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1、数学浙教版九上-2011中考数学复习考点例题强化训练 二次函数二次函数 按住ctrl键 点击查看更多中考数学资源 第1课时 二次函数的意义 课标要求 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 中招考点 二次函数的概念及意义. 典型例题 例1 下列函数中，哪些是二次函数, 22(1); (2); y,(x，2)(x,2),(x,1)y,x,0122yx(3),，; (4). y,x，2x,3x2分析:形如y=ax+bx+c(a，b，c为常数，且a?0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否2为二次函数时，必须先把它化成y=ax+bx+c的形式，如果a?0，那么它就是二次
2、函数;否则，就不是二次函数. 22例2 m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数, y,(m,m)x，mx，(m，1)222m,m,0分析:若函数是二次函数，须满足的条件是:( y,(m,m)x，mx，(m，1)222m,m,0解:若函数是二次函数，则 ( y,(m,m)x，mx，(m，1)m,0m,1解得且( 22m,0m,1因此，当且时，函数是二次函数( y,(m,m)x，mx，(m，1)归纳反思 2a,0形如的函数只有在的条件下才是二次函数( y,ax，bx，c22探索:若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值, y,(m,m)x，mx，(m，1)例3 写出下列各函数关系，并判断它
3、们分别是什么类型的函数, 2(1)写出正方体的表面积S(cm)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系; 2(2)写出圆的面积y(cm)与它的周长x(cm)之间的函数关系; (3)某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系; 2(4)菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm)与一对角线长x(cm)之间的函数关系( 2解:(1)由题意，得 ，其中S是a的二次函数; S,6a(a,0)2xy,(x,0)(2)由题意，得 ，其中y是x的二次函数; ,4(3)由题意，得 (x?0且是正整数)， y,10000，1.98%x,100
4、00其中y是x的一次函数; 112(4)由题意，得 ，其中S是x的二次函数( S,x(26,x),x，13x(0,x,26)22例4 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子( 2(1)求盒子的表面积S(cm)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积( 15222解:(1); S,15,4x,225,4x(0,x,)222(2)当x=3cm时，(cm)( S,225,4，3,189强化练习 一、选择题: 1(对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( ) 22222222A( B
5、( C( D( y,(m,1)xy,(m，1)xy,(m，1)xy,(m,1)x2(下列各式中，y是x的二次函数的是 ( ) 2 2 2 22xy=x，1 B.x+y2= 0 C.yax =2 D.xy +1=0 A(2 23(若二次函数y =(m + 1)x + m 2m 3的图象经过原点，则m的值必为 ( ) A( 1和3 B. 1 C.3 D.无法确定 224.对于抛物线y=x+2和y=x的论断: (1)开口方向不同;(2)形状完全输入x 相同;(3)对称轴相同.其中正确的有( ) 2y=x+2 y=x y=x+2 A(0个 B(1个 ,2?x?,1 ,1,x?1 1,x?2 C(2个
6、D(3个 5.根据如图的程序计算出函数值，若3输出y值 输 入的x的值为，则输出的结果第5题图 2为( ). 7919A( B. C. D. 2422二、填空题: 226(当m, 时，函数是二次函数. y,(m,2m,3)x，(m,2)x，m2k，k7(当k为 值时，函数为二次函数. y,(k,1)x，12m,3m，28(如果函数是二次函数，那么m的值为 . y,(m,3)x，mx，12m,79(已知函数是二次函数，则m的值为 ( y,(m,3)x210(已知抛物线y =(m 1)x，且直线y = 3x + 3 m经过一、二、三象限，则m的范围是 . 2 3 211(若函数y =(m 1)x
7、+(m + 1)x的图象是抛物线，则m = . 2m,m12(已知函数，当m= 时，它是二次函数;当m= 时，抛物线的y,mx开口向上;当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数( 2213(抛物线，开口向下，且经过原点，则k= ( y,(k，1)x，k,9214(点A(-2，a)是抛物线上的一点，则a= ; A点关于原点的对称点B是 ;y,x2A点关于y轴的对称点C是 ;其中点B、点C在抛物线上的是 ( y,x215(若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是 ( y,x,4x，c2216(已知函数(当m 时，函数的图象是直线;当m y,(m,1)x，2x，m,4时，函数的图象是抛物线;当m 时，函
8、数的图象是开口向上且经过原点的抛物线( 2第2课时 二次函数y=ax+bx+c的图象和性质 课标要求 1(会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质. 2(会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题. 中招考点 1( 二次函数的图象及性质，尤其是二次函数图象的增减性和对称性. 2( 利用数形结合、整体思想、图形变换等解决相关问题. 2第一类 二次函数y=ax的图象和性质 典型例题 2k，k,4x,0例1 已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大( y,(k，2)x(1)求k的值; 2)求顶点坐标和对称轴( (2分析:我们知道:二
