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1、高中数学函数专题篇一:高中数学函数专题 高中数学函数专题 1(已知在实数域R上可导的函数y?f(x)对任意实数x1,x2都有 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2),若存在实数a,b，使f(a)?0且f?(b)?0， 求证:(1)f(x)?0;(2)y?f(x)在(?,?)上是单调函数 xxxxx2 证明:(1)f(x)?f(?)?f()?f()?f() 22222 xxxxxx2 又f(a)?f?(a?)?f()?f(a?)?0,?f()?0,?f()?0即f(x)?0 222222 f(b?x)?f(b)f(b)f(?x)?f(b)f(?x)?1 ?lim?f(b)lim(2)f?(b)
2、?lim ?x?0?x?0?x?0?x?x?xf(?x)?1f?(b)f(x)f(?x)?1f?(b) ?f?(x)?lim?f(x)?即lim ?x?0?x?0?xf(b)?xf(b)?f(x)?0,f?(b)?0,f(b)?0?f?(x)?0?f(x)在R上是单调递增函数. 1 2(已知抛物线C的方程为y2?4x,F为焦点，直线l1:kx?y?k?0?k?0?与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线l2过P、F点。 (1)求直线l2的斜率关于k的解析式f(k)，并指出定义域; (3)求l1与l2的夹角?的取值范围。 (k);1?1 (4)解不等式loga?xf?x?1?a?0,a?1?。
3、2? ?16?16k2?0?y2?4x2 ?ky?4y?4k?0?0?k?1 解:(1)? ?k?0?y?k?x?1? 2?0ypy1?y222?k2k yp?,xp?1?2,F?1,0? ?f(k)?2?0?k?1? ? 2kkk2?k1?k2 ?12 k ?4k2?1?1 (2)f(k)?k?0? 2kf(k)?k? (3)tg?k3,?0?k?1,?0?tg?1,?0,? 1?kf(k)?4?(2)求函数f(k)的反函数f ?1 2 1?4x211? (4)xf(x)?x2?，?原不等式为 loga?x2?2?x?0? 4?224? 11122222 当a?1时，x?a?,?x?a?;当
4、0?a?1时，x?a?，显然， 444 ?1 0?a? 1112 时，x?;当?a?1时，0?x?a?。 224 3(已知二次函数f(t)?at2?bt? 14a (t?R)有最大值且最大值为正实数，集合 x?a ?0，集合B?x|x2?b2. x (1)求A和B; b，x均为整数，P(E)(2)定义A与B的差集:A?B?x|x?A且x?B.设a，且x?A。 2 为x取自A?B的概率，P(F)为x取自A?B的概率，写出a与b的三组值，使P(E)?， 3 3 1 、b(从小到大)依次构成的P(F)?，并分别写出所有满足上述条件的a(从大到小) 3 数列an、bn的通项公式(不必证明); (3)若
5、函数f(t)中，a?an，b?bn (理)设t1、t2是方程f(t)?0的两个根，判断|t1?t2|是否存在最大值及最小值，若存在，A?x| 求出相应的值;若不存在，请说明理由。 (文)写出f(t)的最大值f(n)，并判断f(n)是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值;若不存在，请说明理由。 解:(1)?f(t)?at2?bt?1(t?R)有最大值，?a?0.配方得f(t)?a(t? 1?bb2)?b，由?1?0?b?1.?A?x|a?x?0，B?x|?b?x?b。 2(2)要使P(E)? ，P(F)?1。可以使?A中有3个元素，A?B中有2个元素，A?B中有1个元素.则a?4,b?2.
