最新河南理工大学高等数学下试题_及_答案优秀名师资料.doc

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1、河南理工大学高等数学下试题_及_答案河南理工大学2012级高等数学下期末试卷 一、填空(每小题4分，共24分) 221(函数的定义域是 ，函数在 是间断的. zxy,ln(1),z,z22,2(设函数，则 ， . zxy,，sin(),y,x23(函数在 点(1，2)处沿轴负方向的方向导数等于 . zxxy,，3x22222224(设，则曲面积分= . ,，,:xyza()xyzdS，,2Dxy:11,02,5(设，则二重积分= . xyd,D6(如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之 为 解. 二、解答下列各题(每小题6分，共18分) 22axby，ab,1(求

2、函数(为常数)的全微分. ze,222(求曲面在点处的切平面方程和法线方程. (1,1,3)xyz，,20xx,3(求微分方程的通解. (1),eyye三、解答下列各题(每小题6分，共18分) ,zzyzxyxFu,，(),xy，1(设而为可导函数，试计算. uFu,(),xyx2222zxy,2,2(计算三重积分其中是由曲面及所围成的闭区zxy,，zdxdydz,.,域. 222y,0,3(计算曲面积分，其中是柱面介于平面及xyax，,(0)xyzdydz,yhh,(0)之间部分的前侧。 yyyx32cos,，,四、(12分)求微分方程的通解. ydxxdy,(1),五、(12分)求曲线积分

3、其中: 22,L(1)xy,，22(1)(8分)L为圆周的正向. xyy，,2022(2)(4分)L为椭圆的正向 480xyx，,六、(10分)求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积. 22,xy22xy，,0,3222fxy(,),七、(7分)讨论函数 在(0，0)处的连续性. ,()xy，,2200xy，,河南理工大学2011级高等数学(下)期末试卷 一(填空题(每小题4分，共40分) 331(设函数，则全微分 dz,zxyyx,uufxyxyf,，(,),2(设函数具有一阶连续偏导数，则 ,x12y3(二重积分，改变积分次序后= . IIdyfxydx,(,),00322111,xx

4、y2224(直角坐标系下的三次积分化为球坐标系下Idxdyfxyzdz,，)2,110x的三次积分I= 22225(若区域，则三重积分= ,，,:xyzRxyzdxdydz,(2)()xydxxydy，,uxy(,)6(当= 时，为某二元函数的全微分. ,222A(0,0)B(2,4)7(曲线积分，其中L是抛物线上从点到的一段弧，yx,Ixydx,(),L则I= . ,8(当为面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为 xoy= . fxyzdS(,),yyy20，,9(二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y= ,x10. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*= yyye22,，,

5、(,)0cxazcybz,(,)uv二(10分)具有连续偏导数，证明由方程 所确定 ,zzzfxy,(,)abc，,的函数满足 ,xy2222zxy,，三(10分)由锥面及抛物面所围立体体积 zxy,，xayazb,cos,sin,(,0,0)a四(10分)求螺旋线在处的切线方程及法平面方程. 11xx五、(10分)利用高斯公式计算曲面积分， ,，Ifdydzfdzdxzdxdy()(),yyxy,222zaxy,fu(),z,0其中具有二阶连续导数，为上半球面与所围成空间闭区,域的整个边界曲面的外侧. 2(0)x,六(10分)设曲线积分在右半平面内与路径无关，其yfxdxxfxxdy()2(

6、)，,Lfx()fx()f(1)1,中可导且，求. yyyx233,七(10分)二阶常系数非齐次线性微分方程，求其通解. 河南理工大学2010级高等数学下期末试卷 一(填空题(每小题4分，共32分) 2,zy,z1(设函数ztg,()，则 ， . ,yx,x2233M(1,1,1)2(曲线在处的切线方程为. xtytzt,22y3(交换二次积分次序，dyfxydx(,), . 2,0y224(设L为右半圆周:，则曲线积分 . xyx，,1(0)Iyds,Lxyzxyz()，,dS5(设?为平面在第一卦限中的部分，则曲面积分 . ，,1,234234,2dydy,，,9200y8(求微分方程的通

