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1、重庆高考数学题文科圆锥曲线方程重庆高考数学题 文科 圆锥曲线方程 22xy1(2004年10)已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在,1,(0,0)abFF,1222ab双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为 |4|PFPF,12( B ) 457 A( B( C( D( 23332(2004年21题12分) 2设直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H(Hay,x,2y,2p为圆心)( 试证抛物线顶点在圆H的圆周上;并求a的值，使圆H的面积最小( Y 2=2px y B H X Q(2p,0) O A ,2,ayx,解法一:设A(x,y),B(x,y)，则其坐标满足
2、,AABB2yx,2.,2 消去x得 y,2ay,4,0，,2,yya,AB 则 ,y,y,4.AB,2,，,4，(，),4，2,xxayyaABAB,2 ,()yyAB,4xx,AB4,OAOB, 因此，即( OAOBxxyy,，,0ABAB故O必在圆H的圆周上( 又由题意圆心H()是AB的中点，故 xyH,Hx，x,2ABx,2，a,H,2 ,y，yAB,ya,.H,2,2242|OH|,x，y,a，5a，4 由前已证，OH应是圆H的半径，且( HH从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小( 解法二: ay,x,2, 设，则其坐标满足 A(x,y),B(x,y),AABB2yx,
3、2.,2,ypky,2,4,0, 分别消去x，y得 ,22,x,2(a，2)x，4,0.,222 故得A、B所在圆的方程 x，y,2(a，2)x,2ay,0.明显地，O(0，0)满足上面方程 故A、B、O三点均在上面方程的表示的圆上( x，xy，y2ABAB(,),(2，a,a), 又知A、B中点H的坐标为 22222|OH|,(2，a)，a 故 222222 而前面圆的方程可表示为 x,(2，a)，(y,a),(2，a)，a故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O(0，0)( 2242 又， R,|OH|,a，5a，42 故当a=0时，R最小，从而圆的面积最小， 解法三:同解
4、法一得O必在圆H的圆周上 22(x,x)，(y,y) 又直径|AB|= ABAB2222,x，x，y，yABAB22 ,x，x，2x，2xABAB,2xx，4xx,4.ABAB上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小( x,xAB此时a=0( 22xy23(2005年09)若动点在曲线上变化，则的最大值为(x,y)x，2y，,1(b,0)24b( A ) 22,bbb，4(0,2)b，4(0,4), A( B( 44,bbbb2(,4)2(,2),2b，4 C( D( 2b44(2005年21题12分) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为 (3,0)求双曲线C的
5、方程; (1(2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其 OA,OB,2l:y,kx，2中O为原点). 求k的取值范围. 22xy,1解:(?)设双曲线方程为 (a,0,b,0).22ab2222由已知得 a,3,c,2,再由a，b,2,得b,1.2x2,y,1.故双曲线C的方程为 32x222y,kx，2代入,y,1得(?)将 (1,3k)x,62kx,9,0.32,1,3k,0,由直线l与双曲线交于不同的两点得 ,222,(62k)，36(1,3k),36(1,k),0.,122k,且k,1.A(x,y),B(x,y)即 ? 设，则 AABB362k,9x，x,xx,由OA,OB
6、,2得xx，yy,2, ABABABAB221,3k1,3k2而 xx，yy,xx，(kx，2)(kx，2),(k，1)xx，2k(x，x)，2ABABABABABAB2,kk，962372 ,k，k，,(1)22.222,k,kk,131331223k，7,3k，9于是 ,2,即,0,解此不等式得223k,13k,112 ? ,k,3.312由?、?得 ,k,1. 333故k的取值范围为 (,1,),(,1).3325.(2006年22题12分)如图，对每个正整数n，A(x，y)是抛物线上的点，过焦点x,4yn nnF的直线FA交抛物线于另一点B(s，t)( nnnn(?)试证:xs =,4
7、 (n?1); nnn(?)取x = 2, 并记C为抛物线上分别以A与B为切点的两条切线的交点(试证: nnnnn,n，1 (n?1)( |FC|，|FC|，？，|FC|,2,2，112nn,1证明:(?)对任意固定的，因为焦点F(0, 1)，所以可设直线AB的方程为 y,1,nn2kx ，将它与抛物线方程联立得 x,4yn2 x,4kx,4,0.n由一元二次方程根与系数的关系得 xs,4.nn2n,1 (?)对任意固定的，利用导数知识易得抛物线在处的切线的Ax,4yn斜率 x2nk, 故x,4y 在处的切线方程为 AAnn2xny,y,(x,x) ， ? nn22 类似地，可求得在处的切线方
