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1、高中数学例题P3例1:(1)小于10的所有自然数组成的集合; 2(2)方程x=x的所有实数根组成的集合; (3)由120以内的所有质数组成的集合. 解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 2(2)设方程x=x的所有实数根组成的集合为B,那么A=0,1. (3)设由120以内的所有质数组成的集合为C,那么C=2,3,5,7,11,13,17,19. P4例2:试分别用列举法和描述法表示下列集合: 2(1)方程x-2=0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合. 222 解:(1)设方程x-2=0的实根为x,它
2、满足条件x-2=0,因此,用描述法表A=x?R|x-2=0. 2,因此,用列举法表示为A=,. 方程x-2=0的两个实数根为2,22,2(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x?Z,且10x20,因此,用描B=x?Z|10x20. 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此,B=11,12,13,14,15,16,17,18,19. P7例3:已知集合M=x|2-x2?,由于NM,则N=或N?,要对集合N是否为空集分类讨论. 解:由题意得M=x|x2?,则N=或N?. ,当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0; ,111当N?时,关于x
3、的方程ax=1中有解,则a?0,此时x=,又?NM,?M.?2. ,aaa111?0a.综上所得,实数a的取值范围是a=0或0a,即实数a的取值范围是a|0?a 2222.(1)分别写出下列集合的子集及其个数:,a,a,b,a,b,c. ,(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素,则集合M有多少个子集, .P8例4:设A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,求A?B,A?B. 解:A?B=4,5,6,8?3,5,7,8=3,4,5,6,7,8.A?B=4,5,6,8?3,5,7,8=5,8 P5 例5:设A=x|-1x2,B=x|1x3,求A?B,A?B. 解:将A=x|-1x2及B=x|1x
4、3在数轴上表示出来.如图1134所示的阴影部分即为所求. 图1-1-3-4 由图得A?B=x|-1x2?x|1x3=x|-1x3, A?B=x|-1x2?x|1x3=x|1x2. 222P6 例6:设集合A=x|x+4x=0,B=x|x+2(a+1)x+a-1=0,a?R,若A?B=B,求a的值. ,由题意得A=-4,0.?A?B=B,?BA.?B=或B?. ,22当B=时,即关于x的方程x+2(a+1)x+a-1=0无实数解, ,22则=4(a+1)-4(a-1)0,解得a0时,求f(a),f(a-1)的值. x，3,0,解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3?x-2, ,x
5、，2,0.,即函数的定义域是,-3,-2)?(-2,+?). 1-3，3(2)f(-3)=+=-1; ,3，2213332，3，f()=. 28233，23(3)?a0,?a?,-3,-2)?(-2,+?), 即f(a),f(a-1)有意义. 1则f(a)=a，3+; a，211f(a-1)=a-1，3，=a，2，. a,1，2a，1P18例11:下列函数中哪个与函数y=x相等, 2x2233x(1)y=();(2)y=;(3)y=;(4)y=. xxx2对应关系是x?x(1)?函数y=()的定义域是,0,+?), 解:函数y=x的定义域是R,x22?函数y=()与函数y=x的定义域R不相同.
6、?函数y=()与函数y=x不相等. xx3333(2)?函数y=的定义域是R,?函数y=与函数y=x的定义域R相同. xx3333又?y=x,?函数y=与函数y=x的对应关系也相同. xx33?函数y=与函数y=x相等. x22xx(3)?函数y=的定义域是R,?函数y=与函数y=x的定义域R相同. 22xx又?y=|x|,?函数y=与函数y=x的对应关系不相同. 2x?函数y=与函数y=x不相等. 22xx(4)?函数y=的定义域是(-?,0)?(0,+?),?函数y=与函数y=x的定义域R不相同, xx2x?函数y=()与函数y=x不相等. P19例12:某种笔记本的单价是5元,买x(x?
