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1、全等三角形知识总结及典型例题 知识点 1 全等三角形的定义和表示方法 (1) 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对 应边，重合的角叫做对应角 (2) “全等”用“也”表示，读作“全等于” ，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上。 例 1.如图 11.1-3 所示，图中两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( ) A.A ABEA AFB C.A ABEA FBA B D . ABEA ABF . ABEA FAB BA BV 知识点 2 :全等三角形的性质 E 性质： 全等三角形中， 对应边相等， 对应角相等。 【注意：
2、全等三角形的对应线段(对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线)相等；全等三角 形的周长相等，面积相等。】 三边对应相等的两个三角形全等。 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 (HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 【注意：三角形全等证明时要注意应用 “公共边”、“公共角”、“对顶角”等。证明线段或角相等 通常转换证明线段或角所在的三角形全等。在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等。有两边和 一角对应相等，角必须是这两边的夹角。“ HL”只适合于 Rt。利用全等三角
3、形可以测出不能(或不 易)直接测量长度的线段长，例如，河宽，或利用全等测量小口瓶的内径等。 】 例 4(SSS).(1) 如图，点 A C F、D 在同一直线上，AF=DG AB=DE BC=EF 求证：AB/DE 在心 ABC 中，比=90“, D、E 分别为 AC AB 上的点，且 AD=BD AE=BC DE=DC 求证：DE丄AB A 例 2.如图 11.1-7 , ABDA ACE 点 B 和点 C 是对应顶点, AB=8 AD=6, )A. 1 B. 2 例 3.如图 (1) 求 DE 的长; (2) 判断 AC 与 BD 的位置关系，并说明理由. (1“边边(SS(2) “边角边
4、” (SAS： (3) “角边角” (ASA： (4) “角角(AA 11.1-12 , ABDA EBC AB=3cm (5) “斜边， 直角边” B - 1 例 7(AAS).已知：如图 ACL CD 于 C , BD 丄 CD 于 D , M 是 AB 的中点, 连结 CM 并延长交 BD 于点 F。求证: AC=BF 例 8(HL). (1)如图， ABC 中，/ C=90 , AB=2AC M 是 AB 的中点，点 求证:AN 平分/ BAG 公路上A B 两站(视为直线上的两点)相距 26km C、D 为两村庄(视为两个点)， DAI AB 于点 A, CB 丄 AB 于点 B,已
5、知 DA=16km BC=10km 现要在公路 AB 上建一个土特产收购站 E,使 CD 两村庄到 E 站的距离 相等，那么 E 站应建在距 A 站多远才合理？ 知识点 4、角平分线的作法、性质、判定和辅助线 1. 尺规作图画角平分线 、以 0 为圆心，适当长为半径画弧，交 0A 于 M 交 0B 于 N。 、分别以 M N 为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧在/ AOB 的内部交于点 C 2MI 、画射线 OC 射线 OC 即为所求。【如图 1】 2. 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。例 5(SAS). 已知：如图， AB=AC AD=AE,/ 1 = / 2。试
6、说明： ABD ACE 。 (2)已知： 如图， ABC 中， AD 丄 BC 于 D, AD=BD DC=DE, 求/ EBD的度数。 例 6(ASA). (1)已知：如图，FB=CE , AB / ED , AC / FD.F、C 在直线 BE 上.求证：AB=DE , AC=DF. N 在 BC上, MNL ABo / C=50o C 图形表示：若 CD 平分/ ADB,点 P 是 CD 上一点 PE 丄 AD 于点 E, PF 丄 BD 于点 F,贝 U PE=PF【如图 2】 3.角平分线的判定定理： 到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线 图形表示：若 PEI AD 于点 E, PF 丄 BD 于点 F, PE=PF 贝 U PD 平分/ ADB【如图 3】 4.角平分线常作的辅助线：遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线得到相等 D BAC的平分线，0是AMI上一点，过点 0分别作AB AC的垂线，垂足为 F, D,且 E. 例 10 （角平分线判定） 例 119 （角平分线辅助线） 知识点 3、全等三角形的判定 图 1 图 2 图 3 DF 丄 AC 于 F, ABC （2）已知：如图，AMI是/ 分别交AC AB于点G 求证：OE=OG 课本 p52 第 7 题 .课本 p50 第 2 题