8、程为 Bx,4ynsny,t,(x,s) ， ? nn2由?减去?得 22x,sx,snnnn, y,t,x，nn222222xsx,sx,snnnnnn 从而 ,x，442222x,sx,snnnn, x, 24x，snnx, ? 2x,snnxs,4 将?代入?并注意得交点C的坐标为(，,1) nnn2由两点间的距离公式得 22，xsxs22nnnn|,()，4,，2FC n2442xx42nn2,，,，2() 2xx42nn|x|2n|FC|,， 从而 n2|x|nn 现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得， x,2n|PC|，|FC|，？，|FC|12n1111,(|，|，|)，
9、2(，)xx？x？11n2|xxx12n11112n,(2，2，2)，2(，)？2n2222n,n，1nn，1,(2,1)，(2,2),2,2，1.nn,，1; FCFCFC，,，？22112n6.(2007年12)已知以F(2,0)，F(2,0)为焦点的椭圆与直线有且仅有x，3y，4,012一个交点，则椭圆的长轴长为C 26273242(A) (B) (C) (D) 7.(2007年21题12分，(?)小问4分，(?)小问8分) 2如题(21)图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、By,8x两点。 题(21)图 (?)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程; (?)若a为锐
10、角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。 22p,8p,4.(?)解:设抛物线的标准方程为y,2px，则，从而 p因此焦点的坐标为(2，0). F(,0)2p又准线方程的一般式为。 x,2x,2从而所求准线l的方程为。 答(21)图 (?)解法一:如图(21)图作AC?l，BD?l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为xx，则 xz4ppp|FA|,|AC|,解得， |FA|,x，,|FA|cosa，,|FA|cosa，4x1,cosa2224类似地有，解得。 |FB|,4,|F
11、B|cosa|FB|,1，cosa记直线m与AB的交点为E，则 |FA|，|FB|11444cosa,|FE|,|FA|,|AE|,|FA|,(|FA|,|FB|),22221,cosa1，cosasina,|FE|4|FP|, 所以。 2cosasina244?2sina|FP|,|FP|cos2a,(1,cos2a),8故。 22sinasinak,tana解法二:设，直线AB的斜率为，则直线方程为A(x,y)B(x,y)AABBy,k(x,2)。 2k(k，2)22222x，x,将此式代入,得，故。 y,8xkx,4(k，2)x，4k,0AB2k记直线m与AB的交点为，则 E(x,y)E
12、E2x，x2(k，2)ABx,， E22k4， ykx,(,2),EEk2,，412k4,yx故直线m的方程为. 2,kkk,22k，4x,，4令y=0,得P的横坐标故 P2k24(k，1)4|FP|,x,2,。 P22ksina244?2sina从而为定值。 |FP|,|FP|cos2a,(1,cos2a),822sinasina22xy1628.(2008年08)若双曲线的左焦点在抛物线y=2px的准线上，则p的值,123p为C 2(A)2 (B)3 (C)4 (D)4 9.(2008年21题12分，(?)小问5分，(?)小问7分.) 如题(21)图，M(-2，0)和N(2，0)是平面上的
13、两点，动点P满足: PMPN,2.(?)求点P的轨迹方程; PM12(?)设d为点P到直线:的距离，若,求的值. PMPN,2lx,d2MN，22a,解:(?)由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线( Pc,2a,1b,3因此半焦距，实半轴，从而虚半轴， 2y2x,1所以双曲线的方程为( 3(?)解法一: 2PMPN,2PN?1由(?)及答(21)图，易知，因，? PMPN,PMPN,，2知，故为双曲线右支上的点，所以(? P2220PNPN,将?代入?，得， y l 117,117,解得，舍去， PN,d P 44x M N O 117，所以( PN,4答(21)图 c因为双曲线
14、的离心率e,2， a1lx:,直线是双曲线的右准线， 2PN故,e2， d2PMPMPN241,，4117PNdPN,所以，因此( 2dPNPN解法二: ( 设Pxy()，2PMPNPNPN,22?PN?1因知， x?1故在双曲线右支上，所以( P22由双曲线方程有( yx,3322222PMxyxxxx,，,，,，,，(2)(2)33(21)21因此， 22222PNxyxxxx,，,，,，(2)(2)33441( 22PMPN,2从而由得， 212(441)xxx，,，281010xx,，,即( 517，517,所以x,(舍去x,)( 881117，917，有，dx,( PMx,，,212