6、?A中有6个元素，A?B中有4个元素，A?B中有2个元素。 则a?7,b?3.?A中有9个元素,A?B中有6个元素,A?B中有3个元素.则a?10,b?4.an?3n?1,bn?n?1. (3)(理)f(t)?0，得?bn?1?0. g(n)?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2? 4 bn?1 an ? n9n?6n?1 ? 19n?6n ， ?29n?1?6，当且仅当n?1时等号成立. ?9n?1 3 ?g(n)在N上单调递增。|t1?t2|max?g(1)?1.又limg(n)?0，故没有最小值。 n? ?bnn?12n?(文)?g(n)?14 a?4 n 412?n 单调递增，
7、 1，?没有最大值。 ?f(n)min?f(1)?，又limf(n)?4 n? 4(已知函数f(x)?loga 1?mx 是奇函数(a?0,a?1)。 x?1 (1)求m的值; (2)判断f(x)在区间(1,?)上的单调性5 并加以证明; (3)当a?1,x?(r,a?2)时，f(x)的值域是(1,?)，求a与r的值. 解:(1)m=,1 x?1 (2)由(1)，f(x)?loga(a?0,a?1). x?1 任取x1?x2?(1,?),设x1?x2,令t(x)?x?1,则t(x1)?x1?1,t(x2)?x2?1， x?1x1?1x2?1 x1?1x2?12(x2?x1) . ? x1?1x
8、2?1(x1?1)(x2?1) ?x1?1,x2?1,x1?x2,?x1?1?0,x2?1?0,x2?x1?0, x?1x2?1 . ?t(x1)?t(x2),即1? x1?1x2?1?t(x1)?t(x2)? x1?1x?1 ?loga2,f(x)在(1,?)上是减函数; x1?1x2?1 当0<a<1时，f(x)在(1,?)上是增函数. ?当a?1时,loga (2)当a1时，要使f(x)的值域是(1,?)，则ogl a x?1x?1(1?a)x?a?1 6 ?1，?a,即?0 x?1x?1x?1 a?1 ?0? 而a1，?上式化为 x?1x?12 ?loga(1?),?当x1
9、时，f(x)?0.当x?1时,f(x)?0. 又f(x)?loga x?1x?1 a?1 因而，欲使f(x)的值域是(1,?)，必须x?1，所以对不等式?，当且仅当1?x? a?1 x? 时成立. ?r?1?a?1? ?a?2?,解之,得r?1,a?2?. a?1? ?a?1 5(|AB|=|xB-xA|表示数轴上A、B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算。这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离:条件一，非负性p(x,y)?0，等号成立当且仅当x=y;条件二，交换律p(x,y)=p(y,x);条件三，三角不等式p(x,z)?p(x,y)+p(
10、y,z). 试确定运算s(x,y)= 7 |x?y| 是否为一个距离,是，证明;不是，举出反例。 1?|x?y| 解:要说明s(x,y)是否为距离，只要验证它是否满足三条即可 |x?y| ?0等号成立当且仅当|x-y|=0,即x=y ，第一条满足 1?|x?y|x?y|y?x| s(x,y)=s(y,x) ，第二条也满足 1?|x?y|1?|y?x| 1x1|x?z| s(x,z)=?函数f(x)=1-(或)在x0上单调增，且|x-z|? 11?x1?x1?|x?z|?1x |x?y|?|y?z|x?y| |x-y|+|y-z|(8分)?s(x,z)?= 1?|x?y|?|y?z|1?|x?y
11、|?|y?z| |y?z|x?y|y?z| +?+=s(x,y)+s(y,z)(10分) 1?|x?y|?|y?z|1?|x?y|1?|y?z| s(x,y)= 总之，s(x,y)是距离 6(已知曲线L:y?ax3?bx2?cx?d与y轴相交于点A，以其上一动点P(x0,y0)为切点的直线l与y轴相交于Q点(?).8 求直线l的方程，并用x0表示Q点的坐标; (?)求lim sin?APQ . x0?sin?AQP 2 2 2 (?)解:A(0,d),y?3ax2?2bx?c,k?3ax0?2bx0?c ?y?y0?(3ax0?2bx0?c)(x?x0),令x?0得yQ?(3ax0?2bx0?
