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1、一填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）1. 答案：2. 。答案：3. 解：4.，则 。答案：5. 。答案：6. 。答案：7. 设为连续函数，当时，与是同阶无穷小，则 。答案：38. 将绕轴转一圈，则所得图形围成的体积为 。答案：9. 设，且广义积分收敛，则的范围为 答案：10幂级数的收敛域为 。答案：11. 级数条件收敛，则参数的范围为 。答案：12.在点，函数的幂级数展开为答案：，13.，的通解是 。答案：14.满足的解为 。答案：15. 初值问题的解为 。答案：二计算题（每题10分，共40分）1求的范围，使得收敛解：，附近，所以仅当时收敛 .5分对任意的成立,所以只需
2、要考虑广义积分的收敛性。因为所以仅当时广义积分收敛. .5分最终,我们得到仅当时收敛。2计算摆线， 绕轴旋转体的体积和表面积。解：旋转体的体积5分旋转体的表面积5分3求级数的和。解：记，则， 3分 3分故 4分4设，且对任意满足，求。解：令，则原方程可化为两边求导得，从而得一阶线性ODE， 5分解得， ，由于，得所以。 5分三证明题1.（8分）己知函数。求的定义域, 并证明满足微分方程，并且。证明：的定义域为,收歛域为.所以函数的定义域为. 2分以下证明为所设初值问题的解。. 4分 2分2（7分）设在上可导，且，求证：证明：记则 2分记 则 .2分因为在上可导，且，故，。又，所以 3分2.（备选）设在上连续，且存在常数，使得证明：在上，。证明：，且。积分，于是，在上，。