7、解为 . 2dxdx二(解答下列各题(每小题7分，共35分) z1(设. exyzdz,0,求222(讨论函数是否有极值 zxy,(1)2dy,xyxsin，,4(求微分方程的特解. dx,y()1,yy，,15(求微分方程的通解. xxL三(11分)利用格林公式计算曲线积分，其中为Ieydxeyxdy,，,(1cos)(sin2),Lyx,sin从原点的正弦曲线. OA(0,0)0到(，),23四(11分)利用高斯公式计算曲面积分，其中,是球面Iydydzxdzdxzdxdy,，,2222的内侧. xyza，,2222zxy,，五(11分)求由锥面及旋转抛物面所围成的立体的体积. zxy,，

8、河南理工大学2009级高等数学下期末试卷 一(填空题(每小题4分，共32分) ,zzyxy，,1(设函数zff,(),可微，则 . ,xyx2233xtytzt,在t=12(曲线处的法平面方程为: . 1yxx,23(设区域D由及所围，则化二重积分为先的二次y,xy后Ifxyd,(,),xD积分后的结果为 . 22224(设L为圆弧:，则曲线积分 . xyy，,2,0Ixyds,，,(),L22,，,:(01)zxyz5(设，则曲面积分= . Ids,2,3,x28(二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*= .(不4129yyye，,要求计算) 二(解答下列各题(每小题7分，共28分)

9、yxF(,)0,F1(求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求. dzzz222(讨论的极值. zxyxy,4()dy1,4(求微分方程的通解. dxxyycossin2，222为沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分三(10分)设Lxyaa，,(0)22. Ixydyxydx,L2222222四(10分)求由球面及所围成的立体的体积. xyzaa，,()zxy,，2五(10分)利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面,Ixzdydzydzdxyzdxdy,，42,222外侧的上半部分. xyz，,12,fx()六、(10分)求，使曲线积分与路径无Iyxyfxydxxyfxdy,，,，(2)()(),L

10、,fx()ff(0)0,(0)1,关，其中具有二阶连续导数，且. ,河南理工大学2008级高等数学下期末试卷 一(填空题(每小题4分，共32分) 2,z4422,1(设函数则 . zxyxy,，,4,xyxyze,2(设，则dz, . 122xtytztt,，,，,12,2,在=13(曲线处的法平面方程为 . 22ydyfxydx(,),4(交换二次积分次序，则 . 2,0y22222n5(设为圆周:，则曲线积分 . Lxya，,Ixyds,，(),Lxoy6(当?为平面内的一个闭区域D时，则曲面积分 . dS,xyyyln0,7(微分方程的通解为 . yyy6130，,8(微分方程的的通解为

11、 . 二(解答下列各题(每小题7分，共28分) ,zzzzxy,(,),1(由方程所确定，其中具有连续的偏导数，求. ,cxazcybz,0,，,xy22(计算二重积分其中D是由所围成的闭区域. yyx,1,(),xyd，,D2223(利用高斯公式计算曲面积分，其中是球,Ixzdydzxydzdxyzdxdy,，,，(3)(2),2222面的外侧. xyza，,dx226yxy,4(求微分方程的通解. dy34m三(10分)某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省. 2222四(10分)求由曲面及所围成的立体的体积. zxy,8zxy,，x五(10分)

12、微分方程的通解. 22yyye，,2,()x六(10分)曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且 xydxyxdy，,(),L(1,1)2,(0)0,xydxyxdy，,()，计算. ,(0,0)河南理工大学2007级高等数学下期末试卷 一、填空题(每小题3分，共30分) 2,z3322,_(1)设，则. zxyxy,，,32,x33dz,_(2)设，则全微分. zxyyx,2233M(2,3,1)(3)曲线xtytzt,2,3,在处的切线方程为 . 12y(4)交换二次积分次序，则 . dyfxydx(,),00(5)设有曲线:yx,的起点为(0，0)，终点为(1，1)则曲线积分: . y

13、ds,L22222zaxya,，,(0),(6)设曲面是锥面在柱面内部那一部分上侧，则曲xya，,22面积分 . IzxydS,，,(),22,2,fxy(,)fxxfxxx(,)1,(,),fxx(,),(7)设具有连续偏导数，且则 . 21(2)()xydxxydy，,uxy(,),(8)当 时，为某二元函数的全微分. xx(9) 微分方程的通解为 yedxedy，,02dydy,，,690y(10) 微分方程的通解为 2dxdx2,zz22二(7分)设xyzz，,230,;.求. 2,xx三(7分)利用拉格朗日乘数法求解问题:从斜边之长为 的一切直 角三角形中，求有最大l周长的直角三角形

