF,CF,1. DF222,？DF,AD，AF,2AD,AFcos120,7.？tg，DCF,7.？tg，DCF,7.CF7.异面直线AB,CD所成的角为arctg 4. 设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为, a,23x3a2？V(x),x,(a,23x)(0,x,)423 31,43x,(a,23x)(a,23x)4433x，a,x，a,xa 14323233.

14、,()163543a3 当且仅当 . x,a,x即x,a时V,4323,.max18543故当容器的高为a3时，容器的容积最大，其最大容积为 .a54185. (1）?PC?底面ABC，BD,平面ABC，?PC?BD 由AB=BC，D为AC的中点，得BD?AC又PC?AC=C，?BD?平面PAC 又PA,平面、PAC，?BD?PA由已知DE?PA，DE?BD=D，?AP?平面BDE （2）由BD?平面PAC，DE,平面PAC，得BD?DE由D、F分别为AC、PC的中点，得DF/AP 由已知，DE?AP，?DE?DF. BD?DF=D，?DE?平面BDF 又？,DE平面BDE，?平面BDE?平面

15、BDF （3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h和h则 12h?h=EP?AP=2?3, 121,hS1,PBF 21VV3P,EBFE,PBF ？,.13,23VVP,ABCA,PBC,hS2,PBC3故截面BEF分三棱锥PABC所成两部分体积的比为1?2或2?1 6. ?F、G分别为EB、AB的中点， 1?FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， 2?四边形FGCD为平行四边形，?FD?GC，又GC面ABC， ,?FD?面ABC. （2）?AB=EA，且F为EB中点，?AF?EB ? 又FG?EA，EA?面ABC ?FG?面ABC ?G为等边?ABC，AB边的中点，?A

16、G?GC. ?AF?GC又FD?GC，?AF?FD ? 由?、?知AF?面EBD，又BD,面EBD，?AF?BD. （3）由（1）、（2）知FG?GB，GC?GB，?GB?面GCF. 过G作GH?FC，垂足为H，连HB，?HB?FC. ?GHB为二面角B-FC-G的平面角. 易求3a23. GH,a,？tg，GHB,233a27. （1）在平面AD内，作PP?AD与DD交于点P，在平面AC内，作 1111QQ?BC交CD于点Q，连结PQ. 1111DPDQ51 ? /, ?PPQQ . 11PAQB12由四边形PQQP为平行四边形, 知PQ?PQ 1111 而PQ平面CDDC， 所以PQ?平面

17、CDDC ,111111（2）？AD?平面DDCC， ?AD?PQ 1111又?PQ?PQ， ?AD?PQ. 11（3）由（1）知P/QPQ, 11 DQDQ55121，而棱长CD=1. ?DQ=. 同理可求得 PD=. ,11QCQB1217171在Rt?PDQ中，应用勾股定理, 立得 112212513,22PQ=. PD，DQ,，,11,1171717,8. 建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A(1,0,1)，D(0,0,1)，AEa,11， Ea(1,0)，。 A(1,0,0)C(0,2,0)（?）证明：由， DA,(1,0,1)DEa,(1,1,1)11DEAD,，有，于是。 DA

18、DEa,(1,0,1)(1,1,1)110DADE,111111（?）E是AB的中点，得。 E(1,1,0)AC,(1,2,0)？，。 DE,(1,1,1)AD,(1,0,1)11设平面ACDn的法向量为，单位法向量为， nxy,(,1)10x,1,nAC,0(,1)(1,2,0)0xy,，,xy20,由，解得。 ,1,y,nAD,0(,1)(1,0,1)0xy,，,x10,1,21(1,1)2121 于是2n,(,)n,(1,1)，有。 03332111，4设点E到平面ACDd的距离为，则 12121dDEn,(1,1,1)(,)。 1033331 所以点E到平面ACD的距离为。 13（?）

