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1、勾股定理中的数学思想 勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理 ，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的 特征.同学们在学习时，不仅要灵活运用该定理及逆定理 的数学思想比如数形结合思想、转化思想、方程思想等 、数形结合思想 图1 正方形面积与斜放置的正方形之间关系为 ：S 1+S2=1;S 2+S3=2; S 3+S4=3；这样数形结合可把 问题解决. 解: S 1代表的面积为 S1的正方形边长的平方,S 2代表的面积为 S2的正方形边长的平方, 所以 S1+S2=斜放置的正方形面积为 1;同理 S3+S4 =斜放置的正方形面积为 3,故 S1+S2 +S3+S4 =1+3=4. 二、转化思想 例
2、 2.如图 2,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高为 20cm,点 B 离点 C 的距离是 蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 C,需要爬行的最短路径是多少 分析:蚂蚁实际上是在长方体的侧面上爬行 ，如果将长方体的侧面展开 2-1）,根据“两点之间线段最短 ”所以求得的路径就是侧面展开图中线段 之长,但展开方式有 3 种,这样通过侧面展开图把立体图形转化为平面图形 行的路径为展开图中的 AC 长,根据勾股定理可知： ,而且还要注意在解题中蕴涵着丰富 .现举出几例进行分析，供同学们参 例 1.在直线 L 上依次摆放着七个正方形（如图 所示）,已知斜放置的三个正方形的面 积分别是 1
3、、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4 ,则 S1+S2 +S3 +S4 = 分析：经过观察图形，可以看出 正放着 成直角三角形，利用勾股定理便可求解 解：如图所示,把长方体展开后得到如图 2-1、 图 2-2、图 2-3 三种情形，蚂蚁爬 5cm, 一只蚂 在图 2-1 中,AC2=AB2 BC2=302 52 =925 2 2 2 2 2 2 图 2-2 中,AC =AD CD =20 15 =625 图 2-3 中，AC 2 = AD 2 +CD 2 =252 +102 =725 于是,根据上面三种展开情形中的 AC 长比较，最短的路径是在图 2-2 中,故蚂蚁
4、从 A 点爬 行到点 C,最短距离为 25cm. 三、 方程思想 例 3.如图 3,铁路上 A、B 两点相距 25km,C、D 两点为村庄，DALAB 于 A, CB 丄 AB 于 B, 已知 DA=15km CB=10km 现在要在铁路 AB 上建一个农贸市场 E,使得 C、D 两村到农贸市场 E 的距离相等，则农贸市场 E 应建在距 A 站多少 km 处？ 分析：这是一个实际生活中的问题， 从图中可以看出，如果单独解直角三角形， 这时条件 不够，根据题意，不妨把两个直角三角形同时考虑进去，设未知数，如果设 AE=x,结合勾股 定理，抓住等量关系“ DE=CE 列出方程就可以解决问题了。 解
5、：设 AE=x km,由勾股定理得，152 x2 = 102 （25 -x2） 解此方程得 x=10 故农贸市场 E 应建在铁路上离 A 站 10km 处。 四、 分类讨论思想 例 4.已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12,求第三边长. 分析：已知直角三角形的两边的长度 ，并没有指明哪一条边是斜边，因此要分类讨论 解:（1）当 5 和 12 均是直角边时，则由勾股定理可得斜边的长度为 .52 122 =13; 当 5 是直角边,12 是斜边时，则由勾股定理可得另一直角边长为 .122 - 52 = 、119. 综合（1）、（ 2）得第三边的长为 13 或119。 试一试（供同学们练习）3
6、 1. （荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5X 6X 10（单位：cm ）, 在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为 13 cm, 小孔到图中边 AB 距离为 1 cm,到上盖 中与 AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为 h cm,则 h 的最小值大约 为 _ cm .（精确到个位） 参考数据：.2 1.4, . 3 1.75 : 2.2 ) 2. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是 4/ n ,高为 3,若一只小虫从 A 点出发沿着圆柱的侧面 爬行到点 C,则小虫爬行的最短路程是 . 答案:5 3. 如图，设四边形 ABC是边长为 1 的正方形，以正方形 ABCD 勺对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF 再以第二个正方形的对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH 如此下去 （1）记正方形 ABCD 的边长为a1,依上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3,a4.,an, 求出a2, a3, a4的值. （2）根据以上规律写出第 n 个正方形的边长 an的表达式 答案提示： 10 4 (1) a1 =( 2),a2 = ( 2)扁3 = ( 2)2, a4=( 2)3； (2)a n = (-.2)2(n 仝 1 的自然数)