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1、2011届高考数学解题思想方法-配方法第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 。它主要适用于:已知或者未最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 222配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a,，ab)，2ab，b，将这个公式灵活运用，可得到
2、各种基本配方形式，如: 2222a，b,(a，b),2ab,(a,b)，2ab; 3b222222a，ab，b,(a，b),ab,(a,b)，3ab,(a，)，(b); 221222222a，b，c，ab，bc，ca,(a，b)，(b，c)，(c，a) 222222a，b，c,(a，b，c),2(ab，bc，ca),(a，b,c),2(ab,bc,ca), 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如: 2，sin2,1，2sincos,(sin，cos)1; 111222x，,(x，),2,(x,)，2 ; 等等。 2xxx?、再现性题组: 1. 在正项等比数列a中，a,a+2a,a
3、+a,a=25，则 a，a,_。 n15353735222. 方程x，y,4kx,2y，5k,0表示圆的充要条件是_。 111 A. k1 B. k1 C. k?R D. k,或k,1 444443. 已知sin，cos,1，则sin，cos的值为_。 A. 1 B. ,1 C. 1或,1 D. 0 24. 函数y,log (,2x，5x，3)的单调递增区间是_。 1255155 A. (,?, B. ,+?) C. (, D. ,3) 442442225. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实1212数a,_。 2【简解】 1小题:利用等比
4、数列性质aa,a，将已知等式左边后配方(a，mp,mp，m32a)易求。答案是:5。 522222小题:配方成圆的标准方程形式(x,a)，(y,b),r，解r0即可，选B。 222223小题:已知等式经配方成(sin，cos),2sincos,1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题:答案3,。 11?、示范性题组: 例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6 314【分析】 先转换为数学表达式:设
5、长方体长宽高分别为x,y,z，则211()xyyzxz，,222 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式xyz，,424()xyz，,可得。 【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之211()xyyzxz，,和为24”而得:。 ,424()xyz，,22222xyz，()()xyzxyyzxz，,，2长方体所求对角线长为:,611,5 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
6、pq222例2. 设方程x，kx，2=0的两实根为p、q，若()+()?7成立，求实数k的取qp值范围。 2【解】方程x，kx，2=0的两实根为p、q，由韦达定理得:p，q,k，pq,2 , 22222222244()pqpqpq，,22()pqpq，,2pqpq，22()+(),222qp()pq()pq()pq22()k,481010?7， 解得k?,或k? 。 422又 ?p、q为方程x，kx，2=0的两实根， ? ?,k,8?0即k?2或k?,2 22综合起来，k的取值范围是:,?k?, 或者 ?k?。 10222210【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”;已知
7、方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p，q、pq后，观察已知不等式，从其结构，q与pq的组合式。假如本题不对“?”讨论，结果将出特征联想到先通分后配方，表示成p错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“?”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 ba1998199822例3. 设非零复数a、b满足a，ab，b=0，求()，() 。 ab，ab，aaa2【分析】 对已知式可以联想:变形为()，()，1,0，则, (为1的立方虚bbb2根);或配方为(a，b),ab 。则代入所求式即得。 aa222【解】由a，ab，b=0变形得:()，()，1,0 ， bba
8、1b233设,，则，1,0，可知为1的立方虚根，所以:,，,1。 ,ba,222又由a，ab，b=0变形得:(a，b),ab ， 22babaab99999所以 ()，(),()，(),()，(),，baab，ababab，999,2 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 ,13iaab222【另解】由a，ab，b,0变形得:()，()，1,0 ，解出,后，化成bba2ab999999三角形式，代入所求表达式的变形式)(，()后，完成后面的运算。此方法用于只ba,13i是未联
9、想到时进行解题。 2,13i22假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由，aab，b,0解出:a,b，2直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。 ?、巩固性题组: 221. 函数y,(x,a)，(x,b) (a、b为常数)的最小值为_。 222，ab()ab,A. 8 B. C. D.最小值不存在 22tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；2222. 、是方程x,2ax，a，6,0的两实根，则(-1) +(-1)的最小值是_。 49A. , B. 8 C. 18 D.不存在 4，xy3. 已知x、y?R，且满足x，
10、3y,1,0，则函数t,2，8有_。 22A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值 22222224. 椭圆x,2ax，3y，a,6,0的一个焦点在直线x，y，4,0上，则a,_。 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。A. 2 B. ,6 C. ,2或,6 D. 2或6 (2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）5. 化简:2，的结果是_。 18,sin228，cos(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）A. 2sin4 B. 2sin4,4cos4 C. ,2sin4 D. 4cos4,2sin4 22x6.
11、 设F和F为双曲线,y,1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?PFF,90?，12124(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）则?FPF的面积是_。 122、第四单元“有趣的图形”。学生将经历从上学期立体图形到现在平面图形的过程，认识长方形，正方形，三角形，圆等平面图形，通过动手做的活动，进一步认识平面图形，七巧板是孩子喜欢的拼图，用它可以拼出很多的图形，让孩子们自己动手拼，积累数学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。21,1，则f(x),x，2x，的最小值为_。 7. 若xx，1,31238. 已知，cos(-),，sin(+),，求sin2的值。(92年41352高考题) 222229. 设二次函数f(x),Ax，Bx，C，给定m、n(m0; 互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)? 是否存在一个实数t，使当t?(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，m?R，x,logt，logs，y,logt，logs，m(logt，logs), ststst? 将y表示为x的函数y,f(x)，并求出f(x)的定义域; 垂直于切线; 过切点; 过圆心.? 若关于x的方程f(x),0有且仅有一个实根，求m的取值范围。