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1、建模实例：基金使用计划模型某校基金会有一笔数额为M元的基金, 打算将其存入银行或购买国库券. 当前银行存款及各期国库券的利率见表3-17. 假设国库券每年至少发行一次, 发行时间不定. 取款政策参考银行的现行政策.校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生, 要求每年的奖金额大致相同, 且在n年末仍保留原基金数额. 校基金会希望获得最佳的基金使用计划, 以提高每年的奖金额. 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案, 并对M = 5000万元, n = 10年给出具体结果： 只存款不购国库券； 可存款也可购国库券； 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆, 基金会希望这一年的奖金比其它
2、年度多20%.表 3-17银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14本题是2001年全国大学生数学建模竞赛题目C题. 作者：雷波 张天宇 罗晓琴 指导教师：李治 问题的重述(略). 基本假设假设学校基金在第一年初到位；假设学校每年发放奖金的时间都是在每年末；假设通货膨胀率忽略不计；假设每次都能按需购买到国库券；假设银行储蓄年利率和国库券年利率在十年内基本不变；假设国库券每次发行都有二年期、三年期、五年期. 符号说明M表示基金数； A表示每年发放的奖金额；xi0表示第i年用于活期
3、存款的资金； r0表示活期存款的税后年利率；xi1表示第i年用于半年期存款的资金； r1表示半年期存款的税后年利率；xi2表示第i年用于一年期存款的资金； r2表示一年期存款的税后年利率；xi3表示第i年用于二年期存款的资金； r3表示二年期存款的税后年利率；xi4表示第i年用于三年期存款的资金； r4表示三年期存款的税后年利率；xi5表示第i年用于五年期存款的资金； r5表示五年期存款的税后年利率；yi1表示第i年用于购买二年期国库券的资金；R1表示二年期国库券的年利率；yi2表示第i年用于购买三年期国库券的资金；R2表示三年期国库券的年利率；yi3表示第i年用于购买五年期国库券的资金；R3
4、表示五年期国库券的年利率；其余符号在文中直接说明. 银行法规和国库券政策说明根据1992年国务院颁发的储蓄管理条例和国库券条例有以下规定： 我国现行储蓄存款利息计算一般是以单利计算； 半年活期按180天计算； 未到期的定期储蓄存款, 全部提前支取的, 按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息；部分提前支取的, 提前支取部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息, 其余部分到期时按存单开户日挂牌公告的定期储蓄存款利率计付利息 国库券按期偿还本金国库券利息在偿还本金时一次付给, 不计复利 模型分析, 建立与求解由于问题要求在每年得到的奖金额尽量多, 因此我们在进行投资时应遵循一个基本原则：尽
5、量选择利息率高的投资方式.模型：只存款不购买国库券的投资模型分析： 由于只需在每年末发放奖金, 根据基本原则, 可以不考虑活期存款和半年期存款 每年末回收的资金可以分成两部分, 一部分用于发放该年的奖金, 另一部分用于第二年的投资依次下去, 直到第n年末, 回收的资金除去所发该年的奖金外, 刚好等于最初的基金M .记X ( i ) = xi2 + xi3 + xi4 + xi5 , i = 1, 2, , n.W ( i ) = (1 + r2 ) x( i-1) , 2 + (1 + 2 r3 ) x( i-2) , 3 + (1 + 3 r4 ) x( i-3) , 4 + (1 + 5
6、r5 ) x( i-5) , 5 - A.假设每年发放的奖金额基本相等, 就可以建立问题的线性规划模型：max A,X (1 ) = M,X (2 ) = (1 + r2 ) x12 - A,X (3 ) = (1 + r2 ) x22 + (1 + 2 r3 ) x13 - A,X (4 ) = (1 + r2 ) x32 + (1 + 2 r3 ) x23 + (1 + 3 r4 ) x14 - A,X (5 ) = (1 + r2 ) x42 + (1 + 2 r3 ) x33 + (1 + 3 r4 ) x24 - A,X (6 ) = W ( 6 ), X ( i ) = W ( i