19、平面n,(0,0,1)DECnxy,(,1)DEC的法向量，设平面的法向量。 112ECa,(1,2,0)又，。 DC,(0,2,1)1,nEC,0(,1)(1,2,0)0xya,2 由，得 ,nDC,0(,1)(0,2,1)0xy,21,a,x,1,，,xya(2)0a1,2，解得，于是n,(1,1)。 ,2122210y,y,2,设所求的二面角为,，则。 ,4a1(0,0,1)(1,1),2a1222 有,coscos,DDn(1)12,，,，得。 12224a12(1)1,，24解得a,23， ,所以，当AE=23,DECD,时，二面角的大小为。 149. （1）取AC中点F，连结BF，

20、DF，?DE分别为AC和BB的中点，DF?AA， 1111111DF=（1/2）AA，BE?AA，BE=（1/2）AA，?DF?BE，DF=BE，?DEBF为平11111111行四边形，?DE?BF，又BF在平面ABC内，DE不在平面ABC，?DE?平11111111面ABC 111（2）连结AD，AE，在正棱柱ABCABC中，因为平面ABC?平面ACCA，1111111111AC是平面ABC与平面ACCA的交线，又因为BF在平面ABC内，且BF111111111111?AC，所以BF?平面ACCA，又DE?BF，所以DE?平面ACCA所以?FDA111111111为二面角ADEB的平面角。并

21、且?FDA=（1/2）?ADC，设正三棱柱的棱111110长为1，因为?AAC=90，D是AC的中点，所以1112200DC,AD,，ADC,90,？，FDA,45,即为所求的二面角的度数。 111112210（I）连结DF，DC ?三棱柱ABCABC是直三棱柱， 111?CC?平面ABC，?平面BBCC?平面ABC 111?ABAC，D为BC的中点，?AD?BC，AD?平面BBCC 113 ?DF为EF在平面BBCC上的射影， 1122222222 在?DFCDCCC中，?DFBFBD5a，DC10a， 1112222222 FCBFBC5a， ?DCDFFC，?DF?FC 1111111F

22、C?EF 1（II）?AD?平面BBCC，?DFE是EF与平面BBCC所成的角 1111在?EDF中，若?EFD60?，则EDDFtg60?35a15a?， ?15a3a，?E在DA的延长线上，而不在线段AD上 故线段AD上的E点不能使EF与平面BBCC成60?角。 1111. 解：（1）在底面ABCD内，过A作AE?CD，垂足为E，连结PE PHDACBE?PA?平面ABCD，由三垂线定理知：PE?CD ?PEA是二面角PCDA的平面角 535 在ADaADE,，,3，arcsin？,，,AEADADEasin中， RtAED,555PA5 在tan，,PEA中，?二面角PCDA的正切值为

23、RtPAE,3AE3（II）在平面APB中，过A作AH?PB，垂足为H?PA?平面ABCD，?PA?BC 又AB?BC，?BC?平面PAB?平面PBC?平面PAB ?AH?平面PBC 故AH的长即为点A到平面PBC的距离 在等腰直角三角形PAB中，22aAHa,，所以点A到平面PBC的距离为 2212. 解法一：（?）以C为原点，分别以CB、CA、CC为x轴、y轴、z轴建立空间直1角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C（0，0，2）， 1AC,(0,2,2)1设G（0，2，h），则 EG,(,1,1,h).？AC,EG,？EG,AC,0.11?10+1（2）+2h

24、=0. ?h=1，即G是AA的中点. 1（?）设是平面EFG的法向量，则 m,(x,y,z)m,FE,m,EG.0，x，1，y，0，z,0,所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1） ,x，y，z,0.,|m,AC|211? sin,22，22|m|,|AC|1,?， 即AC与平面EFG所成角为 ,166解法二：（?）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED/BC ?BC?AC，?ED?AC. 又CC?平面ABC，而ED平面ABC，?CC?ED. ,11?CC?AC=C，?ED?平面AACC. 111又?AC?EG，?AC?DG. 11连结AC，?AC?AC，?AC/DG. 1111?D是AC

25、的中点，?G是AA的中点. 1 （?）取CC的中点M，连结GM、FM，则EF/GM， 1?E、F、M、G共面.作CH?FM，交FM的延长线于H，?AC?平面BBCC， 111CH,平面BBCC，?AC?GH，又AC/GM，?GM?CH. ?GM?FM=M， 11111?CH?平面EFG，设AC与MG相交于N点，所以?CNH为直线AC与平1111面EFG所成角. ,221因为 CH,CN,2,？sin,？,.,112262213 （1）证明：连接BD. ？AB,AD,，DAB,60:,？,ADB为等边三角形. ？AB,DE.是AB中点， ？E？AB,PD.,面ABCD，AB面ABCD， ？PD,

