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1、第一章 复数及复变函数1. 复数一. 复数的基本概念1. 复数形如的数称为复数；称x为复数的实部，记作；称y为复数的虚部，记作；称i为虚数单位，其中。 2. 复数的相等与共轭复数（1） 设，称，当且仅当；说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 则不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.（2） 设，称复数为z的共轭复数，记作；即：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为2 / 29共轭复数.重要公式： 二. 复数的四则运算及算律1. 复数的代数运算设，规定：；.2. 算律：交换律：； ;结合律：； ;分配律：.3. 共轭复数的性质(4) 三. 复平面称表示复
2、数集合的平面为复平面, 复平面上的点或向量代表复数.2. 复数的三角表示一. 复数的模与辐角1. 模与辐角的概念 设,称为复数z的模，称从x轴正向到复向量所夹的角为复数z的辐角，记作Argz, 称满足的辐角为复数z的主辐角, 记作argz. 显然，复数z的模即为复向量的长度.2. 模与辐角的性质 设,有 (1). (2). （斜边大于直角边） (3). (4). ; (5). . (6). argz=问题 数轴上的复数的辐角怎样？ 说明 辐角不确定.二. 复数的三角表示设=r，Argz=，利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示为 称为复数z的三角表示.三. 复数的指数表示设=r，Argz=，利
3、用欧拉公式复数可以表示为称为复数z的指数表示.例1 求复数z=的三角表示.例2 将复数化为三角形式.四. 复数的乘、除及乘方、开方运算设：，则：;即：两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.（公式说明：所得到的复向量就是把所对应的向量伸缩倍，然后再旋转角；反之亦然。） ;即：两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. ; ;从几何上看, 例3 用复数的三角形式计算.例4 用复数的三角形式计算.例5 解方程.例6 求与用及表示的式子.例8 若n为自然数，且其中，为实数，证明：3. 平面点集的一般概念一. 开集与闭集1. 邻域称满足不等式的全体z的集合为点的邻
4、域（实心邻域）；称满足不等式的全体z的集合为点的邻域（去心邻域）,记作或.2. 内点、外点、边界点（1） 设G为点集，z为G的一个元素，若存在一个z的邻域，该邻域全部含于G内，则称z为G的内点；（2） 设G为点集，z不属于G，若存在一个z的邻域，该邻域全部在G外，则称z为G的外点；（3） 设G为点集，z为z平面上的一个点，若对z的任意邻域，该邻域内都既有元素既含于G内，又有元素不含于G内，则称z为G的边界点;点集G的所有边界点的集合称为G的边界.3. 开集与闭集若点集G中的所有点均为G的内点，则称G为开集；开集的补集称为闭集.4. 有界集与无界集 若存在M0,使得有，则称G为有界集，否则，称G
5、为无界集.二. 区域 若点集D满足条件：（1） D为开集，（2） D为连通的，则称D为区域.即：区域就是连通的开集.三. 平面曲线1. 光滑曲线若曲线在区间内处处有连续的导数，且满足 则称该曲线为光滑曲线.光滑曲线具有连续转动的切线。2.简单曲线（若当曲线）若连续曲线在区间内没有重点，则称该曲线为简单曲线（若当曲线）；若该曲线的起点与终点重合，则称该曲线为简单闭曲线（若当闭曲线）.3.若当定理任意一条简单闭曲线C必将z平面惟一地分为C, I(C), E(C)为三个点集，它们具有如下性质：（1） 彼此没有交集；（2） I(C)为有界域，称为C的内部；（3） E(C)为无界域，称为C的外部；（4）
6、 若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E (C)，则P必与C有交点。4. 复球面与无穷远点一. 复球面复数还有一种表示方法，它是借助地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面上的点与球面上的点的对应，从而说明引入无穷远点的合理性。二.无穷远点 规定,称为无穷远点.且有运算: .复平面加上无穷远点称为扩充复平面.设M0,称满足不等式的全体复数的集合为无穷远点的邻域.说明：在扩充复平面上，内点、外点、边界点等概念均可以推广到无穷远点，于是，复平面以为其惟一的边界点；扩充复平面以为其内点，且它是惟一的没有边界的区域。5. 复变函数一.复变函数的概念定义: 设G为z平面上的点
7、集，若有对应法则f，使得对于G内的任意一个z，通过f，都有w平面上的一个点集内的一个或多个确定的点w与之对应，则称该法则f为定义在G内的一个复变函数；记作. 显然，复变函数的对应法则确定了以x，y为自变量的两个二元实函数 反之，由以x，y为自变量的两个二元实函数 也可惟一地确定一个复变函数.例9 将定义在全平面上的复变函数化为一对二元实函数。例10 将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实函数化为一个复变函数。二.复变函数的极限与连续性1.复变函数的极限定义:设复变函数在点的某一去心 邻域内有定义，A为复定值，若：，不等式 恒成立，则称当z趋于时，以A为极限，记作 说明：（1）（2）若复
8、变函数在点有极限，则一定惟一。定理1 设 则：该定理将确定复变函数的极限问题转化为确定一对二元实函数的极限问题. 因此，可使用二元函数极限的相关结论讨论复变函数的极限问题.例11 试讨论在点z=0的极限.根据定理1易证以下结论：2.复变函数的连续性定义:设复变函数在点的某一实心 邻域内有定义，若有：，则称复变函数在点连续；若复变函数在区域D内任意一点z均连续，则称复变函数在区域D内连续，或称为区域D内的连续函数.例12 证明：在除去原点和负实轴的全平面上连续，但在负实轴上间断.定理2 复变函数在点连续，当且仅当二元实函数及均在点连续.3. 连续函数的性质 （）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数； （）连续函数的复合仍为连续函数.特殊的:(1) 有理整函数(多项式)(2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的.4. 闭域上连续函数的性质 （）闭域上的连续函数在该域上一定有界； （）闭域上的连续函数在该域上一定有最大模与最小模； （）闭域上的连续函数在该域上一定一致连续.（即：均有） 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。