12、c)(?x0)?y0 ?Q(0,(3ax0?2bx0?c)(?x0)?y0) (?)由正弦定理得: 2 sin?APQAQ32? sin?AQPAP3 2 32 ?lim sin?APQ|2a| ?lim?2 x0?sin?AQPx|a| 7(设a、b为常数，M?f(x)|f(x)?acosx?bsinx;F:把平面9 上任意一点(a，b)映射为函数acosx?bsinx.(1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数; (2)证明:当f0(x)?M时，f1(x)?f0(x?t)?M，这里t为常数; (3)对于属于M的一个固定值f0(x)，得M1?f0(x?t),t?R，在映射F的作用下，M1作
13、为象，求其原象，并说明它是什么图象, 答案:(1)假设有两个不同的点(a，b)，(c，d)对应同一函数，即F(a,b)?acosx?bsinx与F(c,d)?ccosx?dsinx相同， 即acosx?bsinx?ccosx?dsinx对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c;令x?得b=d这与(a，b)，(c，d)是两个不同点矛盾，假设不成立. 故不存在两个不同点对应同函数。 (2)当f0(x)?M时，可得常数a0，b0，使f0(x)?a0cosx?b0sinx ? 2 ， f1(x)?f0(x?t)?a0cos(x?t)?b0sin(x?t) ?(a0cost?b0sint)cosx?(
14、b0cost?a0sint)sinx 由于a0,b0,t为常数，设a0cost?b0sint?m,b0cost?a0sint?n,则m,n是常数. 从而f1(x)?mcosx?nsinx?M。 (3)设f0(x)?M，由此得f0(x?t)?mcosx?nsinx (其中m?a0cost?b0sint，n?b0cost?a0sint) 在映射F下，f0(x?t)10 的原象是(m，n)，则M1的原象是 (m,n)|m?a0cost?b0sint,n?b0cost?a0sint,t?R 2222 消去t得m2?n2?a0，即在映射F下，M1的原象(m,n)|m2?n2?a0?b0?b0 是 以原点
15、为圆心，a0?b0为半径的圆。 8(试构造一个函数f(x),x?D，使得对一切x?D有|f(?x)|?|f(x)|恒成立，但是f(x) 2 ?x,(x?1) 既不是奇函数又不是偶函数，则f(x)可以是f(x)? x,(x?1)? 22 9(设A?B?C=?1,2,3,4,5?,且A?B=?1,3?,符合此条件的(A,B,C)共有(注:A,B,C顺序不同为不同组) (A) A.500组 B.75组 C.972组D.125组 篇二:高中数学函数专题复习 2.1 映射与函数、函数的解析式 一、选择题: 1(设集合A?x|1?x?2，B?y|1?y?4，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是(
16、) A(f:x?y?x2B(f:x?y?3x?2 C(f:x?y?x?4 D(f:x?y?4?x2 11 2(若函数f(3?2x)的定义域为,1，2，则函数f(x)的定义域是( ) A(? 52,?1 B(,1，2 ?x?1(x?1)?1 (x?1) C(,1，5 D(,2 2 1 3，设函数f(x)? ，则f(f(f(2)=( ) A(0 B(1 C(2 D(2 4(下面各组函数中为相同函数的是() A(f(x)?B(f(x)? (x?1),g(x)?x?1 x 2 2 ?1,g(x)? 2 x?1x?1 C(f(x)?(x?1),g(x)?(x?1) D(f(x)? 2 12 x?1x?2
17、 2 ,g(x)? x?1x?2 2 5. 已知映射f:A?B，其中，集合A?3,?2,?1,1,2,3,4?,集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a?A,在B 中和它对应的元素是a，则集合B中元素的个数是( ) (A) 4(B) 5(C) 6 (D) 7 ?x?2 (x?2) 7(已知定义在0,?)的函数f(x)? 2 (0?x?2)?x 若f(f(f(k)? 254 ，则实数k? 2.2函数的定义域和值域 1(已知函数f(x)? 1?x1?x 的定义域为M，ff(x)的定义域为N，则M?N= . 2.如果f(x)的定义域为(0,1)，? 13 12 ?a?0，那么函数g(x
18、)=f(x+a)+f(x-a)的定义域 为 . 2 3. 函数y=x-2x+a在0,3上的最小值是4，则a= ;若最大值是4，则a=. 4(已知函数f(x)=3-4x-2x,则下列结论不正确的是( ) A(在(-?，+?)内有最大值5，无最小值，B(在-3，2内的最大值是5，最小值是-13 C(在1，2)内有最大值-3，最小值-13， D(在0，+?)内有最大值3，无最小值 5(已知函数y? A(p?Q 6(若函数y? A(0, 43 mx 2 2 x?3x?4 ,y? x?9x?7x?12 2 2 的值域分别是集合P、Q，则( ) C(P?Q 14 D(以上答案都不对 B(P=Q mx?1?
