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1、西南交通大学高等数学练习题答案详解精品文档 西南交通大学高等数学练习题答案详解 高等数学 1. 函数y?xcos2? A. 奇函数 x3 ?x是 1?x B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 有界函数 2. 函数y?2cos的周期是 B. ? C. ? D. 0 an?2，. 设数列an,bn及cn满足:对任意的n,an?bn?cn，且lim n? lim?0，则limbn? n? n? A. 0 B. 1 C. D. -2 1 / 32 精品文档 x2?2x?1 4. lim= x?ix3?x A. 1 B. 0 C.1 D. ? 5. 在抛物线y?x2上点M的切线的倾角为 A. 1124
2、 tan2x ? ，则点M的坐标为 11 B. C. D. 42 6. lim x?0 e?1 ? sinx B. 2 / 32 精品文档 1x A. 0 C. 1 D. -2 7. A. lim x?0 1 2 B. e C.1 D. ? 8. 设曲线y?x与直线x=2的交点为P，则曲线在P点的切线方程是 A x-y-4=0 B x+y-1=0 C x+y-3=0D x-y+2=0 9. y?x?3?sinx,则y? A. x x?1 xx ?3x?cosx 1 B. x?3ln3?cosx xx C. xlnx?3ln3?cosx xx D. x?3ln3?cosx 3 / 32 精品文档
3、 xx 10. f在点x0可微是f在点x0连续的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 11. 函数y?2x3?6x2?18x?7单调减少的区间是 A. B. x? D. C. , 12. ?sin3xdx? 11 cos3x?c B. ?cos3x?C C. ?cos3x?C D. cos3x?C3 21 dt，则? 13. 设? sinx1?t2 1cosxcosx1 ? A.B.C.D. 1?sin2x1?sin2x1?sin2x1?sin2x A. 14. 函数5e的一个原函数为 A.e 5x 5x B.e 4 / 32 精品文档 5x C. 15x e
4、D. ?e 5x 15. ? ? 2 ? ? 2 xcos3xdx= B. A. 2? ? 4 C. 0 D. 2 16. 下列广义积分收敛的是 A. 5 / 32 精品文档 ? dxx 1 B. dx ? 02 2 C. ? 1 1 dx 1?x D. ? a dxa?x 2 2 17. 下列集合可作为一条有向直线在空间直角坐标系中的方向角?,?,?的是 A. 5?，45?，60?C. 0?，45?，60?，18. 设函数f?xy? A. 0 6 / 32 精品文档 B. 1 2 B.5?，60?，60? D.5?，60?，90? y ，则f?= xx C. ?1D. 2 2 19. 设函数
5、u?ln，则du 2 = A. 1 C. dx?dy?dz 0. 2 4 D. 3 B. 7 / 32 精品文档 23x ?x A?2xcos2x B xsinx2C sinxDsin2x2. 当D?|x2?y2?1时,则 ?dx? D A ? B 1 C 0 D ? a 23. 设a?0,则? ? A. ? B. ? C.发散 D. ?42 25. 曲面z?x2?y2在点处的切平面方程是 A.?4?0 B ?4?0 C. ?2?0， D.?4?0 ? 26. 判断级数 ?n?1 1 8 / 32 精品文档 n?1 2n2 ?n 是 A绝对收 . B条件收敛. C 发散 . D 以上都不正确
6、. ?g 27. f? ?x,x?0其中g?=2要使f在x?0处连 续，则a? A. 0 B. 1 C. D. e 28. 方程y?4y?0的通解是 A. y?Ce2x?Ce?2xC. y?C1e2x?C2e?2x ? B. y?C1e2x?e?2x D. y?e2x?C2e?2x n?1x2n?1 29. ?内的和函数是 n?1 !AsinxB cosx Cex30. 设f?3? ? x 9 / 32 精品文档 20 tdt,，则f= 西南交通大学网络教育2010年秋季入学考试模拟题 高等数学 1. 函数y?x2sinx?ln,则y? A. x x?1 x3 ?3x?cosx 2 B. x?
7、3ln3?cosx D. x?3ln3?cosx x x xx C. x?3x?sinx x 7. f在点x0可导是f在点x0连续的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 8. 函数y?2x3?6x2?18x?7单调减少的区间是 A. B. x? D. 10 / 32 精品文档 C. , 1x 9. 曲线y?e?1的水平渐近线方程为 A. x?1 B. y?1 C. x?0 D.y?0 2 10. ? 5 一、填空题: 1(设函数z?z是由 ? n xz ?ln zy 所确定，则dz ?0,1,1? ?dx?dy ( ? 2(设幂级数?anx的收敛区间为?3,3?
