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1、2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析6 函数与导数方案2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析命题热点六 函数与导数 函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查:函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点. 高考对导数的考查主要有以下几个方面:一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调
2、区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题;而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.f(x)2预测1. 函数在区间上有最小值，则函数在g(x),(,1)f(x),x,2ax，ax区间上一定 (1,，,)A(有最小值 B(有最大值 C(是减函数 D(是增函数 a,1解析:函数图像的对称轴为，依题意有，所以fx()xa,fxa()，在上递减，在上递增，故在gx()gx()(0,)a(,)a，,gxxa
3、()2,，,xx(1,)，,上也递增，无最值，选D. 动向解读:本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数高考有着较高的考查要求应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值p问题时要善于运用基本不等式以及函数的单调性进行求解. yxp,，,(0)x2x, 预测2. 如图，当参数分别取时，函数的部分图像分别对,fxx()(0)12,，1x应曲线CC,，则有 120,0,0,0A. B. C. D. 122112212x解析:由于函数的图像在上连续不间断，所以必有.0,)，,0,0,fx()12,，1x22又因为当时，由图像可知，故，所以选A. x,1,12,，1
4、112动向解读:本题考查函数的图像问题这是高考考查的热点题型其特点是给出函数图象求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时要善于根据函数图象分析研究函数的性质从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的性质从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围. 1x预测3. 已知函数的图像为曲线C，若曲线C不存在与直线垂fxemx(),yx,2直的切线，则实数m的取值范围是 11m,2m,2A. B. C. D. m,m,221x解析:，曲线C不存在与直线垂直的切线，即曲线C不存在斜fxem(),yx,2xxem,2em,2m,20m,2率等于的切线，亦即方程无解，故，因此.,2
5、动向解读:本题考查导数的几何意义这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决求解这类问题时要始终以“切点”为核心并注意对问题进行转化. 预测4. (理科)已知函数 为R上的单调函数，则实数的取值范围是 aA(1,0), B(0,)，, C(2,0), D(,2), a,0,a，,20解析:若fx()在R上单调递增，则有，无解;若fx()在R上单调递减，a,a，,21,a,0,a，,20,10a1,0),则有，解得，综上实数a的取值范围是.故选A. ,a，,21,动向解读:本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想这些都是高考的重要考点.解决这类
6、问题时要特别注意:分段函数在R上单调递增,减,不仅要求函数在每一段上都要单调递增,减,还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于,不小于,分段点右侧的函数值. 2,axx，,10，,a(文科) 已知函数为R上的单调函数，则实数的取值范fx,，,x(2)0aex,，,围是 (2,3(2,)，,(,3,(2,3)A. B. C. D. a,0,解析:若在R上单调递增，则有，解得;若在R上单a,2023,afx()fx(),a,21,a,0,调递减，则有，无解，综上实数的取值范围是. a,20(2,3aa,a,21,动向解读:本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想这些都是高考的重要考点.解决这类
7、问题时要特别注意:分段函数在R上单调递增,减,不仅要求函数在每一段上都要单调递增,减,还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于,不小于,分段点右侧的函数值. 2b,0预测5. (理科)设函数，其中. f(x),x，bln(x，1)b,12(1)若，求在的最小值; f(x)1,3(2)如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围; bfx()nn，,11n,N(3)是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.Nln,3nn 解析:(1)由题意知，的定义域为， f(x)(,1,，,)2122212xx，,/b,12x,2x,3时，由，得(舍去)，fxx()20,xx，11 /当x,1,2)