19、4mx?3 的定义域为R，则实数m的取值范围是( ) 34 B(0,) C(0, 4 3 D(0,) 4 3 7(函数y?2? A(0，2 2 ?x?4x(x?0,4)的值域是( ) B(1，2 3x?1x?1 3 C(,2，2 D(,2，2 8.若函数f(x)?的值域是y|y?0?y|y?4,则f(x)的定义域是() A(1,3B(1,1)?(1,3 C(?,1或3,?) D(3,+?) 3 15 3 9(求下列函数的定义域: ?y? ?x 2 2 2x?x?1 10(求下列函数的值域: ?y? 3x?55x?3 (x?1) ?y=|x+5|+|x-6| xx?2x?4 2 ?y?4? ?x
20、?x?2 2 ?y?x?2x ?y?11(设函数f(x)?x?x? 2 14 . (?)若定义域限制为0，3，求f(x)的值域; (?)若定义域限制为a,a?1时，f(x)的值域为? 1,1 16 ，求a的值. 216 1(下述函数中，在(?,0)上为增函数的是( ) A(y=x2,2 B(y= 3x C(y=1?2?x D(y?(x?2)2 2(下述函数中，单调递增区间是(?,0的是( ) A(y=, 1x B(y=,(x,1) C(y=x,2 2 D(y=,|x| 3(函数y?x2在(?，?)上是( ) A(增函数 B(既不是增函数也不是减函数C(减函数D(既是减函数也是增函数 4(若函数
21、f(x)是区间a,b上的增函数，也是区间b,c上的增函数，则函数f(x)在区间a,b上是( ) A(增函数B(是增函数或减函数 C(是减函数 D(未必是增函数或减函数 5(已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)( ) 17 A.在区间(-1，0)上单调递减 C.在区间(-2，0)上单调递减 ax?1x?2 B.在区间(0，1)上单调递减 D在区间(0，2)上单调递减 6(设函数f(x)? A(0?a? 12 在区间(?2,?)上是单调递增函数，那么a的取值范围是( ) 12 B(a?C(a<-1或a1D(a,2 7(函数f(x)?2x2?mx?3,当
22、x?2,?)时是增函数，则m的取值范围是( ) A( ,8，+?) B(8，+?) C(,?，, 8 D(,?，8 2 8(如果函数f(x)=x+bx+c对任意实数t都有f(4-t)=f(t),那么( ) A(f(2)<f(1)<f(4) B(f(1)<f(2)<f(4) C(f(2)<f(4)<f(1)D(f(4)<f(2)<f(1) 9(若函数f(x)?4x?ax?3的单调递减区间是(?10(理科)若a0，求函数f(x)? 18 3 11 ,)，则实数a的值为. 22 x?ln(x?a)(x?(0,?)的单调区间. 1(若f(x)?xn 2
23、?n?1 (n?N),则f(x)是( ) A(奇函数 B(偶函数C(奇函数或偶函数 D(非奇非偶函数 2(设f(x)为定义域在R上的偶函数，且f(x)在0?)为增函数,则f(?2),f(?),f(3)的大小顺序为( ) A(f(?)?f(3)?f(?2) C(f(?)?f(3)?f(?2) B(f(?)?f(?2)?f(3) D(f(?)?f(?2)?f(3) 3(如果f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,?)上是减函数，那么下述式子中正确的是() A(f(?C(f(? 3434 )?f(a?a?1) )?f(a?a?1) 22 B(f(? 34 19 )?f(a?a?1) 2 D(以上关系均
24、不成立 1?x a 5(下列4个函数中:?y=3x,1，?y?log 1a ?x 1?x (a?0且a?1); ?y? x?xx?1 32 ， ?y?x( ?1 ? 12 )(a?0且a?1).其中既不是奇函数，又不是偶函数的是( ) A(? B(? C(? 1f(x) D(? ，当2?x?3，f(x)=x，则 20 6(已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足:f(x?2)? f(5.5)=( ) A(5.5 B(,5.5 C(,2.5 D(2.5 7(设偶函数f(x)在0,?)上为减函数，则不等式f(x) f(2x+1) 的解集是 8(已知f(x)与g(x)的定义域都是x|x?R，且x?1
25、，若f(x)是偶函数，g(x)是奇函 数，且f(x)+ g(x)= 11?x ，则f(x)= ，g(x)= . 9(已知定义域为(,?，0)?(0，+?)的函数f(x)是偶函数，并且在(,?，0)上是增函数，若f(,3)=0，则不等式 xf(x) <0的解集是 . 2 11(设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(,?，0)上单调递增，且满足f(,a+2a,5)<f(2a2+a+1), 求实数a的取值范围. 2.7 .指数函数与对数函数 1(当0?a?1时，a,a,a 21 A(a?aC(a a a aa a 的大小关系是( ) B(aD(a a a ?a a a a ?a a a