15、84PM9178，故( ,， 117d4117，22xy10.(2009年15)已知椭圆的左、右焦点分别为若，,1(0)abFcFc(,0),(,0),1222abac椭圆上存在点使，则该椭圆的离心率的取值范围为,PsinsinPFFPFF1221_。 ，2,1,111.(2009年20题12分，(?)小问5分，(?)小问7分) 5 已知以原点O为中心的双曲线的一条准线的方程为x,，5e,5离心率。 (?)求该双曲线的方程; (?)如图(20)图，点A的坐标为，B是圆(5,0),22上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|+|MB|xy，,(5)1的最小值，并求此时M点的坐标。 解:(?)由题
16、意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为222xy5a522,1(0,0)abcab,，x,，设，由准线方程为得,，由225abc5e,5 2yc2b,2,5x,1得 解得 从而，该双曲线的方程为; ？ac,1,5a4(?)设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，|22MAMDa, (5,0)22所以|2|2|MAMBMBMDBD，,，? ，是圆上？xy，,(5)1B的点，其圆心为，半径为1，故 从而C(0,5)|1101BDCD?,，|2|101MAMBBD，?当在线段CD上时取等号，此时的最小值为 101，MB,|MAMB，x,0直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故 ？y
17、x,，522,44xy,，,5424542,由方程组 解得 xy,33yx,，5,，,5424542 所以点的坐标为; (,)M33212.(2010年13)已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，yx,4FABBF,AF,2，则_2_ . 13.(2010年21题12分，(?)小问5分，(?)小问7分. ) 5e,已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率. OCF(5,0)2(?)求双曲线的标准方程及其渐近线方程; ClMxy(,)xxyy，,44Nxy(,)(?)如题(21)图，已知过点的直线:与过点1111122MNlxx,xxyy，,44(其中)的直线:的交点在双曲线上，直线与双
18、曲线的CE21222,OGOH 两条渐近线分别交于、两点，求的值. GH22xy解:(?)设C的标准方程为，则 ,1(,0)ab22abc5由题意， ce,5,又a222因此， abca,2,12x2C的标准方程为. ,y141C的渐近线方程为和. yxxy,20即xy，,202(?)解法一:如答(21)图，由题意点在直线和 Exy(,)lxxyy:44，,EE111xxyy，,44，,11Exy(,)解法二:设，由方程组 ,EExxyy，,44，22,4()yyxx,2112解得. xy,EExyxyxyxy,12211221yyx,21E因，则直线MN的斜率. k,xx,21xxy,421
19、ExE故直线MN的方程为， yyxx,()114yE注意到，因此直线MN的方程为. xxyy，,44xxyy，,441E1EEE下同解法一. 14(2011年09)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径AB,AB的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为B 2 A( B( C( D(， (,1)，,)(0,2)(1,2)(2215(2011年21)(本小题满分12分。(?)小问4分，(?)小问8分) 2x,22如题(21)图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 2(?)求该椭圆的标准方程; ,OPOMON,，2 (?)设动点P满足:，其中M、N是椭圆上的点，直线OM
20、与ON1,x,210PF的斜率之积为，问:是否存在定点F，使得与点P到直线l:的2距离之比为定值;若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。 2ca2解:(I)由 e,22,ac2222解得，故椭圆的标准方程为 acbac,2,2,222xy，,1. 42PxyMxyNxy(,),(,),(,) (II)设，则由 1122,OPOMON,，2得 (,)(,)2(,)(2,2),xyxyxyxxyy,，,，11221212 即xxxyyy,，,，2,2.121222因为点M，N在椭圆上，所以 xy，,242222， xyxy，,，,24,241122222222故 xyxxxxyyyy，,，2(4
21、4)2(44)121212122222,，(2)4(2)4(2)xyxyxxyy11221212 ,，204(2).xxyy1212设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 kk,OMONyy112因此 xxyy，,20,kk,OMON1212xx21222所以 xy，,220.22xy所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率，,1F(10,0)22(25)(10)2是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点elx,:210直线2，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。 F(10,0)22xyb,1yx,(0,0)ab,16.(2012年14)设为直线与双曲线左支的交点，P