8、时，当x,(2,3时， fx()0,fx()0,所以当x,1,2)时，fx()单调递减;当x,(2,3时，fx()单调递增， 所以; fxf()(2)412ln3,min2bxxb22，/fxx()20,，,(,1,，,)(2)由题意在有两个不等实根，即xx，112220xxb，,(,1,，,)在有两个不等实根， ,480b,1222xxb，gx(),设，则，解之得; 0,b,g(1)0,2,2332(3)对于函数，令函数，fx,x,ln(x，1)hx,x,f(x),x,x，ln(x，1) 3213x，(x,1)/2/hx,3x,2x，,，则，？当x,0,，,)时，hx,0x，1x，1 0,，
9、,)h(0),0,？x,(0,，,)所以函数在上单调递增，又时，恒有，hxhx,h(0),0 1n，11123即恒成立.取x,(0,，,)，则有恒成立.x,x，ln(x，1)ln,23nnnn n，111n,N显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立.ln,23nnn2预测6. 设函数( fxxx()(1)2ln(1),，,，(I)求的单调区间; fx()2(II)当0a2时，求函数在区间上的最小值(03，gxfxxax()()1,解:(I)定义域为( (1,),，,12(2)xx，,( fxx()2(1),，,xx，11 2(2)xx，,令，则，所以x,2或x,0( fx()0,
10、0x，1 x,0因为定义域为，所以( (1,),，,2(2)xx，,20x令，则，所以( fx()0,0x，1,10x因为定义域为，所以( (1,),，,所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为( 6分(0,)，,(1,0),x,1(II)gxaxx()(2)2ln(1),， ()( 2(2),axa,( gxax()(2),11，xx a20,a因为0a2，所以，( ,02,aa,x,gx()0,令 可得( 2,aaagx()所以函数在(0,)上为减函数，在(,)，,上为增函数( 2,a2,aa3?当03,，即时， 0,a2,a2aa03，gx()(0,)(,3)在区间上，在上为减函数，在上
11、为增函数(2,a2,aa2所以( gxga()()2ln,min22,aa a3?当，即时，在区间上为减函数( gx()(03)，,3,a22,a2所以( gxga()(3)632ln4,min32综上所述，当时，; 0,agxa()2ln,min2,a23当时，( 13分gxa()632ln4,a2min2 x,1预测7. 设函数。 fxxae(),(I)求函数单调区间; fx()(II)若恒成立，求a的取值范围; fxxR()0,对aaa，？12n (III)对任意n的个正整数 ,.aaaA？记,12nnai,1aiAnAaaa,？ (1)求证:,(1,2,)？(2)求证: ein12nA
12、x,1,解:(I)1分 fxae()1,a,0当时，在上是增函数2分 fx()0,fx()R,a,0xa,1ln当时，令fx()0,得3分 ,xa,1ln若则fx()0,，从而fx()在区间(,1ln),a上是增函数 ,xa,1ln若则fx()0,，从而fx()在区间(1ln,),，,a上是减函数 a,0a,0综上可知:当时，fx()在区间(,),，,上是增函数。当时，在区间(,1ln),afx()(1ln,),，,a上是增函数，在区间上是减函数5分 a,0fx()0,(II)由(I)可知:当时，不恒成立6分 a,0xa,1lnfx()又当时，在点处取最大值， ,lna且8分 faaaea(1
13、ln)1lnln,ln0aa,1令得 1,，,xR,fx()0,故若对恒成立，则a的取值范围是9分 ，,x,1a,1(III)证明:(1)由(II)知:当时恒有成立 fxxe()0,x,1xe,即 ai,1aiA？,e11分 Aaaan12,1,1,1aaa1n2AAA,e,ee(2)由(1)知:; ; AAAaaa，？12n,naaa？12nA,1en把以上个式子相乘得 nAn？,Aaaa？ 12nnAaaa,？ 故13分 12n2预测8. 已知函数( fxaxxaR()ln(),，,11,e(1)当时，求在区间上的最大值和最小值; fx()a,2(2)如果函数，在公共定义域D上，满足，gx
14、()fx1()fx2()fxgxfx12()()(),那么就称为为的“活动函数”( gx()fxfx(),()1211222已知函数，(12fxaxaxax()()2(1)ln,，,fxxax()2,，221,，,?若在区间上，函数是，的“活动函数”，求的取值fx()fx1()fx2()a，范围; 21,，,?当时，求证:在区间上，函数，的“活动函数”有无fx1()fx2()a,，3穷多个( 21x111，2,a,f(x),x，lnxf(x)x解:(1)当时，; ,，,22xx, 对于x,1, e，有，?在区间1, e上为增函数， f(x),0f(x)2e1f(x),f(1),f(x)f(e)