26、 ?a a a ?a?a a ?a?a 22 2(已知f(x)?|logax|，其中0?a?1，则下列不等式成立的是( ) A(f()?f(2)?f() 4 3 1 1 1 1 B(f(2)?f()?f() 3 4 11 C(f()?f()?f(2) 4 3 D(f()?f(2)?f() 3 4 11 3(函数y?f(2x)的定义域为1，2，则函数y?f(log A(0，1 23 2 2 x)的定义域为( ) B(1，2 3 C(2，4 D(4，16 4(若函数f(x)?log A(9，12 (x?ax)在(?3,?2)上单调递减，则实数a的取值范围是( ) 1 B(4，12 C(4，27 D
27、(9，27 6(若定义在(1，0)内的函数f(x)?log2a(x?1)满足f(x),0，则a的取值范围是7(若log (1?k) (1?k)?1，则实数k的取值范围是. 8(已知函数f(x)?loga(x?是 . 10(求函数f(x)?log ax ?4)(a?0,且a?1)的值域为R，则实数a的取值范围 x?1 2 x?1 ?log 24 2(x ?1)?log 2 (p?x)的值域. 12(已知函数f(x)?loga(1?x)?loga(1?x)(a?0且a?1) (1)讨论f(x)的奇偶性与单调性; (2)若不等式|f(x)|?2的解集为x|? 12?x? 12 求a的值; 篇三:高中
28、数学抽象函数专题 抽象函数 一.定义域问题 -多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f(x)的定义域是,2，2，则函数y = f(x+1)+f(x,1)的定义域为 ?1? 解:f(x)的定义域是 x?1 。 ?2,2?，意思是凡被f作用的对象都在?2,2? 中。评析:已知f(x)的定义域是A，求f?x?的定 义域问题，相当于解内函数?x?的不等式问题。 练习:已知函数f(x)的定义域是 ?1,2? ，求函数f?log?3?x? 的定义域。 25 ? ? 1 2 ? 例2:已知函数 f?log3x?的定义域为3，11，求函数f(x)的定义域 。?1,log311? f?x?的
29、定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数?x?的值域。 -1 -1 评析: 已知函数 练习:定义在 ?3,8?上的函数f(x)的值域为?2,2?，若它的反函数为f(x)，则y=f(2-3x)的定义域为 ，值域为 。 ?4? 0,?,?3,8? ?3? 二、求值问题-抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例3.?对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)?0,则f(2001)=_. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或26 递推式着手:令x?n,y?1,得f(n?1)?x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)
30、+2f(1)2, 令x=y=0,得:f(0)=0,?f(1)= f(n)?2f(1)2, 令 11n2001 ,即 f(n?1)-f(n)?,故f(n)?,?f(2001)?. 2222 ? R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则解析:由于求的是f(2009)，可由y=f-1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918. 例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x?R都有f(x+5)?f(x)+5,f(x+1)?f(x)+1.若
31、g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_.1 解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)?f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1?g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)?f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1?g(x)+x-1+1，即g(x+5)?g(x), g(x+1)?g(x). 所以g(x)?g(x+5)?g(x+4)?g(x+3)?g(x+2)?故g(x)=g(x+1)又g(1)=1, 故g(2002)=1. 练习: 1. f(x)的定义域为(0,?)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2
