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1、湖南省长沙市雅礼中学2014届高三第四次月考试题 数学（理） word版含答案雅礼中学2014届高三月考试卷(四) 数 学(理科) 南雅中学高三数学备课组组稿 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11.已知集合则满足的集合个数是( ) BAB:,1,0,1AxxxR,|0,x A.2B.3C.4D.82.是直线与直线平行的( ) a,1laxy:0，,lxay:20，,12A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ,3.若向量满足/，且，则( ) abbc,0()abc，,abc,A.4B.3
2、C.2D.02x4.已知函数:，当时，下列选项正确的是 fxxgxhxx(),()2,()log,a,，,(4,)2( ) A.B. fagaha()()(),gafaha()()(),C.D. gahafa()()(),fahaga()()(),5. 已知平面外不共线的三点到的距离都相等,则正确的结论是( ) A,B,C,ABCABCA.平面必平行于 B.平面必与相交 ,ABCABCC.平面必不垂直于 D.存在?的一条中位线平行于或在内 2AB6(已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于y,x，3x，y,0A,B( ) C3242 3 4 ABDxy，,17.平面上动点满足，,则一定有
3、( ) A(x,y)B(,4,0)C(4,0)53AB，AC,10AB，AC,10 ABAB，AC,10AB，AC,10C D ,1m,8. 在等差数列a中，记数列的前项和为，若na,21S,a,5,nSS6n2n，1n2a15n,*对恒成立，则正整数的最小值为( )mnN, 5 4 3 2 CABD二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分) 29.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标 . ,cos4sin,A D 10.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点， COCA
4、OBEAF B C 的平分线分别交、于点、.则 E ，ACBAEABFD，ADFO 的度数= . 3x，6，14,x,a11(若存在实数x使成立，求常数a的取值范围 。 (二)必做题(12-16题) 2,= 。 12. 计算:cosxdx,02 ,13(已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的2 2 尺寸，可得这个几何体的表面积是 。 (正视图) (侧视图) 2 2 (俯视图) 14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法。(用数字作答) i,i,Re,cos,，isin,ie15.定义:，其中是虚数单位，且实数指数幂
5、的运算性质对,03221233coscossincossinsinx,C,Cy,C,C都适应。若，则2( x，yi,32m,Rg(x),x,x，1，f(x)16.已知函数 其中,。 f(x),lnx,mx，1,8m (1)若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ; f(x),0f(x)nmn (2)在(1)的条件下，当取最小值时，在e,，,)(n,Z)上有零点，则的最大值g(x)为 。 三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2217.(本小题满分12分)已知函数，.求: xR,fxxxxx()sin2sincos3cos,，(1)函数的最小值及取得最大
6、值的自变量的集合; xfx()(2)函数的单调增区间. 高 考 资 源 网 fx()18. (本小题满分12分) 如图，在直三棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱)中，ABCABC,111平面侧面，,，且ABC,AABBAB,BC,AA,3线段AC、AB上分别有一点E、F11111满足. 2AE,EC,2BF,FA1(1)求证:; ABBC,(2)求点的距离; E到直线AB1(3)求二面角的平面角的余弦值。 F,BE,CC1A1B1FEACB19.(本小题满分12分)长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当3天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的
7、社长4112是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学433生。 (1)若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率; (2)若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及,数学期望。 E,20. (本小题满分13分)2013年我国汽车拥有量已超过2亿(目前只有中国和美国超过2亿)，为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在部分地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为x1n(=100万辆)，第年(2013年为第1年，2014年