14、. 2xxyx,2,xy,1四 (7分)利用适当的坐标计算积分 其中D 是由直线: 及曲线 ,dxdy2,yD所围城的闭区域. 333 (10分)利用高斯公式计算曲面积分: 五 ,Ixdydzydzdxzdxdy,，,222zaxy,其中是曲面上侧. ,六(10分) 利用格林公式，计算曲线积分:其中L (24)(536),xydxyxdy,，,L为三顶点分别为(0，0)、(3，0)和(3，2)的三角形正向边界. 122七(10分) 求由抛物面与平面 所围成空间闭区域内的立体的质 z,1zxy,，()2:(,).,xyzz,量，已知此立体的体密度为 ,yyyx,65八(10分) 二阶常系数非齐次

15、线性微分方程 ，求其通解. 3122,()xyxdxxxydy,，,九(9分)设曲线积分()()与路径无关, 其中具有连续的,22L1一阶导数,且当其为起点在O(0，0)终点为B(1，1)的有向曲线时，该曲线积分值等于,4,()x求函数. 河南理工大学2006级高等数学下期末试卷 一、填空题(每小题3分，共30分) du2ufxyz,(,)yx,sinzx,f(1)设,，,具有一阶连续偏导数，则 ,dx2xysin2(2)设dz,，则全微分 ze,z(1,2,0)(3)曲面在点处的切平面方程为 zexy,，,232x(4)交换二次积分次序，则 dxfxydy(,),11Dxy:01,01 ,(

16、5)计算二重积分的值 ，其中 4xydxdy,D2222xy,a,0(6)曲线L为球面与平面相交的圆周，其中，则曲线积分xyza，,22 2yzds，,L222(0)a,zhzh,;(0)h,(7)设曲面是在柱面 上介于的部分，则曲面积xya，,分 Ids,3222(8)当 时，曲线积分 与路(cos)(12sin3)axyyxdxyxxydy,，,，a,L径无关. dy,x(9)微分方程(b为常数)的通解为 ，,2ybedx2dy，,90y(10)微分方程的通解为 2dx32二、(8分)已知三个正数之和为12，求的最大值. xyz,uxyz,sinx2dxdy三、(8分)计算二重积分的值，其

17、中D是由直线及曲线所围成的闭yx,yx,xD区域. 2222zxy,，四、(10分)求旋转抛物面与锥面所围立体的体积. zxy,2(0,0)(3,0)五、(10分)求，其中L为顶点坐标分别是，(24)(536)xydxyxdy,，,L(3,2)的三角形的正向边界. 六、(10分)利用高斯公式计算曲面积分: 222323232zaxy,，其中是曲面()()()xazdydzyaxdxdzzaydxdy，,(0)a,的上侧. ax,七、(10分)求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解(其中a为常数). yyye，,44yfx()f()1,具有一阶连续导数，且，又 八、(10分)设sin()()0xf

18、xdxfxdy,，,x(0)x,fx()是全微分方程，求. x,()uzzu,()zzu,()uuptdt,，,()()九、(6分)已知，且，其中可微，连续，且,y,zz,()1u,pt()pypx()()，连续，求. ,xy河南理工大学2005级高等数学下期末试卷 一(填空题(每小题4分，共40分) 1A,Ayx,x,21.由曲线与直线及围成的图形的面积为若以x为积分变量,面积可y,xA,用定积分表示为 . fxy(,)2.设为连续函数，则交换二次积分次序后 21x . dxfxydy(,),0022223. ,其中L是圆弧. x，,yy1,0Ixyds,，,(),Lxyz，,14. ，其中