32、 ，则f2.如果f(x?y)?f(x)f(y),且f(1)?2,则 ? ( 12 ) 27 f(2)f(4)f(6)f(2000) ?的值是。2000 f(1)f(3)f(5)f(2001) f2(1)?f(2)f2(2)?f(4)f2(3)?f(6)f2(4)?f(8)n ?.( f(n)?2,原式=16) f(1)f(3)f(5)f(7) 3、对任意整数x,y函数y?f(x)满足:f(x?y)?f(x)?f(y)?xy?1，若f(1)?1，则f(?8)? C A.-1 B.1 C. 19D. 43 4、函数f(x)为R上的偶函数，对x?R都有f(x?6)?f(x)?f(3)成立，若f(1)
33、?2，则f(2005)=( )(B) A . 2005 B. 2 C.1 D.0 5、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点(2，1)，Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为()(A) A) 11B)C)8 D)16 816 113 5、(1)?f()?a?f()?a2,f()?(1?a)a?a 24413? 1)?(1?a)a2?aa?a(1?a),可解得a?1又f()?f(222 20? 117)?1f(2)(2)设f()?b,则f()?f(7722723 ?f()?2b,同理f()?3b,?,f(1)?7b 7711?f()?
34、b? 28 77 6、已知a为实数，且0?a?1,f(x)是定义在0，1上的函数，满足f(0)?0,f(1)?1,对所有x?y,x?y 均有f()?(1?a)f(x)?af(y) 2 1 (1)求a的值(2)求f()的值 7 三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在x1求函数f(x)的值域。 ?x2,使得f(x1)?f(x2)， ?x2，使得 解:令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数x1 f(x1)?f(x2)成立矛盾，故 f(
35、0)?0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此， x? ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)?0矛盾,所以f(x)0. ? f(x)?f()?0 ?2? 2 四、求解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递29 推法，区间转移法， 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0?u?2),则f(u)=-u+3u+1 (0?u?2)故f(x)=-x+3x+1 (0?u?2) 2 2 x?1?例6、设对满足x?0,x?1的所有实数x
36、，函数f(x)满足,f?x?f?1?x ,求f(x)的解析式。 ?x? 解:?f(x)?f(x?1)?1?x (x?0且x?1),(1)- 用x-1代换x得:f(x?1)?f(1)?2x?1,(2) xxx1?xx112?x(1)?(3)?(2)x3?x2?1 再以代换(1)中的x得:f(得:f(x)? (x?0且x?1) )?f(x)?. -(3)由2 21-x1-x1?x2x?2x 2 例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x-4x,求f(x). 解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a?0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1
37、,f(x)=x2-2x-1. 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ?f(n)0,n?N;?f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2?N*;?f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式;若不存在，说明30 理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,?,:f(x)=2x (x?N*) 小结:对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数(转载于:www.XltkWJ.Com 小 龙文档 网:高中数学函数专题)列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解
38、. 例9、已知 31 且f(x?)?f(x?)恒成立，当x?2,3?时，f(x)?x，则x?(?2,0)f(x)是定义在R上的偶函数， 22 时，函数f(x)的解析式为( D ) A(x?2 B(x?4 C(2?x?D( 3?x? 解:易知T=2，当x?(?2,? ?1)时,x?4?2,3?,?f(x?4)?x?4?f(x);当x?(?1,0)时2?x?2,3?, f(2?x)?2?x?f(?x)?f(x).故选D。 12)?x,求证:|f(x)|?2. x3 3 练习:1、设y?f(x)是实数函数(即x,f(x)为实数),且f(x)?2f( x x x 31 22解:用1代换x,得f(1)?