8、为第2年，依次类推)年初的拥有量x1xn1,记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为,其中xyx(0,1)nnnmm=200万。 (1)证明:y,50,; nxx (2)用表示;并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内。 nn，121(定义:对于两个双曲线,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称CCCCCC12121211:yx:yx,，,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别CC1212xx为。 e,e12(1)写出,的渐近线方程(不用证明); 1211:yx:yx,，,(2)试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线,请加以证明。 12xx11(3)求值:。 ，2212ee
9、2qx,22(本题满分13分)设函数，若时，有极小值，f(x),plnx，p,0f(x)22x1， ，1,ln22(1) 求实数的取值; p,qnS中，求证:数列的前项和; (2) 若数列,，,naa,fna,nnnn44acb2,(3) 设函数，若有极值且极值为，则与是ttg(x),alnx，bx，c(a,0)g(x)4a否具有确定的大小关系,证明你的结论。 雅礼中学2014届高三月考试卷(四) 数 学(理科) 南雅中学高三数学备课组组稿(教师版) 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11.已知集合则满足的集合个数是( C
10、) BAB:,1,0,1AxxxR,|0,xA.2B.3C.4D.8 a,1laxy:0，,lxay:20，,2.是直线与直线平行的( A ) 12A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ,abbc,0()abc，,3.若向量满足/，且，则( D ) abc,A.4B.3C.2D.0 2xfxxgxhxx(),()2,()log,4.已知函数:，当时，下列选项正确的是 a,，,(4,)2( B ) A.B.fagaha()()(),gafaha()()(),C.D.gahafa()()(),fahaga()()(),5. 已知平面外不共线的三点到的距离都相等
11、,则正确的结论是( D ) ,A,B,CA.平面必平行于 B.平面必与相交 ,ABCABCC.平面必不垂直于 D.存在?的一条中位线平行于或在内 ,ABCABC2AB6(已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于y,x，3x，y,0A,B( C ) 3 4 C3242ABDxy7.平面上动点满足，,则一定有( B ) ，,1A(x,y)B(,4,0)C(4,0)53AB，AC,10AB，AC,10 ABAB，AC,10AB，AC,10 CD,1m,a8. 在等差数列n中，记数列的前项和为，若a,21S,a,5,nSS6n2n，1n2a15n,*m对恒成立，则正整数的最小值为( A )nN,
12、 C 5 4 3 2 ABDm111m解:由题设得an,43，?可化为， ,SS，,？2n，1nn1541458115nnn，111令T,，？， nnnn，41458111111则T,，？， n，1nnnnn，1TT,，,，,?， 0nn，1nnnnnn，4n,1T?当时，取得最大值， ，,n5945m1414m由解得，?正整数的最小值为5。 m,31545二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分) ,21,9.在极坐标系中，曲线,cos4sin,的焦点的极坐标
13、. () 2A D F B C E O 10.已知点在圆直径的延长线上，切圆于点， COCAOBEA的平分线分别交、于点、.则 ，ACBAEABFD，ADF0的度数= . 4511(若存在实数使成立，求常数的取值范围 。 3x，6，14,x,axa(,8)(二)必做题(12-16题) 2,12. 计算:= 。 ,cosxdx,02 ,13(已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的2 2 尺寸，可得这个几何体的表面积是 。 (正视图) (侧视图) 5,，, 2 2 (俯视图) 14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法