7、 ), X ( n - 4 ) = W (n - 4 ),x( n-3) , 2 + x( n-3) , 3 + x( n-3) , 4 = W (n - 3 ),x( n-2) , 2 + x( n-2) , 3 + x( n-2), 4 = W (n - 2 ),x( n-1) , 2 + x( n-1), 3 = W (n - 1 ),x n2 = W (n ),W (n +1 ) = M.xij 0, A0.当M = 5000万, n = 10年时, 代入模型, 利用数学软件lindo求解得：每年最高奖金额A为：109.817万元投资方案如表3-18.表 3-18（单位：万元）i123
8、45678910xi2204.60700204.607000000xi3200.49500000000xi4387.7690000000xi54207.12998.47398.47398.47398.4734581.974（“”表示该年不能投资该种投资形式, 下同）模型：可存款也可购国库券的投资模型分析：根据基本原则, 我们应优先考虑买国库券（对于国库券每年发行时间都在年初的特殊情况, 其求解模型类似模型, 在这里我们不作讨论）由于每年发行国库券的时间和发行的次数不定（每年至少发行一次）, 为了不使用于购买国库券的那部分资金闲置, 我们设立如下的解决方案：以二年期国库券为例：由于在年初投放资金
9、时不能购买国库券, 我们先将购买国库券的资金全部用于半年期存款, 如果在该半年内发行了国库券, 我们就将资金全部取出购买国库券, 在国库券到期的那年将本息全部用于半年期存款, 到期后转入活期存款；如果在该半年内没有发行国库券, 我们将半年到期的自己全部用于活期存款, 用于购买下半年一定会发行的国库券, 国库券到期之后再全部转入活期存款因此, 我们将其运转周期定为三年, 在这三年里, 不管国库券什么时候发行, 该部分资金一定有两年是用于存国库券, 有半年用于存半年期, 还有半年是存活期即采用活期、半年期、国库券的“组合式”投资同理, 三年期国库券, 五年期国库券的周期分别为四年, 六年那么, 该
10、部分资金在这几年里的收益为：收益 = 本金 (1 + 年数国库券年利率)(1 + 半年年利率2 ) (1 + 活期年利率2 )记X ( i ) = xi2 + xi3 + xi4 + xi5 , i = 1, 2, , n.W ( i ) = (1 + r2 ) x( i-1) , 2 + (1 + 2 r3 ) x( i-2) , 3 + (1 + 3 r4 ) x( i-3) , 4 + (1 + 5 r5 ) x( i-5) , 5 - A.p1 = (1 + 2R 1 ) (1 + r0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.06394,p2 = (1 + 3R 2 ) (1 + r
11、0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.10008,p3 = (1 + 5R 5 ) (1 + r0/2 ) (1 + r1/2 ) = 1.17125.资金的回收与再投资与模型相似, 可以建立问题的线性规划模型：max A,X (1 ) + y11 + y12 + y13 = M,X (2 ) + y21 + y22 + y23 = (1 + r2 ) x12 - A,X (3 ) + y31 + y32 + y33 = (1 + r2 ) x22 + (1 + 2 r3 ) x13 - A,X (4 ) + y41 + y42 + y43 = (1 + r2 ) x32 + (1 +
12、2 r3 ) x23 + (1 + 3 r4 ) x14 + p1 y11 - A,X (5 ) + y51 + y52 + y53 = (1 + r2 ) x42 + (1 + 2 r3 ) x33 + (1 + 3 r4 ) x24 + p1 y21 + p2 y12- A,X (6 ) + y61 + y62 = W ( 6 ) + p1 y31 + p2 y22 ,x72 + x73 + x74 + y71 + y72 = W ( 7 ) + p1 y41 + p2 y32 + p3 y13 ,x82 + x83 + x84 + y81 = W ( 8 ) + p1 y51 + p2
13、y42 + p3 y23 ,x92 + x93 = W ( 9 ) + p1 y61 + p2 y52 + p3 y33 ,x10, 2 = W (10 ) + p1 y71 + p2 y62 + p3 y43 ,W (11) + p1 y81 + p2 y72 + p3 y53 = M.xij 0, yij 0, A0.当M = 5000万时, 代入模型, 利用数学软件lindo求解得：每年奖金额A为：127.521万元投资方案如表3-19.表 3-19（单位：万元）i12345678910xi2232.216000125.26700000xi3227.54900000000xi4222.0