9、次函数y=ax的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是原点，a的绝对值越大，图象越靠近y轴. ?当a0时，抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小;在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，函数图象有最低点(0，0). ?当a0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，函数图象有最高点(0，0). 基于上述性质，我们逆向推理很快就能得出结论. 2,k，k,4,2解:(1)由题意，得，解得k=2( ,k，2,0,2 (2)二次函数为，则顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴( y,4x2例2 已知正方形的周长为Ccm，面积为S cm( (1)
10、求S和C之间的函数关系式，并画出图象; 2(2)根据图象，求出S=1 cm时，正方形的周长; 2(3)根据图象，求出C取何值时，S?4 cm( 分析:此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时，自变量C的取值应在取值范围内( 12解:(1)由题意，得S,C(C,0)( 16列表: C 2 4 6 8 1192S,C 1 4 1644描点、连线，图象如图( 2(2)根据图象得S=1 cm时，正方形的周长是4cm( 2(3)根据图象得，当C?8cm时，S?4 cm( 归纳反思 (1)此图象原点处为空心点( S，不要习惯地写成x、y( (2)横轴、纵轴字母应为题中的字母
11、C、(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分( 强化练习 一、选择题 1 2 2 21(在同一坐标系中，作y = 2x，y = 2x，y = x的图象，它们的共同特点是( ) 2A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B.都是关于y轴对称，抛物线开口向下 C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D.都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 22(已知原点是抛物线y =(m + 1)x的最高点，则m的范围是 ( ) A(m, 1 B.m,1 C.m, 1 D.m, 2 23(已知二次函数y = a x，下列说法不正确的是 ( ) A(当a,0，x?0时，y总取正值 B(当a,0，x,0时，
12、y随x的增大而减小 C(当a,0时，函数图象有最低点，即y有最小值 2D(当a,0时，y = a x的图象的对称轴是y轴 24(对于y = ax(a?0)的图象，下列叙述正确的是( ) A.a越大开口越大，a越小开口越小 B.a越大开口越小，a越小开口越大 C.| a |越大开口越小，| a |越小开口越大 D.| a |越大开口越大，| a |越小开口越小 25.直线y = ax与抛物线y = ax(a?0) ( ) A.只相交于一点(1，a) B.相交于两点(0，0)，(1，a) C.没有交点 D.只相交于一点(0，0) 26.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆面，剩下圆环的
13、面积为y cm，则y与x的函数关系式为 ( ) 2 2 2 2A.y = x 4 B.y =(2 x ) C.y = ( x + 4 ) D.y = x + 16 二、填空题 227(函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . y,x32m,m8(当m= 时，抛物线开口向下( y,(m,1)x22k,2k,19(已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随xy,(k，k)x的增大而增大( 2k，k,10x,010(已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大，则k值为 . y,kx211(已知抛物线经过点(1，3)，当y=9时，x的值为 ( y,ax212(如果抛物线y = ax和直线y = x
14、 + b都经过点P(2，6)，则a = ，b = . 213(把函数y = 3x的图象沿x轴对折，得到的图象的解析式是 . 214(经过A(0，1)点作一条与x轴平行的直线与抛物线y = 4x相交于点M、N，则M、N两点的坐标分别为 . 2( 2 x ) 的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，15(函数y = - 开口向 ，当x = 时，函数有最 值;在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 . 2第二类 y=ax+k的图象和性质 22回顾:通过怎样的平移，可以由抛物线y=ax得到抛物线y=ax+k, 仔细梳理，认真填写: 2开口方向 对称轴 顶点坐标 如何由y=ax得到
15、2 y,ax，ka,0 k,0 (a.k是常数，a?0) a,0 K,0 2归纳反思 抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k). y,ax，k22,0时，抛物线(1)当k是由抛物线y=ax向上平移k个单位得到的; y,ax，k22(2)当k,0时，抛物线是由抛物线y=ax向下平移,k个单位得到的. y,ax，k这个结论很重要，要在理解的基础上加深记忆. 典型例题 12y,x例 一条抛物线的开口方向和对称轴都与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点2(1，1)，求这条抛物线的函数关系式( 解:由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0，-2)， 2因此所求函数关系式可看作. y
16、,ax,2(a,0)2a,3又因为抛物线经过点(1，1)，所以，解得( 1,a,1,22故所求函数关系式为( y,3x,2强化练习 一、选择题 21(宁安市实验区2004年中考)函数的图象与轴的交点坐标是 ( ) yy,x,4A.(2，0) B.(，0) C.(0，4) D.(0，) ,2,412222(在同一坐标系中，函数，的图象的共同特点是( ) y,xy,3xy,3x3A.都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B.都是关于y轴对称，抛物线开口向下 C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D.都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点 23(在同一直角坐标系中，y=ax+b与y=ax+b(a、