14、。(用数字作答) 1680种 i,i,15.定义:，其中是虚数单位，,R，且实数指数幂的运算性质对e,cos,，isin,ie,03221233coscossincossinsin都适应。若，则x,C,Cy,C,C222( 答案 ，ix，yi,2232m,R16.已知函数 其中,g(x),x,x，1，f(x)。 f(x),lnx,mx，1,8mm,1 (1)若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ; f(x),0f(x)nmn (2)在(1)的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值e,，,)(n,Z)g(x)为 。 32g(x),x,2x，2，lnx 解:由(1)得 ， (x,0)8(3
15、x2)(x2),/g(x) 所以 ,4x22(0,2,，,)(,2) 故在上递增，在上递减。 g(x)332,，,) 所以在上的最小值为， g(x)g(2)312而 ，故在上没有零点。 g(2),ln2,0,，,)g(x)2322nn, 所以的零点一定在递增区间上，从而有且。 (0,)eg(e),0g(x)3322eee3，8(,2)3,1612,gege 又， (),0(),024ee88当时均有，所以的最大值为-2. nn,2g(x),0三、解答题:本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2217.(本小题满分12分)已知函数，.求: xR,fxxxxx()si
16、n2sincos3cos,，(1)函数的最小值及取得最大值的自变量的集合; xfx()(2)函数的单调增区间. fx()(1)解: 1cos23(1cos2),，xx, fxxxxx()sin21sin2cos222sin(2),，,，,，224,3,当,即时, 取得最大值22，. 22xk，,？fx(),xkkZ,()4283,x函数的取得最大值的自变量的集合为. ,fx()/,()xxRxkkZ,86分 ,(2) 由题意得: fxx()22sin(2),，222()kxkkZ,，,，,42423,3,即: 因此函数的单调增区间为 ,，,，,fx()kxkkZ,(),()kkkZ,88881
17、2分 ABCABC,18. (本小题满分12分) 如图，在直三棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱)中，111ABC,AABB平面侧面，,，且AB,BC,AA,3线段AC、AB上分别有一点E、F11111满足2AE,EC,2BF,FA. 1ABBC,(1)求证:; (2)求点E到直线AB的距离; 1F,BE,C(3)求二面角的平面角的余弦值。 C1A1B1FEACB(1)证明:如右图，过点A在平面AABB内作 11:AD?AB于D，则由平面ABC?侧面AABB,且平面ABC侧面AABB=AB,得 11111111AD?平面ABC,又BC平面ABC，所以AD?BC. ,11因为三棱柱ABCABC是直三棱柱
18、，则AA?底面ABC，所以AA?BC. 11111:又AAAD=A,从而BC?侧面AABB， 111又AB侧面AABB，故AB?BC. 4分 ,11(2)由(?)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB所在的直线分 1别为x轴、y轴、z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， B(0,0,0), A(0,3,0), C(3，0，0) , A(0,3,3) 1有由线段AC、AB上分别有一点E、F，满足12AE,EC,2BF,FA， 1所以E(1，2，0), F(0，1，1) ,BA,(0,3,3).EF,BA 所以, EF,(1,1,1),11所以点的距离。 8分 d,EF,3E到直线AB16cos
19、,(3) 。 12分 ,619.(本小题满分12分)长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当3天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长4112是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学433生。 (1)若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率; (2)若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及,数学期望。 E,解:(?)由题意得，高中学生社长有27人，其中高一学生9人;初中学生社长有9人，其中初二学生社长6人。 事件为“采访3人中，
20、恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。 A11112297CCCCC991899() PA,，, 6分 331190CC3636(?)的可能取值为0，1，2，3 ,312CCC13363, , P(0)P(1)33C84C1499521CC15(,3),63,P, ， ， P(2)213C289所以的分布列为 ,0 1 2 3 ,13155 P 1484282113155,，, 所以， 12分 E012328414282120. (本小题满分13分)2013年我国汽车拥有量已超过2亿(目前只有中国和美国超过2亿)，为了控制汽车尾气对环境的污染，国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者，同时在