15、1,， ?，( 3 分 minmax22(2)?在区间(1，+?)上，函数是f(x),f(x)的“活动函数”，则f(x),f(x),f(x)f(x)121212x, 令0，对(1，+?)恒成立，p(x),f(x),f(x),(a,)x,2ax，lnx22122,x，2ax,alnxx, 且h(x)=f(x) f(x)=0对(1，+?)恒成立， 5分1221(2a1)x2ax1(x1)(2a1)x1,，,p(x)(2a1)x2a,，, ? (*) xxx11a,x,p(x),0x,1 1)若，令，得极值点， 2122a,11,a,1p(x),0x,x,1 当，即时，在(，+?)上有， x2122
16、p(x)p(x)x 此时在区间(，+?)上是增函数，并且在该区间上有?(，+?)，p(x)22不合题意; 当，即时，同理可知，在区间(1，+?)上，有 p(x)x,x,1a,121?(，+?)，也不合题意; 7分p(x)p(1)1a, 2) 若，则有，此时在区间(1，+?)上恒有， p(x),02a,1,02从而在区间(1，+?)上是减函数; p(x)11,a, 要使在此区间上恒成立，只须满足， p(x),0p(1),a,02211, 所以a( 9分,222222(xa)x2axaa,，,/ 又因为h(x)= x+2a= 0, h(x)在(1, +?)上为减,xxx函数， 11, h(x)h(
17、1)= +2a0， 所以a ,2411,的范围是,( 12分 综合可知a42另解:(接在(*)号后) 先考虑h(x), 22a(x,a),0 h(x) = x + 2a =, xx11a, h(x)在(1,+ )递减，只要h(1) 0, 得，解得( 8,，2a,042分 (x,1)(2a,1)x,11a, 而p(x)=对x (1,+ ) 且有p(x) 0，y=f(x) f(x)在 (1，+?)为增函数，2139x9x1 所以f(x) f(x) f(1) f(1)= ( 212131 设R(x)=f(x)+(01), 则 f(x)R(x)f(x), ,1123所以在区间(1，+?)上，函数的“活
18、动函数”有无穷多个( f(x),f(x)12x)=f(x)+f(x)( 0,0 抛物线与x轴有2个交点；tt,421或ggt(2)()0,gx()0,(2,),t ?当时,所以在上有解,且只有一解弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)-12分 166.116.17期末总复习2214,t?当时,但由于, ggt(2)0()0,且gt(0)(1)0,3
19、所以在上有解,且有两解-13分 gx()0,(2,),t2?当时,故在上有且只有一解;t,1gx()0,(2,),tgxxxxx()001,或2当时, t,4gxxxxx()6023,或（1）一般式：所以在上也有且只有一解-14分 gx()0,(2,4),fx()220综上所述, 对于任意的t,2,总存在,满足, ,(1)tx,(,2,t)0x0e3tt,421或且当14,t时,有唯一的适合题意;当时,有两个适合题xx00意.-15分 222(说明:第(3)题也可以令,然后分情况证明在其值域xt,(2,)(1)t,()xxx,322内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)xy
20、t,(1),()x03 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一动向解读:函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型这类问题以“参数处理”为主要特征以“导数运用”为主要手段以“函数的单调性、极值、最值”为结合点往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法. a(文科)已知函数. fxaxx()3ln,，,x(4)直线与圆的位置关系的数量特征:a,2fx()(1)当时，求函数的最小值; 化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。fx()2,e(2)若在上单调递增，求实数的取值范
21、围. a2a,2(0,)，,解析:(1)当时，定义域为. fxxx()23ln,，,x九年级数学下册知识点归纳223232xx,1x,2fx()2,x，令，得(舍去)，当变化时，fx()0,x,22xxx2fx()，的变化情况如下表: fx()x 2(0,2)(2,)，, 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。, ，0 fx()递减 极小值 递增 fx()所以函数在时取得极小值，同时也是函数在定义域上的最小值.x,2fx()f(2)53ln2,5、多一份关心、帮助，努力发现他们的闪光点，多鼓励、表扬他们，使其体验成功、努力学习。a3
22、a3(2)由于，所以由题意知，在上恒成立.2,efxa(),fxa()0,22xxxx 2axxa,33x2axxa,30即，所以在上恒成立，即. ,02,ea,22xx,12,33x3x令，而gx(),，当时，所以在上xe,2,gx()2,egx()0,gx(),222(1)x,x,13xa,2递减，故在上得最大值为，因此要使恒成立，应有.gx()2,eg(2)2,a,2x,1动向解读:函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型这类问题以“参数处理”为主要特征以“导数运用”为主要手段以“函数的单调性、极值、最值”为结合点往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.