17、b都不为0)的图象的大致位置是( ) 二、填空题 12y,x,94(抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可412y,x以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的( 425(函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小(当x 时，函y,3x，3数取得最 值y= ( 26(如果将二次函数的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式 yx,2是 . 2第三类 y=a(x,h)的图象和性质 22回顾:抛物线与抛物线y=ax有什么关系, y,a(x,h)归纳反思 2(a.h是常数，a?0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下: y,a(x,h)2开口方向 对称轴 顶点坐标 如何由y=a
18、x得到 2 y,a(x,h)a,0 h,0 a,0 h,0 典型例题 22不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗? y,3xy,3(x，2)22解:抛物线的顶点坐标为(0，0);抛物线的顶点坐标为(-2，0)( y,3xy,3(x，2)22因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴y,3xy,3(x，2)22x,2和直线(抛物线是由向左平移2个单位而得的( y,3(x，2)y,3x强化练习 填空题 21(抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以y,(x,1)2看作是由抛物线向 平移 个单位得到的( y,x22(函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小(当x 时，函y,3
19、(x，1)数取得最 值，最 值y= ( 2(将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点 3y,ax(1，3)，则的值为 ( a2第四类 y=a(x,h)，k的图象和性质 22回顾:抛物线+k与之间存在什么样的平移规律, y,a(x,h)y,ax仔细梳理，认真填写: 2开口方向 对称轴 顶点坐标 如何由y=ax得到 h,0，k,0 2+k y,a(x,h)a,0 h,0，k,0 h,0，k,0 a,0 h,0，k,0 归纳反思 2二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值;左右平移，只影y,a(x,h)响h的值，抛物线的形状不变.所以平移时，可根据顶点坐标的改变
20、，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径(此外，图象的平移与平移的顺序无关( 典型例题 2例1 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y,x，bx，c2，求b，c的值( y,x2分析:把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y,x，bx，c22，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物y,xy,x2线( y,x，bx，cb,8,22解:根据题意得，y=(x-4)-2=x-8x=14, 所以 ,c,14.,例2 第一象限内的点A在一反比例函数的图象上，过A作AB?轴，垂足为B，连AO，x已知?AOB的面积为4. y (1)求反比例函数的解
21、析式; 2)若点(A的纵坐标为4，过点A的直线与轴交于P，xA 且?APB与?AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标; x (3)在(2)的条件下，过点P，O，A的抛物线是否可O B 12y,x由抛物线平移得到,若是，请说明由抛物线412y,x如何平移得到;若不是，请说明理由. 4ky,解:(1)设反比例函数的解析式为，点A的坐标为(，)， yxx81xy,4y, ?S= 4， ?，?，?. xy,8?AOB2x(2)由题意得A(2，4)，?B(2，0). 0 ? 点P在x轴上，设P点坐标为(，0)，?ABO=?ABP=90. x?ABP与?ABO相似有两种情况: ABAB,?当?ABP?AB
22、O时，有.?BP=BO=2，?P(4，0). BOBPABPB4PB,?当?PBA?ABO时，有，即，?PB=8.?P(10，0)或P(,6，0). BOBA24? 符合条件的点P坐标是(4，0)或(10，0)或(,6，0). (3)当点P坐标是(4，0)或(10，0)时，过点P，A，O三点的抛物线的开口向下， 12y,x?不能由的图象平移得到. 4当点P坐标是(,6，0)时，设抛物线解析式为. y,ax(x，6)191122(3)y,(x，6x)y,x，,a,?抛物线过点A(2，4)，?，?，?. 444412y,x?该抛物线可以由向左平移3个单位，向下平 49移个单位得到. 4强化练习 一
23、、选择题 221(将抛物线如何平移可得到抛物线( ) y,2xy,2(x,4),1A(向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B(向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C(向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D(向右平移4个单位，再向下平移1个单位 11222(二次函数的图象可由y,x的图象( ) y,(x,1)，222A(向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B(向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C(向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D(向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 23(把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y,x，bx，c2，则有( )