39、2f(x)?1,与已知得|f(x)|?.x2?3xf(x)?2?0，由?0得 9f(x)?4?2?0,? 2.(重庆)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x+x)=f(x)-x+x. (?)若f(2)=3，求f(1);又若f(0)=a，求f(a);(?)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。 解:(I)因为对任意x?R,有f(f(x)-x2?x)?f(x)?x2?x所以f(f(2)-22?2)?f(2)?22?2 又由f(2)?3,得f(3-22?2)?3?22?2,即f(1)?1 若f(0)?a,则f(a?02?0)?a?02?0,即f(a)?a
40、 (II)因为对任意x?R，有f(f(x)?x2?x)?f(x)?x2?x. 22 又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)?x0 所以对任意x?R,有f(x)?x2?x?x0 2 在上式中令x?x0，有f(x0)?x0?x0?x0 2 再代f(x0)?x0，得x0?x0?0，故x0=0或x0=1 若x0=0，则f(x)?x2?x?0，即f(x)?x2?x 但方程x2?x?x有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x0?0 若x0=1，则有f(x)?x2?x?1,即f(x)?x2?x?1.易验证该函数32 满足题设条件。综上，所求函数为f(x)?x2?x?1(x?R) 3、函数f(x)对一切实数
41、x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，(1)求 (2)对任意的x1?(0, 1 2 f(0)的值; 11 )，x2?(0,)，都有f(x)+2<logax成立时，求a的取值范围( 22 解:(1)由已知等式f(x?y)?f(y)?(x?2y?1)x，令x?1，y?0得f(1)?f(0)?2，又?f(1)?0，?f(0)?2( )?f(y)?(x?2y?1)x令y?0得f(x)?f(0)?(x?1)x，由(1)知f(0)?2(2)由f(x?y， 112122 x?(0,)上单调递增，f(x)?2?x?x?(x?)?f(x)?2?x?x(?x?(1，?在1
42、1111)1 2242 3311 ?f(x1)?2?(0,)(要使任意x1?(0,)，x2?(0,)都有f(x1)?2?logax2成立，必有?logax2都成立. 4224 131?a?1?a的取值 33 当a?1时，logax2?loga,显然不成立(当0?a?1时，(logax2?)loga? 224( 范围是五、单调性问题 (抽象函数的单调性多用定义法解决) 例10.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x1<x2, 则f(x2)=f
43、(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)< f(x1). (?x2-x10,?f(x2-x1)<0) 所以f(x)是R上的减函数, 故f(x)在-3,3上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3), 令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.?f(-3)=-f(3)=6. 练习:设f(x)定义于实数集上，当x0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证:f(x)在R上为增函数。 证明:设R上x1<x2，则f(x2-x1)1， f(x2)=f(
44、x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1)，因为f(x1)的正负还没确定) 。 取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若(f0)=0,令x0,y=0，则f(x)=0与x0时，f(x)1矛盾，所以f(0)=1，x0时，f(x)10,x<0时，-x0，f(-x)1,?由f(0)?f(x)f(?x)?1得f(x)?函数。(注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性) 1 34 ?0，故f(x)0，从而f(x2)f(x1).即f(x)在R上是增 f(?x) 例11、已知偶函数f(x)的定义域是x?0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有时 f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且当x?1 f(x)?0,f(2)?1， (1)f(x)在(0,+?)上是增函数; (2)解不等式f(2x2?1)?2 解: (1)设x2?x1?0，则f(x)?f(x)?f(x?x2?f(x)?f(x)?f(x2)?f(x)?f(x2) ?x2 211111 x1x1x1 ?x1?0