19、为平面在第一卦限中的部分. ,I,xyzdS，,xoyxoy5.设为面上的闭区域,取下侧, 表示在面的投影,将D,D化为上的二重积分,则 IPxyzdydzQxyzdxdzRxyzdxdy,，(,)(,)(,),I, . 3229.全微分方程的通解为 . 2(13)0xydxxydy，,10.一阶线性非齐次方程:的通解为 . y,yPxyQx，,()()二、计算下列各题(每小题5分，共10分) 21.求曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积. xy,yx,x22. IyxdxdyDxy,|,:|1,01.,D三、(7分)计算三重积分 222222所围成的Ixyzdxdydzxyzz

20、,，,，,，其中是由球面2,闭区域。 222()()xydxxydy，,xyaa，,(0)四、(7分)计算，其中L为圆周(按,I22,Lxy，逆时针方向绕行) 2222五、(8分)计算，其中,是锥面及平面z,1所围成的区域的zxy,，IxydS,，,整个边界曲面. axdydzzadxdy，()六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分其中,是曲面 I,.222,xyz，,222(0a,的上侧.为常数). zaxy,八、计算下列各题(每题6分 共12分) xfx()fx()1.如果可微函数满足关系式，求. fxftdt()(),02x,2.求微分方程的通解. yyye，,22各年期末试卷参考解答 2

21、012级高等数学下期末试卷参考解答 一(填空(每小题4分，共24分) 22221. ,; 2. xy，,0xy，,0,zz2222,，,，2cos(),2cos()xxyyxy， ,xy444,a3( 略 ; 4. ; 5.; 6. 通 . 3二(解答下列各题(每小题6分，共18分) 2222axbyaxby，1. 解:; dzaxedxbyedy,，222. 解:切平面的法向量为,故切平面方程为2,2,23,，法线 2(1)2(1)23(3)0xyz,，,(1)(1)(3)xyz,。 ，,022,23xxee3. 解:分离变量得: ,积分得: ,即微分方程的通解为ydydx,ydydx,xx

22、,11,e,ex. lnln(1)yec,，三(解答下列各题(每小题6分，共18分) ,zyyyzy1,，,，,yFxFxxF()()(),()()1. 解: ,故 2,xxxxyxx,zzyxyxyxF，,，2(). ,xyx2222,zxy,，,1zxy,2,2. 解:由交线，由柱面坐标 ,22z,1zxy,，,2212,r7,zdxdydzdrzdz,. ,2,00r12,3. 解:由于关于面对称,而被积函数xyz关于y为奇函数,故. xyzdydz,0xoz,12xx四. 解:对应齐次方程通解为ycece,，.由于0,i不是特征方程的根，可设特解: 12yaxbx*cossin,，(3

23、)cos(3)sincosabxabxx,，,代入原方程得:,故: 1,a,ab,31,13,10xx2,故所求通解为:yceceyxx,，,. *cossin,12303ab，,1010,b,10,QP(1,0),L五. 解:(1)由于不包含奇点,由格林公式并注意到得: ,xyydxxdy,(1),0; 22,L(1)xy,，,QP(1,0),L(2) 由于包含奇点,不能直接使用格林公式，由于，故由连续变形 ,xyydxxdy,(1)222L原理可以将压缩为小圆(较小)，积分的值不变， lxyr:(1),，,r22,L(1)xy,，ydxxdyydxxdy,(1)(1)1,ydxxdy(1)

24、即:，此时， 22222,Lll(1)(1)xyxyr,，,，1(1)12ydxxdy,2,则可以使用格林公式得. ,22dxdyr22222,Lrxyrr(1),，DVxyzxyz(,),22236xyxzyz，,六. 解:设长、宽、高分别为，则体积,且xyz,由拉格朗日乘数法作辅助函数Fxyzxyzxyxzyz,(18),，,，其中为参 ,，数，解方程组 令,Fxyzyzyz,()0,，,x,令,， Fxyzxzxxz,()0,，,y,xyxzyz，,18,由对称性,即当长、宽、高都取 时，才能使体积为 xyzxyz,？,66最大, 最大体积为. 66七(略. 2011级高等数学下期末试题