24、y,x,3x，5A(b =3，c=7 B(b= -9，c= -15 C(b=3，c=3 D(b= -9，c=21 二、填空题 2(把函数4的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析y,2x式是 . 25(抛物线的顶点在轴上，其顶点坐标是 ，对称轴是 . xy,x,4x，m32y,x6(把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关2系式为 ( 1122y,1，2x,xy,x7(抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平22移 个单位而得到( 2第五类 二次函数y=ax，bx+c的图象和性质 回顾: 21.对于任意一个二次函数，如，怎么知道它的开口方向、对
25、称轴和顶点坐y,x，3x,2标，并快速地画出图象呢, 22(你能用配方法求出二次函数的对称轴和顶点坐标并完成填空吗, y,ax，bx，c2二次函数的对称轴是 ，顶点坐标是 ( y,ax，bx，c典型例题 2例1 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点y,2x，4x，6画图( 2解: y,2x，4x，62,2(x,2x)，62,2(x,2x，1,1)，6 2,2(x,1),1，62,2(x,1)，8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8)( 由对称性列表: x -2 -1 0 1 2 3 4 2 y,2x，4x，6-10 0 6 8 6 0 -10 描点.
26、连线，如图所示( 归纳反思 1(通过本题你能总结出配方的要点和关键吗, 2(列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到( (描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再3对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点( 2例2 已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值( ay,x,(a，2)x，9分析:顶点在坐标轴上有两种可能: (1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0; (2)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0( 22(2)a，a，22()9,x,，,解:， y,x,(a，2)x，9242，aa，2(，2),9,则抛物线的顶点坐标是( ,24，a，2a,2,0当
27、顶点在x轴上时，有，解得，( 22(a，2)a,4a,89,0当顶点在y轴上时，有，解得，或( 42a所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，y,x,(a，2)x，9y 分别是2，4，8. 强化练习 一、选择题 x O 21.二次函数y=x-2x+1的顶点在( ) 第5题图 A(第一象限 B.x轴上 C.y轴上 D.第四象限 22.下列关于抛物线y=x+2x+1的说法中, 正确的是( ) A(开口向下 B.对称轴是直线x=1 C.与x轴有两个交点 D.顶点坐标是(-1,0) 223.若抛物线y=x-2mx+m+m+1的顶点在第二象限，则常数m的取值范 围是( ) A(m2 B.-1m2 C
28、.-1m1 24.二次函数y=1-6x-3x的顶点坐标和对称轴分 别是( ) A.顶点(1,4) 对称轴x=1 B.顶点(-1,4) 对称轴x= -1 C.顶点(1,4) 对称轴x=4 D.顶点(-1,4) 对称轴x=4 25.如图,观察二次函数y=ax+bx+c的图象可知点(b，c)一定在第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6.为了备战世界杯，中国足球队在某次集训中，一 队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁.若足球运行的路线是抛物2线(如图)，则下列结论:?ay,ax，bx，c11,;?,a,0; ?a-b+c,0;?0,b6060,-12a.其中正确的是(
29、 ) A.? B.? C.? D.? 二、填空题 2的对称轴是 ( 7(二次函数y,x,2x28(二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小( y,2x,2x,129(抛物线的顶点横坐标是-2，则= ( ay,ax,4x,612(,1)10(抛物线的顶点是，则, ，c, . ay,ax，2x，c3211.若抛物线y=(m-1)x+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_. 212.已知抛物线y=ax+bx+c经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵 坐标为-8的另一点的坐标是_. 第3课时 二次函数的最值 例1 求下列函数的最大值或最小值( 2
30、2(1); (2)( y,2x,3x,5y,x,3x，422分析:由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，y,2x,3x,5y,x,3x，4所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值( 2解:(1)因为二次函数中的二次项系数2,0， y,2x,3x,52所以抛物线有最低点，即函数有最小值( y,2x,3x,534922因为=， 2()x,y,2x,3x,5483492所以当时，函数有最小值是( x,y,2x,3x,5482(2)因为二次函数中的二次项系数-1,0， y,x,3x，42所以抛物线有最高点，即函数有最大值( y,x,3x，432522()因为=,x，
31、y,x,3x，4243252所以当x,时，函数有最大值( y,x,3x，424归纳反思 最大值或最小值的求法: 第一步确定a的符号，a,0有最小值，a,0有最大值; 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值( 例2 某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高40%，经试销发现，销售量(件)与销售单价(元/件)符合一次函数，yxy,kx，bx,70x,80且时，;时，; y,50y,40(1)求出一次函数的解析式; y,kx，b(2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，销售单价定为wwx多少时，商场可获得最大利润，最大利润