8、，则幂级数?an?x?1?的收 11 / 32 精品文档 n?0 n?0 n 敛区间为 ?2,4? (设函数 ?x, f? ?0, y ?x?00?x? 的付氏级数的和函数为S，则S? ? 2 ( 4(设z?f，其中f具有连续的二阶偏导数，则 x ? ?z?x?y 2 = 1x ?f12 1x 12 / 32 精品文档 2 f2? yx 3 ? ( f22 5(设幂级数?an?x?1?在x?0处收敛，而在x?2处发散，则幂级数?anxn的 n?0 n?0 n ? 收敛域为 ?1,1)(函数 ?n?1?n 关于x的幂级数展开式为 ? ( f?1?x,x?2n?1 x?x?2n?0?2? 3 ?
9、y 7(设函数z?x，则dz? dx?2ln2dy 8(曲线x?t,y?t2,z?t3的切线中，与平面x?2y?3z?6垂直的切线 方程是 13 / 32 精品文档 x?11 ?y?1?2 ?z?13 z ( 9(设z?z是由方程e?zsin?lna a?0为常数所确定的二元函数，则 dz? yzcose?sin 2 z dx? xzcose?sin z dy( 10.旋转抛物面z?x?y的切平面:x?4y?8z?1?0， 2 平行与已知平面x?y?2z?1. 1 11(微分方程2y?y?y?0的通解为 Y?C1e 2 x ?C2e 14 / 32 精品文档 ?x ， 1 x 2y?y?y?e
10、的通解为 y?C1e2?C2e x ?x ? 12 e( x 12.曲线?:x? ? t ecosudu,y?2sint?cost,z?1?e u3t 在点?0,1,2?处的切线方程为 3(函数f? 1x?4 的麦克劳林级数的第5项为? x4 45 15 / 32 精品文档 ，收敛域为. 14.(已知函数f?2x?3y?x?y,有一个极值点， 则a?2, b?3， 此时函数f 的极大值为 . ab 15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数:分解已知正数a为三个正数 x,y,z之和，使x,y,z的倒数之和最小L?x,y,z? 1x ? 1y ? 1z ?x?y?z?a? 16函数f?xln
11、?1?x?的麦克劳林级数的收敛域为x?1,1?，f ? 二、单项选择题:请将正确结果的字母写在括号内。 1(二元函数z?f在点处两个偏导数fx?， ?存在是f在该点连续的 fy 充分条件 必要条件 充分必要条件 既非充分也非必要条件 16 / 32 精品文档 2(函数z?f在点处两个偏导数fx?，fy?存在是 f在该点可微分的 充分条件必要条件 充分必要条件 既非充分也非必要条件 3(设z?z是由方程F?0所确定的隐函数，其中F是可微函数，a,b为常数，则必有 a?z ?x ?b ?z?y 2 ?z?z?z?z?z a?b?1bb?a?1?1 ?x ?y ?x?y ?x ?a ?z?y ?1
12、4(微分方程 dydx 2 17 / 32 精品文档 ?2 dydx ?y?e特解y的形式为 x * Aex Axex Ax2ex x2ex(若级数?an收敛，则下列结论正确的是 n?1? ? 2 an ? n?1? 收敛 ?收敛 n?1 ? n ?an收敛 ?an收敛 n?1 n?1 6(下列级数中条件收敛的是 ? 18 / 32 精品文档 ? n?1 n nn?1 ? ? n?1 n nn?1 ? ? n?1 n 2 n? ?n n?1 n?1n 2 7(曲面2x2?y2?3z2?6在点处的切平面方程为 x?2y?3z?6x?4y?3z? x?y?3z? x?y?3z?6 8( 原点是函数
13、f?xy?y的 极小值点极大值点 驻点19 / 32 精品文档 却不是极值点 非驻点 9(下列方程中是一阶线性微分方程是 dx?dy?0dy?dx yy?2y?5x xy?2y?5x ? 2 10(设p 为常数，则级数? n?1 n 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛性与p有关 xx ?xyy 11.设?2x?e?dx?1?edy?y? 是函数u的全微分，则其中一个u为 x x y?x2?yey x2?ey?1 x x?ye ? 2y 20 / 32 精品文档 x ?1 x2 ?e y ? xy ?1?n1? 12.级数?的敛散情况是 ?n?nn?1? 条件收敛 绝对收敛 发散敛散性不能确定 三、
14、计算下列各题: 1.设z?f?xy,siny?g，其中函数f,g具有二阶连续偏导数， 2 x 求 ?z?x ， ?z?x ?z?x?y 2 ( 解: 21 / 32 精品文档 2 2x ?f1?y?g?ye，?z?2y?f1?y2?g?ex?g?ye2x. ?x?y 2. 设u?f，函数f可导，且方程z?ez?2xy?3确定了函数z?z，求 ?u?x ?z?x ?u?x ( 因 ?z?x ?z?x ?f?，方程z?ez?2xy?3两端对x求偏导，得 ?z?x 2ye?1 z ?e z ?2y?0， 解得 ? n 22 / 32 精品文档 ?，故 ?u?x ?f? ?z?x ?f? 2ye?1
15、z 。 3. 求级数? n?0 2n?1 的和。 ? 考查幂级数? n?0 n 2n?1 x 2n?1 ，因 lim 23 / 32 精品文档 un?1un n? ?lim 2n?32n?1 n? ?x 2 ?x， 2 所以，当x 2 ?1，即x?时，幂级数绝对收敛。在x?1处，原幂级数成 ? 为收敛。故，幂级数的收敛域为?1,1，在?1,1内，设S? ? ?2n?1x n?0 n 2n?1 24 / 32 精品文档 ， 上式两边对x求导，S? S?S? ? n?0x0 x11?x 2 n2n ? 11?x 2 ，该式两边从0到x积分，得 ? dx?arctanx 又S?0，因此S?arcta
16、nx,x?1,1 ? 故? n?0 n 2n?1 ?arctan1? 25 / 32 精品文档 ? 4 4(求原点到曲面z2?xy?x?y?4的最短距离。 设点M?x,y,z?为曲面z2?xy?x?y?4上任一点，则该点与原点距离的平方和为:f?x,y,z?d2?x2?y2?z2，只要求距离的平方和最小即可，约束条件:xy?x?y?4?z2?0，设 F?x,y,z?x2?y2?z2?xy?x?y?4?z2? ?Fx?Fy 由 ? ?Fz?xy ?2x?y?1?0?2y?x?1?0?2z?2z?0?x?y?4?z?0 2 ，解得x?1,y?1,z?1 故，原点到曲面z2?xy?x?y? 4( ?