26、面PED，PD面PED，DE:PD,D,？AB,面PED. ？DE,？面PED,面PAB，面PAB. ？AB,（2）解：,？AB,PE.平面PED，PE面PED， ？AB,连接EF，？AB,EF.PED， ？EF,为二面角PABF的平面角. ？，PEF设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3. 在,PEF中,PE,7,EF,2,PF,1, 22(7)，2,157 ？cos，PEF,142，2757.即二面角PABF的平面角的余弦值为 14414、解（1） ，,APBarctan1717（2）略 3（3）2 215.方法一： (I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。 底面ABCD是正方形

27、，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，。 而平面EDB且平面EDB， 所以，平面EDB。 (II)证明：底在ABCD且底面ABCD， ? 同样由底面ABCD，得 底面ABCD是正方形，有平面PDC 而平面PDC， ? 6分 由?和?推得平面PBC 而平面PBC， 又且，所以平面EFD (III)解：由(II)知，故是二面角的平面角 由(II)知， 设正方形ABCD的边长为，则在中， 在中， 所以，二面角 的大小为 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设 (I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。 依题意得底面ABCD是正方形， 是此正方形的中心， 故点G的坐标为且 。这表

28、明。 而平面EDB且平面EDB，平面EDB。 (II)证明：依题意得。又故 由已知，且所以平面EFD。 (III)解：设点F的坐标为则 从而所以 由条件知，即 解得 。 点F的坐标为且 即，故是二面角的平面角。 且 16本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分. 解法一：（I）连结AB，则AB是DE在面ABBA；内的射影 1111?AB?AB，?DE?AB， 1111于是DE?平面ABFDE?AF. ,111连结DE，则DE是DE在底面ABCD内的射影. 1?DE?AFDE?AF. ,1?ABCD是正方形，E是BC的中点. ?当且仅当F是CD的中点时

29、，DE?AF， 即当点F是CD的中点时，DE?平面ABF.6分 11（II）当DE?平面ABF时，由（I）知点F是CD的中点. 11又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF?BD. 连结AC， 设AC与EF交于点H，则CH?EF，连结CH，则CH是 1CH在底面ABCD内的射影. 1CH?EF，即?CHC是二面角CEFC的平面角. 11121 在Rt?CCH中，?CC=1，CH=AC=， 1144CC11,22 ?tan?CHC=. 1CH24?C22,arctan22HC=arctan，从而?AHC=. 11故二面角C,arctan22EFA的大小为. 1解法二：以A为坐标原点，建立如图所示

30、的空间直角坐标系 （1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0）， 1 A（0，0，1），B（1，0，1），D（0，1，1），E，F（x，1，0） (1,0)1121？DE,(1,1),AB,(1,0,1),AF,(x,1,0)112？DE,AB,1,1,0,即DE,AB1111 1于是DE,平面ABF,DE:AF,DE,AF,0,x,0111121即x,.故当点F是CD的中点时,DE,平面ABF112（1）当DE?平面ABF时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，11则EF?BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH?EF. 连结CH，则CH是1CH在底

31、面ABCD内的射影. 1?CH?EF，即?AHC是二面角CEFA的平面角. 11133？C(1,1,1),H(,0),1441133？HC,HA,(,1),(,0).14444HA,HC 1？cos，AHC, 1HA,HC|13,18,399，88 17、?连接CD ?P、Q分别是CC、CD的 1111中点。?CD?PQ 故CD?平面BPQ 11又DQ=AB=1，DQ?AB， 11QD1C1得平行四边形ABQD，故AD?平面BPQ 11HF B1PE A1 G CDBA?平面ACD?平面BPQ 1?AC?平面BPQ （4分） ?设DD中点为E，连EF，则PE?CD 1?CD?AD，CD?DD