32、是多少, 分析:日销售利润=日销售量每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量( 50,70k，bk,1,解:(1)由题意得: ,? ,40,80k，bb,120,?一次函数的解析式为:. y,x，12022(2) w,(x,60)(,x，120),x，180x,7200,(x,90)，900x,90?抛物线开口向下，?当时，随的增大而增大; wxx,84而60?x?84，?当时，. w,(84,60)(120,84),864答:当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元. 归纳反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，一定要考
33、虑在自变量的取值范围内得出正确结果( 例3 如图，在Rt?ABC中，?C=90?，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE?AC，DF?BC，垂足分别为E.F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y( (1)用含y的代数式表示AE; (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围; (3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值( 解:(1)由题意可知，四边形DECF为矩形，因此，( AE,AC,DF,8,yDEAEx8,yBC(2)由?，得，即， ,DEBCAC480,x,4所以，x的取值范围是( y,8,2x22(3)， S,xy,x(8,2x),2
34、x，8x,2(x,2)，8所以，当x=2时，S有最大值8( 强化练习 一、选择题 21(已知二次函数有最小值1，则a与b之间的大小关系是( ) y,a(x,1)，bA(a,b B(a=b C(a,b D(不能确定 22(二次函数，当x=1时，函数y有最大值，设，( (x,y)x,y)y,ax，bx，c(a,0)1122是这个函数图象上的两点，且，则( ) 1,x,x12A. B. C. D. a,0,y,ya,0,y,ya,0,y,ya,0,y,y1212121223(抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是( ) y,2x，4x,1A.(-1，3) B.(-1，-3) C.(1，3) D.(1，
35、-3) 二、填空题 24(抛物线的开口向 ;对称轴是 ;顶点为 . y,x，2x,425(对于二次函数，当x= 时，y有最小值( y,x,2x，my P D C 26(已知二次函数的最小值为1，则m, ( y,x,6x，m7(如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm. A B x O是AB的中点，OP?AB，两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线(第6题) 的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面O 2积是 cm. 12y,(x，1),3y8(二次函数的对称轴是 ，在对称轴的左侧，随x的增大而 . 229(抛物线的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y随xy,x,2
36、x,1的增大而减小( 三、解答题: 10(某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表: x(元) 130 150 165 y(件) 70 50 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元,此时每日销售利润是多少, 11.如图，在直角梯形ABCD中，AD?BC，AB?BC，AB,2，DC,22，点P在边BC上运动(与B、C不重合)，设PC,x，四边形ABPD的面积为y. ?求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围; DA1?若以D为圆心，为半径作?D，以P为圆心，以PC的长为半径作?P，当x
37、2为何值时，?D与?P相切,并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积. BCP12(某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，统计销售情况发现:当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个.在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角. 设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角). ?用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数; ?求y与x之间的函数关系式; ?当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大,最大利润为多少, 第4课时 用待定系数法确定二次
38、函数的解析式 课标要求 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式( 中考考点 确定二次函数的解析式. 典型例题 回顾:大家知道:一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式(例如:我们在确定一次函数的关系式时，通y,kx，b(k,0)ky,(k,0)常需要两个独立的条件:确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件:x2如果要确定二次函数的关系式，又需要几个独立的条件呢, y,ax，bx，c(a,0)例1 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式( (1)已知二次函数的图象经过点A(0，-1)，B(1，0)，C(-1，2); (2)已
39、知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1); (3)已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)，(5，0)，且与y轴交于点(0，-3); (4)已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4( 2分析:(1)根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的y,ax，bx，c形式; 2(2)根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y,a(x,1),3y轴的交点可求出a的值; (3)根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根y,a(x，3)(x,5)据抛物线与y轴的交点可求出a的值; 2(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式