25、参考解答 212332一(填空:1. 2. 3. dxfxydy(,)ffy，(3)(3)xyydxxyxdy,，,x12,02,21,56224.; 5.0; 6. 2; 7. ; ,ddfrrdr,()sin,o00152,xxBxe 8. ; 9.()ccxe， ; 10. fxydxdy(,0)12,Dc,c,z,z11,二.解:由隐函数求导公式得 ， ,，,xab,，,yab1212,zzacbc,，,11,，,ab,c左边右边. ？,xyab,，,122222,zxy,，,1zxy,，,三.解法一:(用三重积分)，由交线 Vdv,22z,1,zxy,，,21,r,Vdrdrdz,由

26、柱面坐标 ,2,00r621,22222Vxyxydxdydrrrdr,，,，,()()解法二:(用二重积分) ,006Ddxdydxxayz,0,0四.解:当时,=0, ，切线方程 ,0,ba？,0,0,0,dddxa,0,xayz,000()(0)(0)0xaaybz,，,，,或,法平面方程为. ,0abbyaz,PQRxxx111，,，,，,ff()()()()11五.解: 2,xyzyyyxyy23,由Guass公式(球体积的一半) Idxdydza ,3,PQ2,，,fxfxxfxx(),2()2()2六.解:,，由Pyfxxfxx,() ,Q2(),yx,PQ,得 ,yx1 (一阶

27、线性微分方程)， fxfx()()1，,2x11,dx2,22x,f(1)1,，两端同乘，得，积分得，再由 得fxxcx()()fxxx,ex,3211？,，fxx()， . c,333x3xx,七(解:对应齐次方程通解为.由于,0不是特征根，设特解,ycece,，ybxb*,，？0112b,1,02,3xx,代入原方程求得,所求通解为. ycecex,，,，,2123b,1,3,2010级高等数学下期末试卷参考解答 一(填空题(每小题4分，共32分) 22yyyy222692170;xyz，,sec(),sec();1、 2、 3、2xxxx4xdxfxydy(,); x,0245xx 4、

28、0; 5、; 6、略; 7、略; 8、ycece,，; 6112二(解答下列各题(每小题7分，共35分) zxdyydx()，zdz,1.解:微分得即. edzxydzzxdyydx,，,()()0,zexy,2ACB,0zxzyAzBzCz,2(1),4,2,4,02.解:，故由知xyxxyyxy22函数无极值. zxy,(1)23(略 dy,()sinxyx,y()1,4.解:由得，积分得，由得 xyxc,，cosxyx，,sindxxyx,，,cos1,，故原微分方程的特解为. c,10xx,yx*,5.解:对应齐次方程通解为.由于不是特征根，观察易得特解,0ycece,，12x,所求通

29、解为 yccex,，12xxxx三.解:，其Iecoydxeyxdyecoydxeyxdy,，,，,(1)(sin2)(1)(sin2),，Lll中为从原点的直线段，利用格林公式得 . lAO(，)到,0(0,0)Idxdy,204,D21,4,242四.解:由高斯公式. ,Izdvddrdr33sincos,5,0002222,zxy,，,1zxy,，,五.解法一:(用三重积分)，由交线 Vdv,22z,1,zxy,，,21,r,由柱面坐标 Vdrdrdz,2,00r62222解法二:(用二重积分) Vxyxydxdy,，,，(),21,2由极坐标 Vdrrrdr,(),0062009级高等

30、数学下期末试卷参考解答 一(填空题(每小题4分，共32分) 1222692170;xyz，,1、0; 2、 3、dyfxydxdyfxydx(,)(,)，; 4、 22;,11,y1y23,x225( 6(略; 7(略. 8( 22;,axeyxF(,)0,F二( 1(求函数z=dz，其中具有一阶连续偏导数，求. zz解:yxyxFdyFdx(,)(,)，12yxzdyydzyxzdxxdz,zzzzdzFF,，(,)(,),. ？,dzz1222yxyxzzzzzz2zFyFx，(,)(,)12zzzz2233zxyzxy,420,420,22得(，-)，2(2( xy222AzyCzxBz

31、xy,2,2,4,由于知该函数没有极值。 ACB,0,xxyyxydy1dx,xyycossin2,4(解可变为，此为一阶线性方程，同乘以 dydxxyycossin2，,coydysiny,sinsinyy,ee得，积分得通解 ,()sin2xeey,sinsinyy xeyec,，2sin12222三(解:，其中为从原点的 lAaOa(，)到0(,0),Ixydyxydxxydyxydx,，Lll直线段，利用格林公式得 ,a,2234. Ixydxdydrdra,，,()0,004222，,:,0Dxyay222,zaaxy,，,22222,四(解:,由交线 Vaaxyxydxdy,，,，