14、100000000xi5000000yi100000000yi2229.789000004661.043yi34088.435108.876108.876108.8760在资金到位后第年要举行百年校庆, 希望这一年的奖金额比其他年度多20%的投资方案分两种情况. 在只存款不购国库券时, 利用模型解得：每年奖金额A为：107.552万元投资方案如表3-120.表 3-20（单位：万元）i12345678910xi2200.38800200.388000000xi3196.36000000000xi4399.9740000000xi54203.27796.44296.44298.47396.442
15、4579.943 在可存款也可购国库券时, 用模型解得：每年奖金额A为：124.849万元投资方案如表3-21.表 3-21（单位：万元）i12345678910xi2227.352000122.64200000xi3222.78200000000xi4240.8100000000xi5000000yi100000000yi2224.975000004658.615yi34084.081106.595106.595106.5950 模型优化 在上述两种模型中, 我们都认为每年年末所回收的资金全部用来投资和发奖金, 没有剩余但在实际情况中, 每年年末用来投资和发放奖金的可能要比每年回收的资金少因
16、此, 可以将上述两个模型中的“=”改成“”用数学软件lindo解得另一组最优解：A = 109.817万元（与模型结果相同）投资方案如表3-22.表 3-22（单位：万元）i12345678910xi2107.87500204.6070107.8750000xi3200.49500000000xi4387.7690000000xi54303.861098.47398.47398.4734581.974根据线性规划问题解的性质：若有两组最优解, 设这两组最优解为x (1) 和x (2), 则对于任意 l (0l1), x = l x (1) + (1 - l )x (2) 都为模型的最优解. 即
17、说明模型有多种不同的投资方案.现对模型在M = 5000万, n = 10年的情况下进行验证当 l = 0.5时, 投资方案如表3-23.表 3-23（单位：万元）i12345678910xi2156.241100204.607053.93760000xi3200.494700000000xi4387.76940000000xi54255.494998.472998.472998.472998.47294581.9736将以上结果代入模型中检验, 结果与实际相符合, 说明该模型是可行的 模型的误差分析关于年度中国库券实际发行有如下几种情况： 年度中发行国库券, 之前和到期之后均以活期方式存储；
18、 上半年度中发行国库券, 之前存活期, 之后存半年期和活期； 下半年度中发行国库券, 之前存半年期和活期, 之后存活期； 恰好在年度中点发放国库券, 之前之后均存两个半年期显然, 模型所采用的“结合式”计息与实际发行的计息存在误差假定该年预留给第i项国库券的资金为C, 分别考察前三种情况的收益p： p = C (1 + Ni R i ) (1 + mr0/360 ) 1 + (360 - m ) r0/360.； p = C (1 + Ni R i ) (1 + r1/2 ) (1 + mr0/360 ) 1 + (180 - m) r0/360. p = C (1 + Ni R i ) (1
19、 + r1/2 ) (1 + mr0/360 ) 1 + (180 - m) r0/360. p = C (1 + Ni R i ) (1 + r1/2 )2.式中Ni为期限(N1=2, N2 =3, N3 =5 ), m为天数. 经计算, 四种方式与模型所采用的计息方式的相对误差d0.0000039. 对模型的评价和改进本文所阐述的模型是以每年奖金额最大为目标的投资方案的优化, 它适用于制定某一定量的资金在n年内的投资计划模型建立运用线性规划的方法, 可理解性强, 应用广泛模型不仅适用于只存款不购买国库券的情况, 还适用于既存款又购买国库券的情况, 但它要求每次国库券购买时间都在年初在这种情
20、况下, 只需将存二年期、三年期、五年期存款的资金拿来买国库券即可模型运用总体思维的方式将活期、半年期和国库券合起来看作一个整体进行投资, 避免了考虑国库券的发行时间不确定这个因素, 简化了模型的建立条件, 但该模型不适用于某一次国库券购买时间在年初和年度中点的情况, 改进方向：可以将模型与模型综合起来, 建立一个动态的规划模型, 将该问题划分为若干个互相联系的阶段, 在它的每一个阶段都需要做出决策, 并且在一个阶段的决策确定以后, 常影响下一个阶段的决策, 从而影响整个过程的决策由于每个阶段有多种可供选择的决策, 因而就形成有许多策略可供我们选择, 对应于不同的策略会有不同的结果在允许选择的策略中, 选择一个最优策略, 使在预定的条件下达到最好的效果文档可自由编辑打印