21、部分地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策，已知2013年年初汽车拥有量为x1(=100万辆)，第年(2013年为第1年，2014年为第2年，依次类推)年初的拥有量nx1xn记为，该年的增长量和与的乘积成正比，比例系数为,其中1,xyx(0,1)nnnm=200万。 m(1)证明:; y,50,n(2)用表示;并说明该市汽车总拥有量是否能控制在200万辆内。 xxnn，1xn解:(1)依题 2分 y,x(1,)nnmx2n 只需证明x(1,),50，即证。 (x,100),0？nnm上式显然成立，所以。 5分 y,50,nxn (2),(1)，所以 x,x，yx,x，x,n，1nn
22、n，1nn200按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在200万辆内，即x,200。6分 nn,1 证明如下: 当时，显然成立。 x,1001n,kx,200 假设时，成立。 kxk,(1)n,k，1x则当时 ，是关于的一个二次函数， x,x，x,k，1kkk200,2f(x),x，(1，,)x令， (x,200)200,100(1，)x,200其对称轴，所以f(x)在(0,200)内递减 ,x,200 ，即 f(x),f(200),200k，1x,200综上所述，成立。 13分 nCCCCCC21(定义:对于两个双曲线,若的实轴是的虚轴，的虚轴是的实轴，则称12121211:yx:yx,，,CC
23、,为共轭双曲线。现给出双曲线和双曲线，其离心率分别1212xx为。 e,e12(1)写出的渐近线方程(不用证明); ,1211:yx:yx(2)试判断双曲线和双曲线是否为共轭双曲线,请加以证明。 ,，,12xx11(3)求值:。 ，2212ee解:(1)的渐近线方程都是:和。 -3分 x,0,y,x12(2)双曲线是共轭双曲线。 -4分 ,121:yx 证明如下: 对于，实轴和虚轴所在的直线是和的角平分线所 x,0,，y,x1x10:yx的直线， 所以的实轴所在直线为， ,，y,tan67.5x,(2，1)x1x0虚轴所在直线为， -6分 y,tan157.5x,(1,2)x122y,x， 实
24、轴和的交点到原点的距离的平方。 Ay,(2，1)xd,a,2，2211xb2201,tan22.5,2,1又，所以 从而得;-8分 b,22,2c,4211a110:yx同理对于，实轴所在直线为， ,y,tan157.5x,(1,2)x2x0虚轴所在直线为， y,tan67.5x,(2，1)x122y,x,实轴和的交点到原点的距离的平方 By,(1,2)xd,a,22,212xb2202,tan67.5,2，1 ，所以，从而得。 b,22，2c,4222a2综上所述，双曲线是共轭双曲线。 -10分 ,12221222122212aa，, (3) 由(2)易得， ,222242421122ece
25、c11 所以=1 。 -13分 ，2212ee2qx,，f(x),plnx，p,022(本题满分13分)设函数，若时，有极小值f(x)22x1， ，1,ln22(4) 求实数的取值; p,qn同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。S(5) 若数列中，求证:数列的前项和; ,，,naa,fna,nnnn44acb2,(6) 设函数，若有极值且极值为，则与是ttg(x),alnx，bx，c(a,0)g(x)4a垂直于切线; 过切点; 过圆心.否具有确定的大小关系,证明你的结论。 【解答】 2px,2q(1) 1分 f(x),3七、学困生辅导和转化措施x,2pf(),0,2q,0,22？,
26、3分 21p1,f(),1,ln2,ln2，2q,1,ln2，,2222,最大值或最小值：当a0，且x0时函数有最小值，最小值是0；当a0，且x0时函数有最大值，最大值是0。16、因材施教，重视基础知识的掌握。？p,1,q, 4分 4（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。,2,x,，,(2)由条件和第(1)问可知，函数在上单调递增， 5分 y,f(x),2,a,f(n),n,1 n1n 7分 ？,aaSnan1n1444.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即a(3)g(x),，b
27、，由有极值且的定义域为可知: ，0,，,g(x)g(x)1、第一单元“加与减(一)”。是学习20以内的退位减法，降低了一年级上学期孩子们学习数学的难度。退位减法是一个难点，学生掌握比较慢，但同时也是今后竖式减法的重点所在。所以在介绍的：数小棒、倒着数数、凑十法、看减法想加法、借助计数器这些方法中，孩子们喜欢用什么方法不统一要求，自己怎么快怎么算，但是要介绍这些方法。x(3)边与角之间的关系：aa,x,t,g,异号，极小值点为， 8分 a,b,bb,222acbabab,4,taacca,ln,，,，,ln,，,1, 9分 2,acbaba444,(4)直线与圆的位置关系的数量特征:a1,h(),ln，,1令，构造函数，由条件和第(1)问可知: 2b,4221,，,h(),1，ln2,0时，有极小值 h(,)22211h(e),lne，,1,0而 11分 224e4e4acb2,t所以可能大于0或可能等于0或可能小于0， ,4ac4acb2,即的极值与不具有明确的大小关系。 13分 tg(x)4a