40、为，同时可y,a(x,3),2知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两2个交点为(1，0)和(5，0)，任选一个代入，即可求出a的值( y,a(x,3),22解:(1)设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过(0，-1)，可y,ax，bx，ca，b,1,以得到c= -1(又由于其图象过点(1，0).(-1，2)两点，可以得到 ,a,b,3,解这个方程组，得a=2，b= -1( 2所以，所求二次函数的关系式是( y,2x,2x,12(2)因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的关系式为， y,a(x,1),3又由于抛物线与y轴交于点(0，1)，可以
41、得到 2a,4，解得( 1,a(0,1),322所以，所求二次函数的关系式是( y,4(x,1),3,4x,8x，1(3)因为抛物线与x轴交于点M(-3，0).(5，0)， 所以设二此函数的关系式为( y,a(x，3)(x,5)1a,又由于抛物线与y轴交于点(0，3)，可以得到，解得 ( ,3,a(0，3)(0,5)51122y,(x，3)(x,5),x,x,3所以，所求二次函数的关系式是( 555(4)根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成( 归纳反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以
42、简单为原则(二次函数的关系式可设如下三种形式: 2(1)一般式:，给出三点坐标可利用此式来求( y,ax，bx，c(a,0)2(2)顶点式:，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求( y,a(x,h)，k(a,0)(3)交点式:，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点y,a(x,x)(x,x)(a,0)12.时可利用此式来求( (x,0)(x,0)12例2 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6 m， y 跨度为8 m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中( (1) 求这条抛物线所对应的函数关系式; (2) 若要在隧道壁上点P (如图)安装一盏照明灯，灯离地 6 m 面高4.5 m(求灯
43、与点B的距离( P 分析:先观察图象，挖掘已知条件，确定设适当的解析式. 8 m x 解:(1) 由题意，设抛物线所对应的函数关系为 O 2 y = ax+ 6 (a,9)， A B 32a,? 点A(,4，0)或B(4，0)在抛物线上，? ， 得 ( 0,a,(,4)，6832故抛物线的函数关系式为y,x，6( 832(2) 将y,x，6 y = 4.5代入中，得x = , 2( 8? P (,2，4.5)，Q(,2，0)，于是?PQ?= 4.5，?BQ?= 6， 22(所以照明灯与点的距离为7.5 m( 从而B|PB|,4.5，6,56.25,7.5强化练习 y 一、选择题 23 1(已知
44、:函数的图象如图:那么 y,ax，bx，c函数解析式为( ) -1 3 x o 22A( B( y,x，2x，3y,x,2x,322第1题图 C( D. y,x,2x，3y,x,2x,322(若所求的二次函数的图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左y,2x,4x,1侧，y随x的增大而增大;在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 ( ) 2222A(y=-x+2x-4 B.y=ax-2ax-3(a,0) C(y=-2x-4x-5 D. y=ax-2ax+a-3(a,0) 二、解答题 3.如图，在直角坐标系中，Rt?AOB的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B
45、(4，0)，把?AOB绕O点按逆时针方向旋转90?得到?COD. (1) 求C，D两点的坐标; (2) 求经过C，D，B三点的抛物线的解析式; (3)设(2)中抛物线的顶点为P，AB的中点为M，试判断?PMB是钝角三角形.直角三角形还是锐角三角形，并说明理由. A B 第6题图 24.已知抛物线的图象的一部分如图所示，抛物线的顶点在第一象限，yaxxb,，(1)8且经过点A(0，-7)和点B. (1)求a的取值范围; (2)若OA=2OB，求抛物线的解析式. 25(已知二次函数的图象与轴相交于A.B两点，与轴交于C点(如图yxy,x,2x，3所示)，点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对
46、称，一次函数的图象过点B，D. (1)求点D的坐标; (2)求一次函数的解析式; (3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围; x6(某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么, (如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)7与水平距离x(m)之间的关系是O x 1252第7题图 y,x，x，问此运动员把铅球推1233出多远, 8(某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现:单价定为70元时，日均销售60千克;单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时，按整天计算).设销售单价为x元，日均获利为y元. (1)求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围; 2b4acb,2ya(x),，(2)将(1)中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点2a4a