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1、,双曲线及其标准方程,y,o,x,F1,F2,y,o,F1,F2,|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）,a2=b2+c2,F ( c,0) F(0, c),o,F1,F2,o,双曲线的定义:,平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a 的点的轨迹叫做双曲线。,F1,F2 -焦点,|MF1| - |MF2| = 2a,|F1F2| -焦距,.,F2,.,F1,M,y,o,x,注意：对于双曲线定义须抓住两点：一是平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数；二是这个常数要小于|F1F2|,M,请思考？,1、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于|F1F2| ）的轨迹
2、是什么？,2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？,3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？,双曲线的一支,是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线,不存在,相关结论：,1、当|MF1|-|MF2|= 2a|F1F2|时，,2、当 |MF1|-|MF2|= 2a=|F1F2|时，,3、当|MF1|-|MF2|= 2a |F1F2|时,M点的轨迹不存在,4、当|MF1|-|MF2|= 2a=0时，,P点轨迹是双曲线,其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是与F2对应的双曲线的一支； 当|MF2
3、| - |MF1|= 2a时，M点轨迹是与F1对应的双曲线的一支.,M点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。,M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 。,x,o,设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常数为2a,F1,F2,M,以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中点o为原点建立直角坐标系,1. 建系.,2.设点,3.列式,|MF1| - |MF2|= 2a,4.化简.,F1,F2,焦点在y轴上的双曲线的标准方程,想一想,？,F1(0,-c), F2(0,c),焦点在y轴上的双曲线的图象是什么？标准方程怎样求？,x2与y2的
4、系数符号，决定焦 点所在的坐标轴，当x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。,注：,例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 (1) a=_ , c =_ , b =_,(2) 双曲线的标准方程为_,(3)双曲线上一点， |PF1|=10, 则|PF2|=_,3,5,4,4或16,6,例2、已知双曲线两个焦点的坐标为F1( - 5 , 0)、F2(5 , 0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。,解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的, 2a=6 2c=
5、10, a=3 c=5, b2= 52- 32= 16, 所求双曲线的标准方程为,标准方程为,例3：k 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2=k2- 1所表示的曲线是 （ ),解：原方程化为：,A、焦点在x轴上的椭圆,C、焦点在y轴上的椭圆,B、焦点在y轴上的双曲线,D、焦点在x轴上的双曲线, k0, k2+1 0 1+k 0,方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线。,故 选（B）,课堂练习：,1、已知点F1(- 8, 3 )、F2(2 ,3)，动点P满足|PF1| - |PF2|= 10，则P点的轨迹是( ),A、双曲线 B、双曲线一支 C、直线 D、一条射线,2、若椭圆 与双曲线 的焦点相同,则 a =,3,D,3、说明下列方程各表示什么曲线。,方程表示的曲线是双曲线,方程表示的曲线是双曲线的右支,方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点，指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。,课堂小结：,本节课学习了双曲线的定义、图象和标准方程，要注意使用类比的方法，仿照椭圆的定义、图象和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题。,作业：,教材P108习题8.3 第3题,