7、1,2,3,4,5)个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x). 解:这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5, 用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x,x?1,2,3,4,5. 用列表法可将函数y=f(x)表示为 笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1. 图1-2-2-1 P20例13.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表: 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 98 87 91 92 88 95 张城 90 76 88 75 86 80 赵磊
8、 68 65 73 72 75 82 班平均分 88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. . -2-3所示. 解:把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀; 张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高. P21例14:.画出函数y=|x|的图象. x,x,0,由绝对值的概念,我们有y= ,-x,x,0.,所以,函数y=|x|的图
9、象如图1-2-2-10所示. P21例15:某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元; (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算), 如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 解:设里程为x千米时,票价为y元,根据题意得x?(0,20,. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式: 图1-2-2-13 2,0,x,5,3,5,x,10,y= ,4,10,x,15,5,15,x,20.,根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示. P22
10、例16:下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么, (1)A=R,B=x?R|x?0,对应法则是“求平方”; (2)A=R,B=x?R|x0,对应法则是“求平方”; (3)A=x?R|x0,B=R,对应法则是“求平方根”; (4)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应法则是“作圆的内接矩形”. 解:(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应. (2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素. (3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应. (4)不是从集合A到
11、集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应. P29例17:如图1-3-1-3是定义在区间,5，5,上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数, 解:函数y=f(x)的单调区间是,-5,2),-2,1),1,3),3,5,.其中函数y=f(x)在区间,-5,2),1,3)上是减函数，在区间,-2,1),3,5,上是增函数. 2P19例18:(1)画出已知函数f(x)=-x+2x+3的图象; 2(2)证明函数f(x)=-x+2x+3在区间(-?,1,上是增函数; (3)当函数f(x)在区间(
12、-?,m,上是增函数时，求实数m的取值范围. 图1-3-1-4 2解:(1)函数f(x)=-x+2x+3的图象如图1-3-1-4所示. (2)设x、x?(-?,1,，且xx，则有 121222f(x)-f(x)=(-x+2x+3)-(-x+2x+3) 12112222=(x-x)+2(x-x) 2112=(x-x)(2-x-x). 1212?x、x?(-?,1,，且xx，?x-x0,x+x0.?f(x)-f(x)0.?f(x)f(x). 1212122?函数f(x)=-x+2x+3在区间(-?,1,上是增函数. 2(3)函数f(x)=-x+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，
13、那么当区间(-?,m,位于对称轴的左侧时满足题意，则有m?1，即实数m的取值范围是(-?,1,. P30例19:菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花2距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度是多少(精确到1m), 2解:画出函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示， 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度. 图1-3-1-14 2由二次函数的知识，对于函数
14、h(t)=-4.9t+14.7t+18，我们有: 14.7,当t=1.5时，函数有最大值, 2，(,4.9)即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m. 2P31例19求函数y=在区间,2，6,上的最大值和最小值. x,1解:设2?xx?6,则有 122(x,1),(x,1)2(x,x)222121,f(x)-f(x)= 12(x,1)(x,1)(x,1)(x,1)x,1x,1121212?2?x0,(x-1)(x-1)0. 1221122?f(x)f(x),即函数y=在区间,2，6,上是减函数. 12x,12所以，当x=2时，函数y=在区间,2，6,上取得最大值f(
15、2)=2; x,122当x=6时，函数y=在区间,2，6,上取得最小值f(6)= . x,15P35例20:判断下列函数的奇偶性: 1145(1)f(x)=x;(2)f(x)=x;(3)f(x)=x+;(4)f(x)=. 2xx44解:(1)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)=x=f(x)，所是偶函数. 55(2)函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)=-x=-f(x),所以是奇函数. 11(3)函数的定义域是(-?,0)?(0,+?)，对定义域内任意一个x，都f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)，x,x1所以函数f(x)=x+是奇
16、函数. x11(4)函数的定义域是(-?,0)?(0,+?)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=所以22(,x)x1函数f(x)= 是偶函数. 2xP35例21:判断下列函数的奇偶性. 22x,x222(1)f(x)=x,x?,-1,2,;(2)f(x)=;(3)f(x)=+; x,44,xx,121，x，x,1(4)f(x)= 21，x，x，12解:(1)因为它的定义域关于原点不对称,函数f(x)=x,x?,-1,2,既不是奇函数又不是偶数. 22x,x(2)因为它的定义域为x|x?R且x?1，并不关于原点对称,函数f(x)=既不是奇函x,1数又不是偶函数. 22(3)?x,4?0且4,x?0，?x,?2， 即f(x)的定义域是,2，2. ?f(2),0，f(,2),0,?f(2),f(,2)，f(2),f(2). ?f(,x),f(x)，且f(,x),f(x).?f(x)既是奇函数也是偶函数. (4)函数的定义域是R. 2222221，x,x,11，x，x,11，x,(x，1)，1，x,(x,1)，?f(-x)+f(x)= 22221，x,x，11，x，x，1(1，x,x，1)(1，x，x，1)22221，x,x,2x,1，1，x,x，2x,1= 22(1，x,x，1)(1，x，x，1)=0,?f(,x),f(x).?f(x)是奇函数.