22、223aab32FPFex是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率=_ 11417. (2012年21题12分，(?)小问5分，(?)小问7分) x如题(21)图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦OAFF,BB,OFOF,ABB点分别为，线段的中点分别为，且是面积为4的直角12121212三角形. (?)求该椭圆的离心率和标准方程; (?)过作直线交椭圆于两点，使，求的面积. BPQ,PBQPBQB,1212(?)设椭圆的方程为，F(c，0) 2?ABB是的直角三角形，|AB|=AB|，?BAB为直角，从而|OA|=|OB|，即 12121222222222?c=a,b，?a=5
23、b，c=4b，? 在?ABB中，OA?BB，?S=|BB|OA|= 121212222?S=4，?b=4，?a=5b=20 ?椭圆标准方程为; (?)由(?)知B(,2，0)，B(2，0)，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直12线PQ的方程为x=my,2 22代入椭圆方程，消元可得(m+5)y,4my,16,0? 设P(x，y)，Q(x，y)， 1122?， ?， ?= ?PB?QB，? 22?，?m=?2 2当m=?2时，?可化为y?8y,16,0， ?|y,y|= 12?PBQ的面积S=|BB|y,y|=4=( 212120COO18.(2013年10)设双曲线的中心为点，若有且只有
24、一对相较于点、所成的角为60的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双ABAB,ABABABAB112211221122C曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A 23232323(A) (B) (C) (D) (,)，,)，,(,2,2)333319.(2013年21)(本小题满分12分，(?)小问4分，(?)小问8分) 2Oe,x如题(21)图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，2,AA,4F,x过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，( AA1(?)求该椭圆的标准方程; ,(?)取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、yPPP,QQ,PPQ作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外(
25、求的PSQ面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程( 22xy20、(2014年08)设分别为双曲线的左、右焦点， ,1(a,0,b,0)F，F1222ab22(|)3,PFPFbab,双曲线上存在点使得则该双曲线的离心率为( ) P12A. B. C.4 D. 151722222解:由于，故，即，分解因式得: 43abab,430aabb，,PFPFa,2122222ba,4，故，从而， cabaaa,，,，,1617(4)()0abab,，,c故e,17，选择D a22xy，,1(0)ab21、(2014年21)如下图，设椭圆的左右焦点分别为，点FF,D1222ab2|FF12在椭圆上，的面
26、积为. DFFF,DFF,22112122|DF1(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交xy点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,若存在，求圆的方程，若不存在，说明理由. yF1F2O xD 22bby,FFc,2DF,解:(1)设，代入椭圆方程中求出，故，而 Dcy(,),112aa122由已知:，联立解出FFDF,2, FFDFFFDF,22,1211211212222b2222即，联立解出 22,cabc,，abc,2,1a22x2，,y1所以椭圆的标准方程为 2y C AB x OF12F P C(2)由于所求圆的圆
27、心在轴上，故圆和y椭圆的两个交点关于轴对称，从而经过点所作的切线也关于轴对称，如下图yyAB,AB,所示。 CAPBP当切线互相垂直时，设两条切线交于点，则恰好形成一个正方形。设圆心，Cm(0,)圆的半径为，则由知:，另一方面由于为等腰直角三CPr,2,OPFrPmr(0,2),1OPOF,121rm,角形，故,所以，由几何关系， BFBPPFr,2122222，因为 BFBFa，,222BFBPPFr,，,，21211542221rm,m,所以，再由，知 rrr,，,22223353222所以圆的方程为xy，,()，经检验符合题设要求。 3953222故存在这样的圆，其方程为xy，,() 39