32、(),22,zxy,，,223,a2,zxya,，,5,a22,，,由极坐标. Vdaarrrdr(),006za,22五(解:，其中 Ixzdydzydzdxyzdxdyxzdydzydzdxyzdxdy,，,，4242,，,00,21,23，高斯公式. Izdvddrdr,404sincos,:0z0,000,PQ,22()2()，,，xyfxxyfxfxfx()()2，,六(解:由条件得，即， ,yx2r，,10此为二阶非齐次线性微分方程，又由，得，对应齐次方程通解: ri,yA*,A,2，又,0不是特征根，故设:，代入方程得，fxcxcx()cossin,，12故非齐次线性微分方程通解

33、为 fxcxcx()cossin2,，12ff(0)0,(0)1,由，得 fxcxcx()sincos,，cc,2,11212？,，fxxx()2cossin2 2008级高等数学下期末试卷参考解答 1xy,16xy一( 1(; 2(; 3(; dzexdyydx,，()2(3)2(3)(1)0xyz,，,，,24x21n，2,alnlnlnyxc,，dxfxydy(,);4( 5(; 6(=区域D面积. 7(. d,x,02D,33xxcexcexcos2sin2，8(. 12c,c,z,z12,二(1(解:由隐函数求导公式得 ，. ,，,xab,，,yab12121y42(解:. xydx

34、dydyddyydx，,，,()2,005,DDDDx02,a4,222453(解:由高斯公式. Ixyzdvddrdra,，,()sin,5,0003dy,dxdxy3,2,3y26yxy,xey,4(解可变为，此为一阶线性方程，同乘以得dydyy211,3,3,xyc,，()xy，积分得通解. 22y,2ySxyzxyxzyzxyz(,)22,4,，,三(解:设长、宽、高分别为，则用料,由拉格朗xyz,Fxyzxyxzyzxyz,22(4),，,，其中为参数，解方程组日乘数法作辅助函数,，令,，Fxyzyzyz,20,，,x,令,，Fxyzxzxz,20，,y， ,令,，Fxyzxyz,2

35、0，z,xyz4,xzxz，,20,x,由对称性,得. xy,20xzz，,22,xz,4,？,xyz2,12,2,1，即当长、宽、高各取时，才能使用料最省. 222222四(, Vxyxydxdyxydxdy,，,，,，8()()2(4(),DD2222,zxy,8,zxy,，,4,由交线,由极坐标 ,22z,1zxy,，,22,2. Vdrrdr,2(4)8,001x,x2ycece,，,1五(解:对应齐次方程通解为.由于不是特征方程的根，可设特解12xxxxxx,代入得，故所求通解为22yyye，,22,1aeaeaeea，,yae*,xx,yccee,，. 12,PQ,2(),2()x

36、yyxxx,六(解:由条件得，即，此为一阶可分离变量的微分方程，,yx22,(0)0,c,0解得由得，故.从而 ,(),xxc,，,()xx,(1,1)(1,1)(1,1)222xydxyxdyxydxyxdyxyydxxdy，,，,，,()() ,(0,0)(0,0)(0,0)22(1,1)(1,1)()()xyxy ,d1.,(0,0)22(0,0)2007级高等数学下期末试卷参考解答及评分标准 一. 填空题(每题3分,共30分) xyz,23123322 (1) (2)dz,(3xy-y)dx+(x-3yx)dy，(3) ,.66xy,24931221y (4)交换二次积分的积分秩序有:

37、 Idyfxydxdxfxydy,(,)(,)x,00021232xdx, (5) . (6) . Iadxdya,22,yds,02DL 12, (7) (注:对两边对求全导数有 fxx(,)1,x2,222fxxfxxxfxxx(,)(,)20,(,);，,又已知1211,22xfxxxfxx，,(,)20(,)2223xx (8) (9) (10) ,2yccxe,，()yeC,1222二(7分)解:设 FxyzxyzzFxFz(,)23,:2,23.(),，,2分xz2x故2分z,() x32,z再一次对 求偏导数，得 x2x,z644,，zx2(32)22,，,zx222分,，zzz

