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1、江苏省东台中学2010届高三模拟试卷（数学）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上1若集合，则_2已知复数，若，则实数的取值范围是_3已知点，则点的坐标为_4为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是_5已知函数，则_6在正方体中，以各面中心为顶点可以构成一个美丽的几何体若这个美丽的几何体的体积为1，则正方体的体积为_7运行如图所示的程序流程图，则输出的值为_8抛掷一颗骰子的点数为，得到函数，则“在上至少
2、有5个零点”的概率是_9若对于，不等式恒成立，则正实数的取值范围为_10已知是椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于两点若，则椭圆的离心率为_11在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是以下几何形体的4个顶点：矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体其中正确的说法是_(填上正确答案的序号)12设定义在的函数同时满足以下条件：；当时，则_13已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为则数列的前28项的和_14 若存在过点的直线与曲线和都相
3、切，则等于_二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15(本小题满分14分)（第16题图）目如图，在四棱锥中，为的中点求证：（1）平面；（2）平面16(本小题满分14分) 在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值17. (本小题满分15分)已知分别以和为公差的等差数列和满足，（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列，的前项和满足，求数列和的通项公式；18. (本小题满分15分)如图，F是椭圆的左焦点，A,B分别是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，三点确定的圆M恰好与直线相切（
4、1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线与圆M交于P,Q两点，且求直线的方程19.（本小题满分16分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （1）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.20(本小题满分16分)已知函数（，实数，为常数）（1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；（2）若对于任意的实数
5、，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)数学（附加题）21.选做题在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A.(选修4一l：几何证明选讲)如图，圆O的直径,C为圆周上一点，,过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E。求的度数与线段AE的长。B.(选修42：矩阵与变换)已知二阶矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵AC.(选修44：坐标系与参数方程)已知直线和参数方程为 ,是椭圆上任意一点，求点到直线的距离的最大值D.(
6、选修45：不等式选讲) 已知f(x)定义在区间1，1上,设x1，x21，1且x1x2(1)求证: | f(x1)f(x2)| x1x2| (2)若a2b21，求证：f(a)f(b) 必做题第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程
7、的人数，求 的分布列及数学期望。23.已知:当时，求证：；参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上1若集合，则_【解析】 2已知复数，若，则实数的取值范围是_【解析】由，即3已知点，则点的坐标为_【解析】所以点C的坐标为4为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是_【解析】由题意可设前三组的频率为，则所以抽取的男生的人数为5已知函数，则_【解析】6在正方体中，以各面中心为顶点可以构成一个美丽的几何体若这个美
8、丽的几何体的体积为1，则正方体的体积为_【解析】设正方体的棱长为a，则所以正方体的体积为67运行如图所示的程序流程图，则输出的值为_【解析】本算法旨在求从1开始的连续的奇数的成绩大于100时，最小的奇数，故通过计算可得8抛掷一颗骰子的点数为，得到函数，则“在上至少有5个零点”的概率是_【解析】基本事件总数为6，则使得“在上至少有5个零点”，即在上至少包含两个周期，所以，故所求的事件中a可取3，4，5，6四个数，所以所求事件的概率为9若对于，不等式恒成立，则正实数的取值范围为_【解析】所以由不等式恒成立，得10已知是椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于两点若，则椭圆的离心率为_【解析】由题意设，
9、所以，所以所以11在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是以下几何形体的4个顶点：矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体其中正确的说法是_(填上正确答案的序号)【解析】正确的说法是若是平行四边形，则必为矩形；如四面体；如四面体；如四面体12设定义在的函数同时满足以下条件：；当时，则_【解析】由是定义在上的函数且，所以，又所以且，13已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为则数列的前28项的和_【解析】两集合中无公共项，的前28项由
10、中的前7项及中的前21项构成所以14 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于_【解析】由，设曲线上任意一点处的切线方程为，代入方程得或当时，切线方程为，则，当时，切线方程为，由， 或（第15题图）目二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15(本小题满分14分) 如图，在四棱锥中，为的中点（第15题图）求证：（1）平面；（2）平面证明：（1）取中点，连结，为中点，且=2分且，且=4分四边形为平行四边形 6分平面，平面，平面. 8分（2），平面平面， 10分，为的中点， 12分，平面. 14分16(本小题满分14分) 在锐角中，角所
11、对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因为锐角ABC中，ABC，所以cosA. 2分则 7分（2），则bc3. 9分将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 14分17(本小题满分15分)已知分别以和为公差的等差数列和满足，（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列，的前项和满足，求数列和的通项公式；解：（1）依题意， 即， 即；4分 等号成立的条件为，即 ，等号不成立，原命题成立 7分（2）由得：，即：， 则，得 12分 ， 14分则，； 15分 18(本小题满分15分)如图，F是椭圆的左焦点，A,B 分别是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x
12、轴上，三点确定的圆M恰好与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线与圆M交于P,Q两点，且求直线的方程解：（1）因为椭圆的离心率为，所以即2分所以故所以BC得方程为 4分令得即，所以圆M的半径为圆心M（c，0）因为圆M恰好与直线相切，所以故所求的椭圆方程为 8分（2）因为所以所以M到直线的距离等于1 11分依题意，直线的斜率存在，设直线即所以解得，故所求的直线的方程为 15分19(本小题满分16分)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测
13、得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （1）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;（I2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解 （1）如图，AB=40，AC=10，由于040=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin= 15 分所以船会进入警戒水域. 16 分20(本小题满分16分) 已知函数（，实数，为常数）（1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值；（2）若对于任意的实数，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大
14、值h(n)解：（1）当时，则令，得（舍），3分 当1时，1-0+当时, 令，得 5分当时，0在上恒成立，在上为增函数，当时, 令，得（舍） 综上所述，所求为 7分(2) 对于任意的实数，在区间上总是减函数，则对于x(1,3)，0， 在区间1,3上恒成立 9分设g(x)=，g(x)在区间1,3上恒成立由g(x)二次项系数为正，得 即 亦即 12分 =， 当n6时，m，当n6时，m， 14分 当n6时，h(n)= ，当n6时，h(n)= ， 即 16分附加题答案21A解：如图，连结OC，因,因此,由于,所以，又得; 5分 又因为,得,那么,从而，于是。 10分 B解：设A=，由题知=，=3 即，
15、5分 A= 10分C解： 直线的参数方程为为参数）故直线的普通方程为 3分 因为为椭圆上任意点，故可设其中. 因此点到直线的距离是 7分所以当，时，取得最大值. 10分 D. 证（1），| f(x1)f(x2)| x1x2| 5分 （2），f(a)f(b) 面对新的社会要求，教师与学生应首先走了社会的前边，因此我们应该以新课标要求为指挥棒，采用所有可行的措施，尽量体现以人为本，培养学生创新，开放的思维方式。另一方面注意处理好内容与思想的衔接，内容要在学生上学期的水平之上发展并为以后学习打下基础，思想上注意新思维与我国传统的教学思想结合等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
16、 ，互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A) 10分 4、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。22.解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（）=6P（
17、）P（）P（）=6=(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。11.弧长及扇形的面积所以P（=0）=P（=3）=， P（=1）=P（=2）= = P（=2）=P（=1）=，P（=3）=P（=0）= = 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。故的分布是的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）03、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。123P（3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.的数学期望E=0+1+2+3=2解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，i=1,2,3 ，由此已知，D，相互独立，且P（）-（，）= P（）+P（）=+=所以-,既， 故的分布列是12323.（1）因为，所以当时，= . 所以 4分（2）由（1）得，即，所以 10分另法：可用数学归纳法来证明