32、?CD?平面ADD11 ?PE?平面ADD 1过E作EF?AD于F，连PF。则PF?AD，PF为点P到直线AD的距离 1111322PF=，PE=2 ?EF= 又DE=，DD=1，?AD=1 11222取CD中点G，连BG，由AB?DG，AB=DG得GB?AD。?AD?DC，AD?DD1?AD?平面DCCD，则BG?平面DCCD 1111过G作GH?PQ于H，连BH，则BH?PQ，故?BHG是二面角B-PQ-D的平面角。 25 由?GHQ?QCP得GH=，又BG=1，得tan?BHG= 1255?二面角B-PQ-D大小为arctan 218、解 本题考查空间的线面关系，向量法及其运算。 （?）

33、证法一：如图建立空间直角坐标系。则D（0，0，0）、O（2，2，0） 11B（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，1Z4，8）、 F（0，4，4）。 EDC=（-4，4，-4），=（0，4，4）， AFDF1ABF=（-4，0，4） BF1DC1=0+16-16=0，=16+0-16=0 AFDFAFBF111OY1A1?AF?平面FDB. 11B1证法二：连结BF、DF，则BF是AF在面BC上的射1x影，易证得BF?BF， 1DF是AF在面DC上的射影，也易证得DF?DF，所 11以AF?平面FDB. 11（?）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4） EBOF1D

34、C设,与的夹角为，则 EBEOF1ABEBOF302(2)420，,，1cos,= 2222230F|EBOF24(2)24，,，1解法二：在BC上取点H，使BH=1，连OH和FH。 1111C1D1O1HAB11 O易证明OH?EB，则?FOH为异面直线EB与F所成角。 111122又O5H=BE=，HF=5， 3，412222O2，2，46F=2， 1?在?OHF中，由余弦定理，得 13024，5,25cos?FOH= 1302,5,2619. （1）如图?，作出MN、PQ ?PQ?NC，又?MNC为正三角形 ?MNC60? ?PQ与MN成角为60? 1（）?2VVSMQ,MNPQQPMN

35、PMN,3 11,?2SMQSMQ,PMNPMDN661,V正方体 6 即四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1：6 （3）连结MA交PQ于O点，则MO?PQ 又NP?面PAQM，?NP?MO，则MO?面PNQ 过O作OE?NQ，连结ME，则ME?NQ ?MEO为二面角MNQP的平面角 在Rt?NMQ中，ME?NQMN?MQ 设正方体的棱长为a 2aa?62ME,aMOa，又 323a 2aMO32在中，?RtMEOMEO,sin,ME26a3 ?MEO60? 即二面角MNQP的大小为60?。 20. （1）作PO?平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE

36、 ?AD?PB，?AD?OB（根据_） ?PAPD，?OAOD 于是OB平分AD，点E为AD中点 ?PE?AD ?PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角 ?PEB120?，?PEO60? 33o又，?PEPOPE,3603sin22 即为P点到面ABCD的距离。 （2）由已知ABCD为菱形，及?PAD为边长为2的正三角形 ?PAAB2，又易证PB?BC 故取PB中点G，PC中点F 则AG?PB，GF?BC 又BC?PB，?GF?PB ?AGF为面APB与面CPB所成的平面角 ?GF?BC?AD，?AGF?GAE 连结GE，易证AE?平面POB 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆

37、心.又，为中点PEBEGPB,3 1o?PEGPEB,60 2 13o?GEPE,，,cos603 22 1在中，RtAGEAEAD,12 GE3?tanGAE, AE2 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。3?GAE,arctan 2 3?AGF,arctan 2 3所以所求二面角的大小为,arctan 2 (二)知识与技能：（2）2如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA 333PB（，），（，）0000 22 333PBGAG的中点的坐标为（，），连结0 44 94

38、.234.29加与减（二）4 P49-56333又（，），（，）AC102,0 22 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。,33333由此得到（，），（，），GAPB,1,0 4422 (三)实践活动,BC,（，）200 1.圆的定义：,于是?，?GAPBBCPB,00, 1、认真研读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。,?，?GAPBBCPB ,(6)直角三角形的外接圆半径?、的夹角为所求二面角的平面角GABC, ,GABC?27于是cos,7 |GABC? 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。27?所求二面角大小为,arccos 7