38、x(64)(32)832,z,x,2223,xzzz(32)(32)(32) 22824188zzx,，1分,.()3(32),z222xyl，三 (7分)解 设两直角边 xy,则周长 且 xyl，,222记 (3分) Fxylxyl,，,(),Fx120,，,x, (2分) Fy120,，,y,222xyl，,2xyl,得当 时，有最大周长 (2分) 2四(7分)解: 2x22x1122x分dxdyxdxdyxdx,()(4)1122,11yyyxDx 422xx932分,()().(3)xxdx1,1424222五 (10分)解 :记为曲面下侧，(1分) zxya,，,0;,1333则有:

39、 (2)Ixdydzydzdxzdxdy,，,分,，,11333 0;(2)xdydzydzdxzdxdy，,分,1 所以: 333 Ixdydzydzdxzdxdy,，,，,11333,，xdydzydzdxzdxdy()(3)高斯公式分,，,1 222,，3()()xyzdxdydz球坐,52a,6a,42,3sin(2)ddrdr分,0005六(10分)解: ,PQ1,3(3)分,yx2xgreen公式分分(3)(2)332x3(31)4412(2)分,，,dxdydxdydx,0003LD或法2: ,P,Q,1,3 ,y,xgreen公式,(3，1)dxdy(由积分的几何意义),12,

40、LD七 (10分)解 :由柱坐标: 222122,z1,(2)(4)()分分,MzdVdrdrzdzdrdr212,rr000022,2 522rr,2().(4)分dr,02832rrrr,603,2八、(10分)解:先解得 (2分) 1232xx,ycece,，故对应齐次方程的通解为 (2分) 12*,0ybxb,，不是特征根， 设 代入原方程有 (2分) 0155 (2分) ,bbxbxbb665,00101636非齐次方程的通解为: 所以 5532xx, (2分) ycecex,，,，12636九(9分)解:因为曲线积分与路径无关，所以 ,PQ3122,(),()3()()(3)而分P

41、yxQxxyyxxxy,yx22 ,3()()()3()xxxxxx,13333xxxx,xexedxcexdec,，,，,()()(),3 11113333xxxx,分,，,，exeedxcxce()(3)(1),3339A(1,0),记点 则 1311122yxdxxxydyydy,，,，,分()()0(1)(2),02224OAAB， 11,(1)(1)1,2241333,代回(1)得, ,，,(1)1cece99111333x, ,xxe,，分()(1)3992006级高等数学下期末试卷参考解答 2xysin22exydxxydy(2sin22cos2)，一、(1)ffxxf，cos2

42、; (2); xyz22224xy，,2,adyfxydx(,)4,ah(3); (4); (5) 1 ; (6); (7); ,y1,2xxa,2(8); (9); (10) yCxCx,，cos3sin3ycebe,，1222,Fxyz,，,30,x,3Fxyz,，,20,y32二、解:.设，令， Fxyzxyzxyy(,)(12),，,32Fxy,，,0,z,xyz，,12,xyz,6,4,2(6,4,2)解得:，所以点为唯一驻点，则所求最大值为6912. 11xsinsinxxdxdydxdyxxxdx,(sinsin)三、解: 2,00xxxD11,1sin1,(1)cos(sin)

43、xxx 00,P,QPxyxyQxyyx(,)24,(,)536,，,， ,1五、解:, ,3,y,x,QP()412由格林公式得= ,dxdydxdy(24)(536)xydxyxdy,，,yxDDL2x33或 ,dxdy412,00222六、解:补:取下侧 ,zxya,，,0,()1323232 Ixazdydzyaxdxdzzaydxdy,，()()(),2222 ,，3()xyzdvaydxdy,，,D11,22aa,51295554322= ,，,aaa,，3sinsinddrdrdardr,0000064202,2xrr，,440七、解:特征方程为:，所以 r,2YCCxe,，()1,21211,222xx*2ax当时，通解为: a,2yCCxexe,，yAxe,A,()122211,2xax*axyCCxee,，A,()当时，通解为: a,2yAe,1222a，(2)a，(2),PQy,八、解:因为,由得:PxyxfxQxyfx(,)