17、 5(求幂级数? n?1 n n x 2n 26 / 32 精品文档 的收敛域及和函数。 n?1n 因 lim n? 2 un?1un ?lim n? ?x 2 ?x 2 所以，当x ? ?1，即x?时，幂级数绝对收敛。在x?1处，原幂级数成 为 ? n?1 n ? n 27 / 32 精品文档 ，收敛。故，幂级数的收敛域为?1,1在?1,1内，设 n ? S? ? n?1 n x 2n n2n?1 ?， 上式两边对x求导，S?2?x n?1 x ?2x1?x 2 上式两边从0到x积分，得S?S?又S?0，因此S?ln, ? ?01?x2 ?2x dx?ln 2 28 / 32 精品文档 x?
18、1,1 6(求幂级数?nn的收敛域及和函数。 n?1 因 ?lim n? an?1an ?lim n? n?1n ?1所以，半径R? 1 ? ?1，幂级数在 2011,2012学年第学期高等数学CII期末试卷 一、填空题 ?2x2?y2?z2?161、母线平行于x轴且通过曲线?2的柱面方程是 2?x?y?z?0 ?z?2y2 2、空间曲线段L:绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程为 ?x?0? 3、过点?2,1,?1?且在x轴、y轴上的截距分别为2和1的平面方程为 29 / 32 精品文档 ?、x?0y?0 5、已知du?xdy?aydx，则a?2x?y x2y2 22ds?1，则?、设L为周长为
19、a的椭圆?L45 二、选择题 37、在曲线x?t，y?t2，z?t的所有切线中，与平面x?2y?z?4平行的切线 只有一条只有两条 至少三条不存在、若?f ?x?0， ?x0,y0?f?y?0，则f?x,y?在点?x0,y0?处 ?x0,y0? 连续且可微连续但不一定可微 可微但不一定连续不一定可微也不一定连续 9、函数u?x2yz在点M?1,?1,2?处的最大方向导数为 121 10、级数?1?n?1?n?2n?22?1?n3n?1n?1? 中发2sin?3nnn?3n?133n?1n?1n?1n 散级数有 11、若级数?a?x?1?n n?1?n在x?1处收敛，则此级数在x?2处? 条件收
20、敛绝对收敛 发散收敛性不能确定 12、设函数f?x?x，0?x?，而S?x?2?b n?1?nsinnx，?x?，其中 30 / 32 精品文档 bn?2 ? 0?1?f?x?sinnxdx，?n?1,2,?，则S?2? ?1111? 442 三、计算题 13、设u?exyz，其中z?z?x,y?是由x?y?z?xyz?0确定的隐函数，求du?0,1? ?2u14、设u?yf?x?y,xy?，其中f具有二阶连续偏导数，求 ?x?y 15、计算二次积分I? 16、计算曲线积分?21dx?xxedy?dx?2xy42xedy xy?Ldx?dy，其中L是由点A经y?x2?1到 点B?1,0?的有向弧段。 17、将函数f?x?1展开成x幂级数。x?4x?5 四、应用题 18、求抛物面z?x2?y2在平面z?4下面那部分的面积。 22219、求球面x?y?z?6与圆锥面z?x2?y2所围立体的体积。 20、某公司通过电视、报纸两种形式作广告，若已知销售收入T万元与电视广告费x万元、报纸广告费 y万元，有如下关系:T?x,y?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2， 1)在总广告费用不限的情况下，求最佳广告策略; 31 / 32 精品文档 2)若只提供2万元广告费用，求相应最佳广告策略。 32 / 32